2014-2015学年青海省西宁四中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）
一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集为R，集合M={x|x＞4}，N={x|log2x≥1}，则M∩N=（ ） A． [﹣2，2] B． （﹣∞，﹣2） C． （2，+∞） D． （﹣2，+∞）
2．若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（ ） A． ﹣4 B．
C． 4 D．
2
3．执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x的值为（ ）
A． 2 B． ±2 C． ﹣2或﹣3 D． 2或﹣3
4．实数x，y满足，则z=x﹣y的最大值是（ ）
A． ﹣1 B． 0 C． 3 D． 4
5．二项式（
+
）展开式中的常数项是（ ）
10
A． 180 B． 90 C． 45 D． 360
6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ）
A．
7．已知双曲线（ ）
A． y=±2x B．
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=（ ） A． ﹣2 B． 2 C． 3 D． ﹣3
9．有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定．技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ） A． 16 B． 24 C． 32 D． 48
10．已知函数f（x）=
，若对于任意x∈R，不等式f（x）≤
﹣t+1恒成
C．
D．
的离心率为
，则双曲线的渐近线方程为
B．
C．
D．
立，则实数t的取值范围是（ ）
A． （﹣∞，1]∪[2，+∞） B． （﹣∞，1]∪[3，+∞） C． [1，3] D． （﹣∞，2]∪[3，+∞）
11．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB、AC、AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（ ）
[来源:学科网] A． 7π B． 14π C．
D．
12．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都f（x+6）=f（x）+f（3）成立；当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有①f（3）=0；
＞0．给出下列四个命题：
②直线x=﹣6是函数y=f（x）图象的一条对称轴； ③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数； ④函数y=f（x）在[0，2014]上有335个零点． 其中正确命题的个数为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
二、填空题（5×4=20分，把答案填在答题纸的相应位置上） 13．已知
⊥
，|
|=2，|
|=3，且
+2
与λ
﹣
垂直，则实数λ的值为 ．
14．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a= ．
15．曲线
16．数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1），则{an}的通项公式为 ．
三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且b+c﹣a=（1）求A； （2）若a=5
18．如图五面体中，四边形CBB1C1为矩形，B1C1⊥平面ABB1N，四边形ABB1N为梯形， 且AB⊥BB1，BC=AB=AN=
=4．
，cosB=，求c．
2
2
2
在点M（，0）处的切线的斜率为 ．
S．
（1）求证：BN⊥平面C1B1N； （2）求此五面体的体积．
19．为迎接高一新生报到，学校向高三甲、乙、丙、丁四个实验班征召志愿者．统计如下： 班级 志愿者人数 甲 45 乙 60 丙 30 丁 15 为了更进一步了解志愿者的来源，采用分层抽样的方法从上述四个班的志愿者中随机抽取50名参加问卷调查．
（1）从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名，求这两名来自同一个班级的概率； （2）在参加问卷调查的50名志愿者中，从来自甲、丙两个班级的志愿者中随机抽取两名，用X表示抽得甲班志愿者的人数，求X的分布列和数学期望．
20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；[来源:学,科,网]
（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为程．
21．已知函数
在点（﹣1，f（﹣1））的切线方程为x+y+3=0．
，求直线l的方
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=lnx，求证：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．
四、解答题（共1小题，满分8分） 22．已知直线L的参数方程：
（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ=2
sin（θ+
）
（θ为参数）．
（1）求圆C的直角坐标方程．
（2）判断直线L和圆C的位置关系．
五、解答题（共1小题，满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5| （Ⅰ）证明：﹣3≤f（x）≤3；
2
（Ⅱ）求不等式f（x）≥x﹣8x+15的解集．
2014-2015学年青海省西宁四中高三（上） 第一次月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（5×12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集为R，集合M={x|x＞4}，N={x|log2x≥1}，则M∩N=（ ） A． [﹣2，2] B． （﹣∞，﹣2） C． （2，+∞） D． （﹣2，+∞）
考点： 交集及其运算．
专题： 计算题；不等式的解法及应用；集合．
分析： 求出M中二次不等式的解集确定出M，求出N中对数不等式的解集确定出N，再求出两集合的交集即可．
2
解答： 解：由于M={x|x＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}， N={x|log2x≥1}={x|log2x≥log22}={x|x≥2}， 则M∩N={x|x＞2}． 故选C．
点评： 此题考查了交集及其运算，同时考查二次不等式和对数不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（ ） A． ﹣4 B．
C． 4 D．
2
考点： 复数代数形式的乘除运算；复数求模． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 由题意可得 z=+i，由此可得z的虚部．
解答： 解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z=源:学§科§网] 故z的虚部等于，
故选：D．
点评： 本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．
3．执行如图所示的程序框图，当输出值为4时，输入x的值为（ ）
=
=
=+i，[来
=
，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为
A． 2 B． ±2 C． ﹣2或﹣3 D． 2或﹣3
考点： 程序框图．
专题： 算法和程序框图．
分析： 根据程序框图，得到x的可能取值，逐个判断是否满足条件即可得到答案． 解答： 解：当输出值为4时，由程序框图知x的取值为﹣3或2或﹣2， x=﹣3，x≥1不成立，执行y=1﹣x=4，正确．
2
x=2，x≥1成立，执行y=x=4，正确．
x=﹣2，x≥1不成立，执行y=1﹣x=3，不正确． 故选：D．
点评： 本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．
4．实数x，y满足，则z=x﹣y的最大值是（ ）
A． ﹣1 B． 0 C． 3[来源:学科网] D． 4
考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
解答： 解：作出不等式对应的平面区域，
设z=x﹣y，得y=x﹣z，
平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z经过点B（3，0）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大．
此时z的最大值为z=3﹣0=3， 故选：C．
点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
5．二项式（
+
）展开式中的常数项是（ ）
10
A． 180 B． 90 C． 45 D． 360
考点： 二项式定理的应用． 专题： 二项式定理． 分析： 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．[来源:Zxxk.Com] 解答： 解：二项式（
+
）展开式的通项公式为 Tr+1=
2
10
•2•
r
，
令5﹣=0，求得 r=2，可得展开式中的常数项是 •2=180，
故选：A．
点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．
6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题．
分析： 由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是1的直角三角形，则两条直角边是，斜边是2与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形，求出面积．
解答： 解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥， 底面是斜边上的高是1的直角三角形， 则两条直角边是， 斜边是2， ∴底面的面积是
=1，
与底面垂直的侧面是一个边长为2的正三角形， ∴三棱锥的高是， ∴三棱锥的体积是
故选B．
点评： 本题考查由三视图还原几何体，本题解题的关键是求出几何体中各个部分的长度，特别注意本题所给的长度1，这是底面三角形斜边的高度．
7．已知双曲线（ ）
A． y=±2x B．
考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题．
分析： 由离心率的值，可设方程． 解答： 解：∵故可设
∴渐近线方程为 故选C．
点评： 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值是解题的关键．
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=（ ） A． ﹣2 B． 2 C． 3 D． ﹣3
的离心率为，则双曲线的渐近线方程为
C． D．
，则得，可得的值，进而得到渐近线
， ，则得
， ，
考点： 等比数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 首先根据等比数列的前n项和公式建立等量关系，解方程求的结果． 解答： 解：根据等比数列的前n项和公式：Sn=∵S3+3S2=0 ∴
2
+3=0
（1﹣q）（q+4q+4）=0
解得：q=﹣2，q=1（舍去） 故选：A
点评： 本题考查的知识点：等比数列的前n项和公式及相关的运算问题．
9．有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定．技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ） A． 16 B． 24 C． 32 D． 48
考点： 排列、组合及简单计数问题． 专题： 计算题．
分析： 根据题意，分析可得若恰好3次就结束测试，必有前2次测试中测出1件次品，第3次测出第2件次品，先分析第3次测出次品情况数目，再分析前2次测试，即一次正品、1次次品的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．
解答： 解：根据题意，若恰好3次就结束测试，则前2次测试中测出1件次品，第3次测出第2件次品，
1
第3次测试的是次品，而共有2件次品，则有C2=2种情况，
12
前2次测试，即一次正品、1次次品，有C8×A2=16种情况， 则恰好3次就结束测试共有2×16=32种情况， 故选C．
点评： 本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，易错点是对“恰好3次就结束测试”的理解．
10．已知函数f（x）=
，若对于任意x∈R，不等式f（x）≤
﹣t+1恒成
立，则实数t的取值范围是（ ）
A． （﹣∞，1]∪[2，+∞） B． （﹣∞，1]∪[3，+∞） C． [1，3] D． （﹣∞，2]∪[3，+∞）
考点： 函数恒成立问题． 专题： 函数的性质及应用．
分析： 这是一个不等式恒成立问题，只需最大值，解出关于t的不等式即为所求． 解答： 解：对于f（x），当x≤1时，y=﹣在（
]上递减，故此时ymax=f（）=；
即可，再求分段函数的
在（﹣∞，]递增，
当x＞1时，y=log0.5x是减函数，此时y＜log0.51=0，；综上原函数的最大值为， 故不等式f（x）≤
﹣t+1恒成立，只需
﹣t+1
即可，解得t≤1或t≥3．
故选B．
点评： 本题考查了不等式恒成立的问题、分段函数的最值的求法等问题，一般是把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解．
11．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB、AC、AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（ ）
A． 7π B．[来源:学&科&网Z&X&X&K] 14π C．
D．
[来源:Z&xx&k.Com]
考点： 球的体积和表面积．
专题： 计算题；空间位置关系与距离． 分析： 三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．
解答： 解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体， 它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==， 它的外接球半径是
）=14π
2
外接球的表面积是4π（
故选：B．
点评： 本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．
12．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都f（x+6）=f（x）+f（3）成立；当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有
①f（3）=0；
②直线x=﹣6是函数y=f（x）图象的一条对称轴； ③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数； ④函数y=f（x）在[0，2014]上有335个零点． 其中正确命题的个数为（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D．[来源:学.科.网] 4
＞0．给出下列四个命题：
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 综合题；函数的性质及应用．
分析： ①在f（x+6）=f （x）+f （3）中，令x=﹣3，可得f（﹣3）=0，f（x）是R上的偶函数，从而可判断①；
②由（1）知f（x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，再利用f（x）是R上的偶函数，可得f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），从而可判断②；
③依题意知，函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，利用f（x）的周期为6，且f（x）是R上的偶函数，可判断函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数，从而可判断③；
④由题意可知，y=f（x）在[0，6]上只有一个零点3，而2014=335×6+3，从而可判断④． 解答： 解：①：对于任意x∈R，都有f（x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=﹣3，则f（﹣3+6）=f（﹣3）+f （3），即f（﹣3）=0，
又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0，即①正确； ②：由（1）知f（x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6， 又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x）， 而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（﹣6+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣6）， 所以：f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，即②正确；
③：当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有
＞0，
所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，
因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[﹣3，0]上为减函数
而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数，故③错误；
④：f（3）=0，f（x）的周期为6，函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，6]上为减函数，
所以：y=f（x）在[0，6]上只有一个零点3，而2014=335×6+3，
所以，函数y=f（x）在[0，2014]上有335+1=336个零点，故④错误． 故正确命题的个数为2个， 故选：B．
点评： 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性、周期性、对称性及零点的确定的综合应用，属于难题．
二、填空题（5×4=20分，把答案填在答题纸的相应位置上） 13．已知
⊥
，|
|=2，|
|=3，且
+2
与λ
﹣
垂直，则实数λ的值为 ．
考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题： 平面向量及应用． 分析： 由已知得（
+2
）•（λ
﹣
）=
=4λ﹣18=0，
由此能求出实数λ的值． 解答： 解：∵
⊥
，|
|=2，|
|=3，且
+2
与λ
﹣
垂直，
∴（=
+2）•（λ﹣）
=4λ﹣18=0， 解得
．
故答案为：．
点评： 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意向量垂直的性质的合理运用．
14．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）=sinx及直线x=a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a= π ．
考点： 几何概型． 专题： 概率与统计．
分析： 根据几何概型的概率公式，以及利用积分求出阴影部分的面积即可得到结论． 解答： 解：根据题意，阴影部分的面积为矩形的面积为
，
，
=
=1﹣cosa，
则由几何概型的概率公式可得
即cosa=﹣1， 又a∈（0，2π）， ∴a=π， 故答案为：π
点评： 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分的几何意义求出阴影部分的面积是解决本题的关键． 15．曲线
在点M（
，0）处的切线的斜率为 ．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用．
分析： 先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=求出切线的斜率． 解答： 解：∵
处的导数，从而
∴y'==
y'|x=
=
|x=
=
故答案为：．
点评： 本题主要考查了导数的几何意义，以及导数的计算，同时考查了计算能力，属于基础题．
16．数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1），则{an}的通项公式为 an=3
考点： 数列的函数特性． 专题： 等差数列与等比数列．
n﹣1
．
分析： 当n≥2时，an+1=2Sn+1（n≥1），an=2Sn﹣1+1，两式相减可得an+1=3an．利用等比数列
的通项公式即可得出．
解答： 解：当n≥2时，an+1=2Sn+1（n≥1），an=2Sn﹣1+1， ∴an+1﹣an=2an， ∴an+1=3an．
当n=1时，a2=2a1+1=3． ∴数列{an}为等比数列．
n﹣1
∴an=3．
n﹣1
故答案为：3．
点评： 本题考查了递推式的意义、等比数列的通项公式，属于基础题．
三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其面积为S，且b+c﹣a=（1）求A； （2）若a=5
，cosB=，求c．
2
2
2
S．
考点： 余弦定理． 专题： 解三角形．
分析： （1）已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出tanA的值，即可确定出A的度数；
（2）由cosB的值求出sinB的值，进而求出sinC的值，由a，sinA，sinC的值，利用正弦定理即可求出c的值．
解答： 解：（1）∵b+c﹣a=2bccosA，S=bcsinA， ∴代入已知等式得：2bcosA=整理得：tanA=， ∵A是三角形内角， ∴A=60°；
（2）∵B为三角形内角，cosB=， ∴sinB=
=，
cosB=
，
•bcsinA，
222
∴sinC=sin（B+A）=sin（B+60°）=sinB+∵a=5
，sinA=
，sinC=
=3+4
， ．
∴由正弦定理得：c=
点评： 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
18．如图五面体中，四边形CBB1C1为矩形，B1C1⊥平面ABB1N，四边形ABB1N为梯形， 且AB⊥BB1，BC=AB=AN=
=4．
（1）求证：BN⊥平面C1B1N； （2）求此五面体的体积．
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： （1）利用直线与平面垂直的性质定理证明B1C1⊥BN，然后利用勾股定理证明
BN⊥B1N，通过B1N∩B1C1=B1，利用直线与平面垂直的判定定理证明：BN⊥平面C1B1N； （2）连接CN，说明NM⊥平面B1C1CB，然后五面体的体积求解即可． 解答： 解：（1）证明：连4，过N作NM⊥BB1，垂足为M， ∵B1C1⊥平面ABB1N，BN⊂平面ABB1N， ∴B1C1⊥BN，…（2分）
又，BC=4，AB=4，BM=AN=4，BA⊥AN， ∴
，
=
，
分别
∵，
∴BN⊥B1N，…（4分）
∵B1C1⊂平面B1C1N，B1N⊂平面B1C1N，B1N∩B1C1=B1 ∴BN⊥平面C1B1N…（6分） （2）连接CN，
又B1C1⊥平面ABB1N，所以平面CBB1C1⊥平面ABB1N，且平面CBB1C1∩ABB1N=BB1，NM⊥BB1，
NM⊂平面B1C1CB，
∴NM⊥平面B1C1CB，…（9分）
…（11分）
此几何体的体积
…（12分）
，…（8分）
点评： 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及空间想象能力．
19．为迎接高一新生报到，学校向高三甲、乙、丙、丁四个实验班征召志愿者．统计如下： 班级 志愿者人数 甲 45 乙 60 丙丁 30 15 为了更进一步了解志愿者的来源，采用分层抽样的方法从上述四个班的志愿者中随机抽取50名参加问卷调查．
（1）从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名，求这两名来自同一个班级的概率； （2）在参加问卷调查的50名志愿者中，从来自甲、丙两个班级的志愿者中随机抽取两名，用X表示抽得甲班志愿者的人数，求X的分布列和数学期望．
考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 专题： 概率与统计．
分析： （1）由已知得问卷调查中，从四个班级中抽取的人数分别为15，20，10，5，从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名的取法共有一班级的取法共有
+
+
+
种，这两名志愿者来自同
，由此能求出这两名来自同一个班级的概率．
（2）由（1）知，在参加问卷调查的50名志愿者中，来自甲、丙两班的人员人数分别为15，10．X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望． 解答： 解：（1）由已知得问卷调查中，从四个班级中抽取的人数分别为15，20，10，5…（2分）
从参加问卷调查的50名志愿者中随机抽取两名的取法共有这两名志愿者来自同一班级的取法共有∴
．…（6分）
+
+
+
种，
=350．…（5分）
（2）由（1）知，在参加问卷调查的50名志愿者中， 来自甲、丙两班的人员人数分别为15，10． X的可能取值为0，1，2，…（8分） P（X=0）=
，
，
．
∴X的分布列为： X 0 1 2 P
…（11分） EX=0×
=1.2．…（12分）
点评： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．
20．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程；
（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为程．
考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）由题意可设椭圆的标准方程，并求出椭圆两个焦点的坐标，又点（1，）在椭圆C上，利用椭圆定义可求出长轴长，从而求出椭圆C的方程；
，求直线l的方
（2）为避免讨论可设过F1的直线l的方程为x=ty﹣1，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点纵坐标的和与积，△AF2B的面积就是
=
，由此求出t的值，则直线l的方程可求．
解答： 解：（1）由题意可设椭圆C的方程为由|F1F2|=2得c=1，∴F1（﹣1，0），F2（1，0）， 又点（1，）在椭圆C上，∴b=a﹣c=4﹣1=3． ∴椭圆C的方程为
；
2
2
2
（a＞b＞0），
，a=2．则
（2）如图，
设直线l的方程为x=ty﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 把x=ty﹣1代入
，得：（3t+4）y﹣6ty﹣9=0
2
2
，
∴==
，
∴
2
，
解得：（舍）或t=1，t=±1．
故所求直线方程为：x±y+1=0．
点评： 本题考查了利用定义求椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，采用了设而不求的数学方法，该题把直线l的方程设为x=ty﹣1，避免了讨论直线斜率存在和不存在的情况，此题属中档题．
21．已知函数
在点（﹣1，f（﹣1））的切线方程为x+y+3=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=lnx，求证：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题． 专题： 计算题．
分析： （I）首先求出f（1）的值，进而得出b﹣a=﹣4，然后求出函数的导数，求出f'（﹣1）==﹣1，就可以求出a、b的值，得出函数的解析式；
（II）将不等式整理得出（x+1）lnx≥2x﹣2，问题转化成xlnx+lnx﹣2x+2≥0在[1，+∞）上
2
恒成立，然后设h（x）=xlnx+lnx﹣2x+2，并求出h'（x），得出x≥1时h'（x）≥0，可知h（x）在[1，+∞）上单调递增，从而求出h（x）的最小值，得出结果． 解答： 解：（Ⅰ）将x=﹣1代入切线方程得y=﹣2 ∴
，化简得b﹣a=﹣4． …（2分）
2
2
．
…（4分） 解得：a=2，b=﹣2 ∴
． …（6分）
（Ⅱ）由已知得
2
在[1，+∞）上恒成立
化简得（x+1）lnx≥2x﹣2[来源:学科网]
2
即xlnx+lnx﹣2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立． …（8分） 设h（x）=xlnx+lnx﹣2x+2，∵x≥1∴
2
，即h'（x）≥0． …（10分）
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立． …（12分）
点评： 本题考查了利用导数研究某点的切线方程以及函数恒成立问题，关于函数恒成立问题一般转化成求函数的最值问题，属于中档题．
四、解答题（共1小题，满分8分）
22．已知直线L的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ=2sin（θ+）
（θ为参数）．
（1）求圆C的直角坐标方程．
（2）判断直线L和圆C的位置关系．
考点： 直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程． 专题： 计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．
222
分析： （1）运用代入法，即可得到直线的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x+y=ρ，即可化极坐标方程为直角坐标方程；
（2）求出圆心到直线的距离你，再由d，r的大小，即可判断直线和圆的位置关系． 解答： 解：（1）消去参数t，得直线l的方程为y=2x+1； ρ=2
sin（θ+
），即ρ=2（sin θ+cos θ），
2
两边同乘以ρ得ρ=2（ρsin θ+ρcos θ）， 消去参数θ，得⊙C的直角坐标方程为：
22
（x﹣1）+（y﹣1）=2；
（2）由于圆心C（1，1）到直线l的距离， d=
=
＜r=
，
所以直线l和⊙C相交．
点评： 本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程或直角坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，属于基础题．
五、解答题（共1小题，满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5| （Ⅰ）证明：﹣3≤f（x）≤3；
2
（Ⅱ）求不等式f（x）≥x﹣8x+15的解集．
考点： 绝对值不等式的解法．
专题： 计算题；压轴题；分类讨论．
分析： （Ⅰ）分x≤2、2＜x＜5、x≥5，化简f（x）=，然后即可证
明﹣3≤f（x）≤3
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当x≤2时，当2＜x＜5时，当x≥5时，分别求出f（x）≥x﹣8x+15的解集．
解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=
当2＜x＜5时，﹣3＜2x﹣7＜3， 所以，﹣3≤f（x）≤3
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
当x≤2时，f（x）≥x﹣8x+15的解集为空集；
2
当2＜x＜5时，f（x）≥x﹣8x+15的解集为{x|5﹣≤x＜5}
2
当x≥5时，f（x）≥x﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}
2
综上：不等式f（x）≥x﹣8x+15的解集：{x|5﹣≤x≤6}
点评： 本题是中档题，考查绝对值不等式的求法，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．
参与本试卷答题和审题的老师有：双曲线；caoqz；w3239003；qiss；涨停；chenzhenji；danbo7801；王兴华；刘长柏；wfy814；zlzhan；maths；minqi5；孙佑中；sllwyn；sxs123；wubh2011（排名不分先后） 菁优网
2015年9月5日
2
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