初一数学绝对值知识点与经典例题

【绝对值的几何意义】一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a

的绝对值记作a. （距离具有非负性）

【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0.

注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根

据性质去掉绝对值符号.

② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相

反数；0的绝对值是0.

③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.

④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负

号，绝对值是5.

【求字母a的绝对值】

a(a0)a(a0)a(a0)①a0(a0) ②a ③a

a(a0)a(a0)a(a0)利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：|a|≥0

如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若abc0，则a0，b0，c0

【绝对值的其它重要性质】

（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，

即aa，且aa；

（2）若ab，则ab或ab； （3）abab；

222aa(b0)； bb（4）|a||a|a； （5）||a|-|b|| ≤ |a±b| ≤ |a|+|b|

a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．

ab的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．

【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。 【绝对值不等式】

（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数

式类型来解；

（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：

A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法； B）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的 式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。 【绝对值必考题型】

例1：已知|x－2|＋|y－3|＝0，求x+y的值。

1

【例题精讲】

（一）绝对值的非负性问题

1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0. 2. 绝对值的非负性；若abc0，则必有a0，b0，c0 【例题】若

x3y1z50，则xyz 。

总结：若干非负数之和为0， 。

【巩固】若m3n7222p10，则p＋2n3m_______ 【巩固】先化简，再求值：3a2b32ab22(ab2a2b)2ab．

其中a、b满足

a3b1(2a4)20.

（二）绝对值的性质

【例1】若a＜0，则4a+7|a|等于（ ）

A．11a B．-11a C．-3a D．3a

【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）

A．1，0 B．正数 C．非正数 D．非负数

【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy＞0，则x-y的值等于（ ）

A．7或-7 B．7或3 C．3或-3 D．-7或-3

【例4】若

xx1，则x是（

）

A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数

【例5】已知：a＞0，b＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）

A．1-b＞-b＞1+a＞a B．1+a＞a＞1-b＞-b C．1+a＞1-b＞a＞-b D．1-b＞1+a＞-b＞a

【例6】已知a．b互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（ ）

A．2 B．2或3 C．4 D．2或4

【例7】a＜0，ab＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（ ）

A．6 B．-4 C．-2a+2b+6 D．2a-2b-6

【例8】若|x+y|=y-x，则有（ ）

A．y＞0，x＜0 B．y＜0，x＞0 C．y＜0，x＜0 D．x=0，y≥0或y=0，x≤0

【例9】已知：x＜0＜z，xy＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（ A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号

【例10】给出下面说法：

（1）互为相反数的两数的绝对值相等；

（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； （3）若|m|＞m，则m＜0；

（4）若|a|＞|b|，则a＞b，其中正确的有（ ）

A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）

2

）

【例11】已知a，b，c为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则 |c-b|-|b-a|-|a-c|= _________ -1c0a1b 【巩固】知a、b、c、d都是整数，且|a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求|a+d|的值。 【例12】若x＜-2，则|1-|1+x||=______

若|a|=-a，则|a-1|-|a-2|= ________

【例13】计算11111= ． 1....23220072006 【例14】若|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= ________ 【例15】已知数a,b,c的大小关系如图所示， b则下列各式：

①ba(c)0；②(a)bc0；③

0acabc1；④bca0； abc⑤

（请填写番号） abcbac2b．其中正确的有 ．

【巩固】已知：abc≠0，且M=种不同可能． abc，当a，b，c取不同值时，M有 ____ abc当a、b、c都是正数时，M= ______； 当a、b、c中有一个负数时，则M= ________； 当a、b、c中有2个负数时，则M= ________； 当a、b、c都是负数时，M=__________ ． 【巩固】已知a，，bc是非零整数，且abc0，求

abcabc的值 abcabc

3

（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）

零点分段法的一般步骤：找零点→分区间→定符号→去绝对值符号． 【例题】阅读下列材料并解决相关问题：

xx0我们知道x0x0，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，

xx0如化简代数式x1x2时，可令x10和x20，分别求得

，在有理数范围内，零点 x1，x2（称1，2分别为x1与x2的零点值）值x1和x2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况： ⑴当x1时，原式x1x22x1 ⑵当1≤x2时，原式x1x23 ⑶当x≥2时，原式x1x22x1

2x1x1综上讨论，原式31≤x2

2x1x≥2（1）求出x2和x4的零点值 （2）化简代数式x2x4 解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4．

（2）当x＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；

当-2≤x＜4时，|x+2|+|x-4|=6； 当x≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2．

【巩固】化简

1. x1x2 2. mm1m2的值 3. x52x3． 4. (1)

2x1；

变式5.已知

x3x2的最小值是a，x3x2的最大值为b，求ab的值。

4

（四）

ab表示数轴上表示数a、数b的两点间的距离．

【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2，3与5，2与6，4与3. 并回答下列各题：

(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： . (2) 若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离

可以表示为 .

(3) 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 . (4) 满足

x1x43的x的取值范围为 .

x2008的值为常数，试求x的取值范围．

(5) 若x1x2x3

（五）、绝对值的最值问题

例题1: 1）当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？ 2) 当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？ 3) 当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？ 4）当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？ 例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？ 2)当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？ 3)当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？ 4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？ 若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、 1）非负数：0和正数，有最小值是0 2）非正数：0和负数，有最大值是0

3）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤0 4）x是任意有理数，m是常数，则|x+m|≥0，有最小值是0，

-|x+m|≤0有最大值是0

（可以理解为x是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0） 5）x是任意有理数，m和n是常数，则|x+m|+n≥n，有最小值是n

-|x+m|+n≤n，有最大值是n

(可以理解为|x+m|+n是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左（n<0)平移了|n|个单位，为如|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值整体向右平移了3个单位，|x-1|≥0，有最小值是0，则|x-1|+3的最小值是3） 总结：根据3）、4)、5）可以发现， 当绝对值前面是“+”号时，代数式有最小值， 有“-”号时，代数式有最大值 . 例题1：1 ) 当x取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？ 2 ) 当x取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？ 3 ) 当x取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？ 4） 当x取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？

解： 1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是0 2）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是3 3）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3 4）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3 有最小值是-3

5

例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？ 2 ) 当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？ 3 ) 当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？ 4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？

思考：若x是任意有理数，a和b是常数，则 1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？ 2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？ 3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？

例题3：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围

例题4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？

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例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值

归档总结：

若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值

若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值

例题5：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？

【例题6】 |x-1|的最小值 |x-1|+|x-2|的最小值 |x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值

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【例题7】（1）已知|x|=3，求x的值

（2）已知|x|≤3，求x的取值范围 （3）已知|x|＜3，求x的取值范围 （4）已知|x|≥3，求x的取值范围 （5）已知|x|＞3，求x的取值范围

【例题8】

（1）已知|x|≤3，则满足条件的所有x的整数值是多少？且所有整数的和是多少？ （2）已知|x|＜3，则满足条件的x的所有整数值是多少？且所有整数的和是多少？

【乘方最值问题】

（1）当a取何值时，代数式（a-3)² 有最小值，最小值是多少？ （2）当a取何值时，代数式 (a-3)²+4有最小值，最小值是多少？ （3）当a取何值时，代数式(a-3)²-4有最小值，最小值是多少？ （4）当a取何值时，代数式-（a-3)² 有最大值，最大值是多少？ （5）当a取何值时，代数式- (a-3)²+4有最大值，最大值是多少？ （6）当a取何值时，代数式-(a-3)²-4有最大值，最大值是多少？ （7）当a取何值时，代数式4- (a-3)²有最大值，最大值是多少？

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【探究1】某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A、B、C、D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好？

【探究2】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3 A4，A5五个汽车站（从左

到右依次排列），上述问题中加油站M建在何处最好？

【探究3】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3，…，An共n个汽车站（从

左到右依次排列），上述问题中加油站M建在何处最好？

【探究4】根据以上结论，求|x-1|+|x-2|+.....+|x-616|+|x-617| 的最小值。

探究：根据绝对值的几何意义，就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1、2、…、617各点的距离之和最小。

【课后练习】

1.（1）当x取何值时，

x3有最小值？这个最小值是多少？

（2）当x取何值时，5x2有最大值？这个最大值是多少？ （3）求x4x5的最小值。

（4）求x7x8x9的最小值。

2．已知

x1,y1，设Mxyy12yx4，求M 的

最大值与最小值．

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2(ab1)|ab1|3、若与互为相反数，求3a2b1的值。

ab1(ab1)24．若与互为相反数，则a与b的大小关系是( )．

A．a>b B．a=b C．a5 . 利用数轴分析|x-2|+|x+3|，可以看出，这个式子表示的是x到2的距离与x到-3 的距离之和，它表示两条线段相加：

⑴当x> 时，发现，这两条线段的和随x的增大而越来越大； ⑵当x< 时，发现，这两条线段的和随x的减小而越来越大；

⑶当 ≤x≤ 时，发现，无论x在这个范围取何值，这两条线段的和是 一个定值 ，且比⑴、⑵情况下的值都小。

因此，总结，|x-2|+|x+3|有最小值 ，即等于 到 的距离。 6. 利用数轴分析|x+7|-|x-1| ，这个式子表示的是x到-7的距离与x到1的距离之差 它表示两条线段相减：

⑴当x≤ 时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值 ； ⑵当x≥ 时，发现，无论x取何值，这个差值是一个定值 ； ⑶当

x 时，随着x增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。

因此，总结，式子|x+7|-|x-1| 当x 时，有最大值 ；当x 时， 有最小值 ； 7．设abc0，abc0，则的值是（ ）．

A．-3 B．1 C．3或-1 D．-3或1 8．设a、b、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且a则

bc，

abbcca可能取得的最大值是 ．

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绝对值（零点分段法、化简、最值）

一、去绝对值符号的几种常用方法

解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1利用定义法去掉绝对值符号

x(x0)x根据实数含绝对值的意义，即||=，有

x(x0)xc或xc(c0)cxc(c0)|x|cx0(c0)

(c0)xR(c0)2利用不等式的性质去掉绝对值符号

可化为－c对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x|=x可在两边脱去绝对值

22利用不等式的性质转化|x|c(c>0)来解，如|axb|>c(c>0)可为axb>c或axb<－c；|axb|符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时 还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负 数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方 去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。 4利用零点分段法去掉绝对值符号

所谓零点分段法，是指：若数x1，x2，……，xn分别使含有|x－x1|，|x－x2|，……，|x－xn|的代数式中相应绝对值为零，称x1，x2，……，xn为相应绝

对值的零点，零点x1，x2，……，xn将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。 5利用数形结合去掉绝对值符号

解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对 值转化为数轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简 单化，此解法适用于二、如何化简绝对值

绝对值的知识是初中代数的重要内容，在中考和各类竞赛中经常出现，含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一，解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义，将绝对值符号化去，将问题转化为不含绝对值符号的问题，确定绝对值符号内部分的正负，借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 （一）、根据题设条件

例1：设x<-1，化简2-｜2-｜x-2｜｜的结果是（ ）。

（A）2-x （B）2+x （C）-2+x （D）-2-x

|xa||xb|m或|xa||xb|m|axb||cxd|m(或(

m为正常数)类型不等式。对

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（二）、借助数轴

例2：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值等于（ ） （A）-a （B）2a-2b （C）2c-a （D）a

（三） 、采用零点分段讨论法 例3：化简 2|x-2|-|x+4|

三、带绝对值符号的运算

如何去掉绝对值符号？既是初中数学的一个重点，也是初中数学的一个难点。 (一)、要理解数a的绝对值的定义。

数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a 的绝对值。”应理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身 是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。 (二)、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。

从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝 对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。重点理解的是，当a是一个负数时， 怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是 非负的作用，二是括号的作用）。

(三)、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如︱a︱的一类问题

只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。 当a>0 时， ︱a︱= a (性质1：正数的绝对值是它本身) ； 当a=0 时， ︱a︱= 0 (性质 2：0的绝对值是0) ；

当a<0 时； ︱a︱= –a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题

首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性 质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。

当a+b>0 时，︱a+b︱= (a+b) =a +b (性质1：正数的绝对值是它本身) ； 当a+b=0 时，︱a+b︱= (a+b) =0 (性质 2：0的绝对值是0)；

当a+b<0 时， ︱a+b︱= –(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如︱a-b︱的一类问题

同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3 个性质，去掉绝对值符号进行化简。

但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。 因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，

所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。

口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。 4、对于数轴型的一类问题，

根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。

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5、对于绝对值符号前有正、负号的运算

非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！

6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算

万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与0比较，大于0直接去绝对值号，小于0的整体前面加负号。 四、去绝对值化简专题练习

（1）设x<-1化简2-｜2-｜x-2｜｜的结果是（ ）。 （A）2-x （B）2+x （C）-2+x （D）-2-x

（2）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|-|a+b|+|c-a|+|b-c|的值

等于（ ）

（A）-a （B）2a-2b （C）2c-a （D）a

（3）已知x≥2，化简2|x-2|-|x+4|的结果是 x-8 。 （4）已知x<-4，化简2|x-2|-|x+4|的结果是 -x+8 。 （5）已知-4≤x<2，化简2|x-2|-|x+4|的结果是 -3x 。

（6）已知a、b、c、d满足a<-1那么a+b+c+d= 0 （提示：可借助数轴完成） （7） 若｜-a｜>-a，则有（ A ）。

（A）a>0 （B）a<0 （C）a<-1 （D）-1（8）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c| 化简

结果为（ C ）． （A）2a+3b-c （B）3b-c （C）b+c （D）c-b

（9） 有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，a+b，b-2a，

|a-b|，|a|-|b| 中负数的个数是（B ）． （A）0 （B）1 （C）2 （D）3

(10) 化简|x+4|+2|x-2|=

(1)-3x (x<-4) (2)-x+8(-4≤x≤2) (3)3x(x>2)

(11) 设x是实数，y=|x-1|+|x+1| 下列四个结论中正确的是（ D ）。 （A）y没有最小值 （B）有有限多个x使y取到最小值 （C）只有一个x使y取得最小值 （D）有无穷多个x使y取得最小值 变式1. 若|m－1|=m－1，则m_______1; 若|m－1|>m－1，则m_______1;

变式2.已知

x3x2的最小值是a，x3x2的最大值为b，求ab的值。

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【绝对值化简题例】

绝对值化简公式：

例题1：化简代数式 |x-1|

例题2：化简代数式 |x+1|+|x-2|

例题3：化简代数式 |x+11|+|x-12|+|x+13|

例题4：化简代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|

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