2019-2020学年天津市南开区高二(上)期末数学试卷

2019-2020学年天津市南开区高二（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）命题“x0(0,)，lnx0x01”的否定是( ) A．x(0,)，lnxx1 C．x0(0,)，lnx0x01

B．x(0,)，lnxx1 D．x0(0,)，lnx0x01

2．（5分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( ) A．50

B．40

C．25

D．20

3．（5分）若ab0，cd0，则一定有( ) A．

ab cdB．

ab cdC．

ab dcD．

ab dc4．（5分）已知等比数列{an}满足a1A．2

B．1

1，a3a54(a41)，则a2( ) 4C．

1 21D．

85．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，

22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自

习时间不少于22.5小时的人数是( )

A．56

B．60

C．120

D．140

6．（5分）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

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C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为( )

A．3，5

B．5，5

C．3，7

D．5，7

8．（5分）已知等差数列{an}中，a3a78，则该数列前9项和S9等于( ) A．4

B．8

C．36

D．72

9．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg)与身高x（单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1，2，，n)，用最小二乘法建立的回归方程为：

ˆ0.85x85.71，则下列结论中不正确的是( ) yA．3与3x22axb0具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(x，y)

C．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg D．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

10．（5分）已知点A(2,0)，抛物线C:x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|:|MN|( ) A．2:5 B．1:2

C．1:5

D．1:3

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请将答案填在题中横线上． 11．（5分）在区间[3，2]上随机选取一个数X，则X0的概率为 ． 12．（5分）设xR，使不等式3x2x20成立的x的取值范围为 ．

13．（5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ．

y214．（5分）设双曲线C经过点(2,2)，且与则C的方程为 ；x21具有相同渐近线，

4渐近线方程为 ．

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xy2

15．（5分）已知正数x，y满足xy1，则当x 时，的最小值是 ．

xy

三、解答题：（本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．（13分）某教研部门对本地区甲、乙、丙三所学校高一年级进行教学质量抽样调查，甲、乙、丙三所学校高一年级班级数量（单位：个）如表所示．研究人员用分层抽样的方法从这三所学校中共抽取6个班级进行调查．

学校 数量 甲 4 乙 12 丙 8 （Ⅰ）求这6个班级中来自甲、乙、丙三所学校的数量； （Ⅱ）若在这6个班级中随机抽取2个班级做进一步调查，

(i)列举出所有可能的抽取结果；

(ii)求这2个班级来自同一个学校的概率．

17．（14分）已知抛物线y22px(p0)上一点P(1，y0)(y00)到其焦点的距离为5．双曲

y2线x1的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线的一条渐近线与直线APa2垂直．

（Ⅰ）求抛物线的方程及双曲线的离心率；

（Ⅱ）设点M在双曲线上，且MF1MF20，求M点到x轴的距离； （Ⅲ）过F2且斜率为1的直线与双曲线交于D，E两点，求线段DE的长度．

18．（16分）如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，ACB90，AA1AB2BC2，DC13CD．

（Ⅰ）求证：AB1平面A1BD； （Ⅱ）求二面角ABDA1的余弦值； （Ⅲ）求点B1到平面A1BD的距离．

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19．（16分）已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，且a13，b5a33，b2a2，b8a4．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an； （Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn； （Ⅲ）令cn1og2an111，证明：1(n2)．

c2c3c3c4cncn1320．（16分）已知椭圆C的一个顶点为A(0,1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线xy220的距离为3．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆C与直线ykxm相交于不同的两点M，N，线段MN的中点为E． 射线OE交椭圆C于点G(O为坐标原点），交直线x3于点D(3,n)，(i)当k0，m0时，求k2n2的最小值；

(i)当k0，且|AM||AN|时，求m的取值范围．

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2019-2020学年天津市南开区高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）命题“x0(0,)，lnx0x01”的否定是( ) A．x(0,)，lnxx1 C．x0(0,)，lnx0x01

B．x(0,)，lnxx1 D．x0(0,)，lnx0x01

【解答】解：命题“x0(0,)，lnx0x01”的否定是“x(0,)，lnxx1” 故选：B．

2．（5分）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( ) A．50

B．40

C．25

D．20

【解答】解：从1000名学生中抽取40个样本， 样本数据间隔为10004025．

故选：C．

3．（5分）若ab0，cd0，则一定有( ) A．

ab cdB．

ab cdC．

ab dcD．

ab dc【解答】解：不妨令a3，b1，c3，d1， 则

ab1，1，A、B不正确；

dcab13，， dc3C不正确，D正确．

解法二： cd0， cd0， ab0， acbd，

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acbd， cdcdab． dc

故选：D．

4．（5分）已知等比数列{an}满足a1A．2

B．1

1，a3a54(a41)，则a2( ) 4C．

1 21D．

8【解答】解：设等比数列{an}的公比为q， a1141，a3a54(a41)， 414()2q64(q31)，

化为q38，解得q2 11则a22．

42故选：C．

5．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，

22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自

习时间不少于22.5小时的人数是( )

A．56

B．60

C．120

D．140

【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：(0.160.080.04)2.50.7， 故自习时间不少于22.5小时的频数为：0.7200140， 故选：D．

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6．（5分）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的( )

A．充分不必要条件 C．充分必要条件

【解答】解：S4S62S5， 4a16d6a115d2(5a110d)，

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

21d20d， d0，

故“d0”是“S4S62S5”充分必要条件， 故选：C．

7．（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为( )

A．3，5

B．5，5

C．3，7

D．5，7

【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65， 故乙组数据的中位数也为65， 即y5，

则乙组数据的平均数为：66， 故x3， 故选：A．

8．（5分）已知等差数列{an}中，a3a78，则该数列前9项和S9等于( ) A．4

B．8

C．36

D．72

【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：a3a78a1a9， 则该数列前9项和S9故选：C．

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9(a1a9)9836． 22

9．（5分）设某大学的女生体重y（单位：kg)与身高x（单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1，2，，n)，用最小二乘法建立的回归方程为：

ˆ0.85x85.71，则下列结论中不正确的是( ) yA．3与3x22axb0具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(x，y)

C．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg D．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

【解答】解：对于A，0.850，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确； 对于B，回归直线过样本点的中心(x，y)，故正确；

ˆ0.8517085.7158.79，但这是预测值，不可断定其体重为对于C，x170cm时，y58.79kg，故不正确；

ˆ0.85x85.71，该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加对于D，回归方程为y0.85kg，故正确；

故选：C．

10．（5分）已知点A(2,0)，抛物线C:x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|:|MN|( ) A．2:5 B．1:2

C．1:5

D．1:3

【解答】解：抛物线C:x24y的焦点为F(0,1)，点A坐标为(2,0) 抛物线的准线方程为l:y1，直线AF的斜率为k011， 202过M作MPl于P，根据抛物线物定义得|FM||PM| RtMPN中，tanMNPk1， 2|PM|1，可得|PN|2|PM|，得|MN||PN|2|PM|25|PM| |PN|2|PM|1，可得|FM|:|MN||PM|:|MN|1:5 |MN|5因此，

故选：C．

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二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请将答案填在题中横线上． 11．（5分）在区间[3，2]上随机选取一个数X，则X0的概率为 【解答】解：在区间[3，2]内满足小于等于0的区间为[3，0]， 3X0的概率为：，

53故答案为：．

53 ． 5212．（5分）设xR，使不等式3x2x20成立的x的取值范围为 (1,) ．

3【解答】解：3x2x20，将3x2x2分解因式即有： 2(x1)(3x2)0；(x1)(x)0；

3由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边” 可得：1x2； 322即：{x|1x}；或(1,)；

332故答案为：(1,)；

313．（5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 0.98 ．

【解答】解：经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97， 有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99， 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：

x1(100.97200.98100.99)0.98．

102010故答案为：0.98．

y214．（5分）设双曲线C经过点(2,2)，且与x21具有相同渐近线，则C的方程为

4第9页（共15页）

x2y21 ；渐近线方程为 ． 312y2y22【解答】解：与x1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x2m，(m0)，

44双曲线C经过点(2,2)，

22m22143，

4y2x2y22即双曲线方程为x3，即1，

4312对应的渐近线方程为y2x，

x2y2故答案为：1，y2x．

312xy2115．（5分）已知正数x，y满足xy1，则当x 时，的最小值是 ．

xy2【解答】解：因为：正数x，y满足xy1，

xy21yxyyxyxy11123；当且仅当xy时取等号；此时

xyyxyxyxyx2取得最小值3． 故答案为：

1，3． 2三、解答题：（本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．（13分）某教研部门对本地区甲、乙、丙三所学校高一年级进行教学质量抽样调查，甲、乙、丙三所学校高一年级班级数量（单位：个）如表所示．研究人员用分层抽样的方法从这三所学校中共抽取6个班级进行调查．

学校 数量 甲 4 乙 12 丙 8 （Ⅰ）求这6个班级中来自甲、乙、丙三所学校的数量； （Ⅱ）若在这6个班级中随机抽取2个班级做进一步调查，

(i)列举出所有可能的抽取结果；

(ii)求这2个班级来自同一个学校的概率．

【解答】解：（Ⅰ）样本容量与总体中的个体的比是样本中包含的三所学校的个体数量分别是461，

412841111，123，82． 444（Ⅱ）(i)这6个班级来自甲、乙、丙三所学校的样本分别为甲；乙1，乙2，乙3；丙1，丙

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2．

则抽取的这2个班级构成的所有基本事件为：

{甲，乙1}，{甲，乙2}，{甲，乙3}，{甲，丙1}，{甲，丙2}， {乙1，乙2}，{乙1，乙3}，{乙1，丙1}，{乙1，丙2}， {乙2，乙3}，{乙2，丙1}，{乙2，丙2}，

{乙3，丙1}，{乙3，丙2}，{丙1，丙2}，共15个，

(ii)每个样本补抽到的机会均等，这些基本事件的出现是等可能的，

设事件A：“抽取的这2个班级来自同一个学校”， 则事件A包含的基本事件有：

{乙1，乙2}，{乙1，乙3}，{乙2，乙3}，{丙1，丙2}，共4个，

这2个班级来自同一个学校的概率P（A）4． 1517．（14分）已知抛物线y22px(p0)上一点P(1，y0)(y00)到其焦点的距离为5．双曲

y2线x1的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且双曲线的一条渐近线与直线APa2垂直．

（Ⅰ）求抛物线的方程及双曲线的离心率；

（Ⅱ）设点M在双曲线上，且MF1MF20，求M点到x轴的距离； （Ⅲ）过F2且斜率为1的直线与双曲线交于D，E两点，求线段DE的长度．

【解答】解：（Ⅰ）依题意，抛物线的准线方程为x4，故p8，则抛物线方程为y216x， 由点P(1，y0)(y00)在抛物线上，故y04，即P(1,4)，

y240又双曲线x1的左顶点为A(1,0)，故kAP2，

a1111由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可知，a，即a，故双曲线方程为x24y21，

242双曲线的离心率为（Ⅱ）

5； 2MF1MF20，

MF1MF2，即F1MF290，

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由双曲线中焦点三角形的面积公式有，S又SMF1F2b2cot11cot45， 244MF1F25111， |F1F2||yM|5|yM|，解得|yM|102245； 10M点到x轴的距离为（Ⅲ）易知，F2(55，与双曲线方程联立可得，,0)，则直线l的方程为yx223x245x60，

设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1x2由弦长公式有，|DE|1k245,x1x22， 316548． 93(x1x2)24x1x2218．（16分）如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，ACB90，AA1AB2BC2，DC13CD．

（Ⅰ）求证：AB1平面A1BD； （Ⅱ）求二面角ABDA1的余弦值； （Ⅲ）求点B1到平面A1BD的距离．

【解答】解：依题意，以C为原点，CB为x轴，CC1为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0),B(1,0,0),C1(0,2,0),B1(1,2,0),A(0,0,3)，A1(0,2,3)， DC13CD， D(0,,0)，

121（Ⅰ）证明：AB1(1,2,3),A1B(1,2,3),BD(1,,0)，

2第12页（共15页）

mA1Bx2y3z0设平面A1BD的一个法向量为m(x,y,z)，则，令z3，则1mBDxy02m(1,2,3)，

AB1m，即AB1//m，

AB1平面A1BD；

1（Ⅱ）AB(1,0,3),BD(1,,0)，

2nABa3c0设平面ABD的一个法向量为n(a,b,c)，则，令c3，则n(3,6,3)， 1nBDab02又平面A1BD的一个法向量为m(1,2,3)， cosm,n|mn312366|||，即二面角ABDA1的余弦值为； |m||n|441439363（Ⅲ）设点B1到平面A1BD的距离为d，则易知d点B1到平面A1BD的距离为2．

1|AB1|，而|AB1|14322， 2

19．（16分）已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，且a13，b5a33，b2a2，b8a4．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an； （Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn；

第13页（共15页）

（Ⅲ）令cn1og2an111，证明：1(n2)．

c2c3c3c4cncn13【解答】解：（Ⅰ）数列{an}是公比为q的等比数列，数列{bn}是公差为d的等差数列， a13，b2a2，b5a33，b8a4，可得b1d3q，b14d3q23，b17d3q3，

消去b1，d可得q3q2(1q2)，即q(1q2)2(1q2)，解得q2，d3，b13， 则an32n1，nN*；

133（Ⅱ）数列{bn}的前n项和Sn(33n)nn2n；

222（Ⅲ）证明：cn1og2111c2c3c3c4cncn1anlog22n1n1， 311111111111， 1223(n1)n223n1nn110，可得11， nn111故1(n2)． c2c3c3c4cncn1由

20．（16分）已知椭圆C的一个顶点为A(0,1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线xy220的距离为3．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆C与直线ykxm相交于不同的两点M，N，线段MN的中点为E． 射线OE交椭圆C于点G(O为坐标原点），交直线x3于点D(3,n)，(i)当k0，m0时，求k2n2的最小值；

(i)当k0，且|AM||AN|时，求m的取值范围．

x2y2【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为：221(ab0)，

ab由题意可得b1，

右焦点(c,0)到直线xy220的距离为3， |c22|1(1)223，c2，

a2b2c23，

x2椭圆C的方程为：y21；

3（Ⅱ）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

第14页（共15页）

ykxm222(13k)x6mkx(3m3)0， 联立方程x2，消去得：y2y13△36m2k24(13k2)(3m23)36k212m2120，即m23k21①，

3m236mk且x1x2，x1x2，

13k213k22m， y1y2k(x1x2)2m13k2点E的坐标为(3mkm，)， 213k13k2m21(i)直线OE的斜率为：13k，

3mk3k213k直线OE的方程为：y1x， 3k1， k射线OE交直线x3于点D(3,n)，nk2n2k21k22k2112，当且仅当，即k1时，等号成立， 2kk2k2k2n2的最小值为2；

(ii)|AM||AN|，AEMN，

m12m3k21113k，即2m3k21②， 3mk3mkk213kkAE把②代入①得：2mm2，解得0m2， 由②得k22m110，解得m， 321m的取值范围为：(，2)．

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