全概率公式和贝叶斯公式教学方法探究

来源：华佗小知识

教改教法

全概率公式和贝叶斯公式教学方法探究

王

（苏州大学数学科学学院

中图分类号：G642

文献标识码：A

伟

江苏·苏州

215006）

文章编号：1672-7894（2015）28-0048-02

摘要“全概率公式”和“贝叶斯公式”是概率课程教学的先有一个直观感受，然后再对知识点进行推理和讲解，这样既可以调动学生的学习热情，又可以强化对知识点的记忆和运用。

重点和难点，用途较广，但公式复杂难于记忆。为了让学生能理解公式的用途和内涵，运用一个例题一张图，利用“数形结合”思想让问题更直观，引导学生自主写出公式，以便学生能更好地记忆、理解并运用。

关键词全概率公式贝叶斯公式教学数形结合TheExplorationoftheTeachingMethodoftheFullProbabilityFormulaandBayesFormula//WangWeiAbstract\"Fullprobabilityformula\"and\"Bayesformula\"arethekeyanddifficultpointsintheteachingofprobabilitycurriculum,

1问题引入

引例：某工厂有四条流水线生产同一种产品，四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%和35%，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05、0.04、0.03及0.02.现从出产产品中任取一件，问该厂生产的产品不合格率为多少？

解：首先根据题意可以给出下图：

C4L4：第四条流水线（产量占35%）L3：第三条流水线（产量占30%）L2：第二条流水线（产量占20%）L1：第一条流水线（产量占15%）andtheyarewidelyused,buttheformulasaredifficulttoremem-ber.Inordertoletstudentsunderstandthepurposeandcontentoftheformulas,andguidethemtowritetheformulas,thewriterusesanexampleandafigure,namely,using\"number-shapecombination\"thinking,tomaketheproblemmoreintuitive,sothatstudentscanbettermemorize,understandandusethem.Keywordsfullprobabilityformula;Bayesformula;teaching;thecombinationofnumberandshape

上图为四条流水线产量分配图，其中Ci为Li中次品部分(i=1,2,3,4)，将该厂的总产量定义为1，则很明显L1-L4的产量分别为0.15、0.2、0.3、0.35。C1-C4依次为0.15*0.05、0.2*0.04、0.3*0.03、0.35*0.02。该厂的次品部分用C表示（即

“全概率公式”和“贝叶斯公式”是两个非常复杂的公式，如果按照通常的授课方式，运用直接给出定理及公式，然后套用公式的方式进行讲解，学生很难接受，容易打击学生的学习热情和信心。根据个人的学习经历和教学经验体会到凡是直观感受到的事物要比间接推导出的结论要刻骨铭心，凡是自己能间接推导出的结论要比强加灌输的知识要容易接受，所以作为数学教师在授课时应该在可能的情况下尽量将待授的知识点跟实际问题联系起来，让学生首

上表中的阴影部分），则

C=C1+C2+C3+C4。

用概率表示有：P(L1)=0.15，P(L2)=0.2，P(L3)=0.3，P(L4)=0.35,

P(C|L1)=0.05，P(C|L2)=0.04，P(C|L3)=0.03，P(C|L4)=0.02很容易得到：

P(C)=P(C1)+P(C2)+P(C3)+P(C4)

=P(C|L1)P(L1)+P(C|L2)P(L2)+P(C|L3)P(L3)+P(C|L4)P(L4)

C3C2C1作者简介：王伟（1981—），女，江苏大丰人，硕士研究生，讲师，研究方向为计算力学。

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October2015（A）

=0.05×0.15+0.04×0.2+0.03×0.3+0.02×0.35任分摊最合适。结合上表用概率可以将第i条流水线承担比例表示为：

2给出划分的定义,引导出全概率公式

结合上面的例题，一个工厂分成四条流水线，推广到一般情况给出划分的定义：

设S为试验E的样本空间，B1，B2，…为E的一组事件，若（1）

;

4引导学生写出贝叶斯公式

设B1，B2，…为样本空间S的一个划分，且P(Bi)>0,i=1,2,…，则对任何事件A，若P(A)>0,对任何有

（2）BiBj=φ，i≠j，i,j=1，2…，则称B1，B2，…为样本空间S的一个划分或分割。

结合以上例题，引导学生画出图形自己写出全概率公式：

设B1，B2，…为样本空间S的一个划分，且P(Bi)>0,i=1,2,…，则对任何事件A有

（1）

B1B2……Bn（2）

显然，贝叶斯公式的分母是“全概率公式”要解决的问题，分子是分母的一个加数。可以说“贝叶斯公式”是全概率公式的一个推论。

贝叶斯公式从具体例子引入，学生容易理解，在教学中重点需要讲清楚公式中各个概率在实际问题中的含义，P(Bi)为先验概率，它反应各种”原因”发生的可能性大小，是以往经验的总结，在事件A发生前就是已知的；P(A|Bi)是各种“原因”发生下A发生的条件概率，可以利用技术手段获得；P(Bi|A)为后验概率，它反映了A发生后，对各种“原因”发生可能性大小的新认识。因此贝叶斯公式在“风险决策”、“模式

上图整个区域可以看作样本空间S，上图阴影部分为事件A。

全概率公式的意义在于：对于一个复杂的事件A,若无法直接求出它的概率P(A)，则可将A分解成若干个简单的事件来求其概率。由此可见全概率公式可起到化整为零的作用。在全概率公式的讲解和实际应用中，有不少学生常常搞不清楚事件组B1，B2，…究竟表示什么，所以合理将空间S进行合理划分是最大的难点。

识别”等中有着广泛应用。

5结论

经过上述的步骤，学生会对全概率公式和贝叶斯公式有更深层次的了解，这样记忆也会深刻。再加上这两个公式是自己写出来的，这样学习信心也会大增，对以后的学习也会有更帮助。当然接下来的例题解析也是巩固知识点的必要步骤，教师可以选择适合的例题进一步教学。

3问题再探讨

在上述的例子中，若该厂规定，出了不合格品要追究有关流水线的经济责任，现从出厂产品中任取一件，结果为不合格品，但该产品生产流水线标志已经脱落，问厂方如何处理这件不合格品比较合理，即每一条流水线应该承担多大的责任？

显然分析Ci在阴影部分的比例，根据这个比例进行责

参考文献

[1]李明泉.全概率公式和贝叶斯公式教学琐谈[J].武汉工程职业技术学院学报,2007(1):19.

[2]杨莉军.全概率公式和贝叶斯公式的一种新讲解[J].黑龙江科技信息,2008(34):1.

[3]严继高.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社,2014.

编辑刘浩

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