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1．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，连接BD，点E为BD点连接CE，∠CED＝∠ABD，过点A作AG⊥CE，垂足为G，AG交ED于点F． （1）判断AF与AD的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若AC＝CE，点D为AC的中点，AB与AC相等吗？为什么？ （3）在（2）的条件下，如图3，若DF＝5，求△DEC的面积．
2．已知在△ABC和△ADE中，∠ACB+∠AED＝180°，CA＝CB，EA＝ED，AB＝3． （1）如图1，若∠ACB＝90°，B、A、D三点共线，连接CE： ①若CE＝
，求BD长度；
②如图2，若点F是BD中点，连接CF，EF，求证：CE＝EF；
（2）如图3，若点D在线段BC上，且∠CAB＝2∠EAD，试直接写出△AED面积的最小值．
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3．【实践探索】
某校数学综合实践活动课上利用三角形纸片进行拼图探究活动． （1）某小组用一幅三角板按如图①摆放，则图中∠1＝ ；
（2）某小组利用两块大小不同等腰直角三角板△ABC和△EBD按图②摆放，点A、C、E在一直线上，连接CD交BE于点F，经小组同学探索发现CD⊥AE，请你证明此结论； 【拓展研究】
（3）课后，某小组自制了两块三角形纸片△ABC和△DEF（如图③），其中∠A＝∠D，AB＝DE，∠C+∠F＝180°，他们把两块三角形纸片的AB与DE重叠在一起（A与D重合，B与E重合），C、F在AB两侧，过点B作BM⊥AC，垂足为M（如图④），经实践小组探索发现，线段AC、CM、AF之间存在某种数量关系，请你探究此关系并加以证明．
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4．四边形ABCD是正方形，AC是对角线，点E是AC上一点（不与AC中点重合），过点A作AE的垂线，在垂线上取一点F，使AF＝AE，并且点E和点F在直线AB的同侧，连结FD并延长至点G，使FD＝GD，连结GE． （1）如图1所示
①根据题意，补全图形：
②求∠CEG的度数，判断线段GE和CE的数量关系并给出证明．
（2）若点E是正方形内任意一点，如图2所示，判断（1）中的结论还成立吗？如果成立，给出证明；如果不成立，说明理由．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝12，△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝DF＝6，△DEF沿射线CB平移，直角边EF始终在射线CB上，连接AD、BD，设CE的长度为x．（0＜x＜6）．
（1）是否存在点A在BD垂直平分线上的情况？存在，求x的值；不存在，说明理由； （2）连接AE，当x为何值时，四边形AEBD是平行四边形？说明理由；
（3）将△ABD绕点B逆时针旋转60°，得到△A′BD′，是否存在x的值，使点D′落在△ABC的边上？若存在，直接写出x的值；若不存在，说明理由．
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6．（1）如图①，在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD上的点，连接AP、AQ，且∠PAQ＝∠B．求证：AP＝AQ．
下面是小文对这道试题的思考，先研究特殊情况，再证明一般情况．
（Ⅰ）如图②，当AP⊥BC于点P时，请在下列框图中补全他的证明思路． 小文的证明思路
要证AP＝AQ，只要证△ABP≌△ADQ．由己如条件知四边形ABCD是菱形，可得AB＝AD， ，故只要证∠APB＝∠AQD．由 ，得∠APB＝∠APC＝90°，故只要证∠AQD＝90°．即证∠AQC＝90°，易证∠PAQ+∠APC+∠C+∠AQC＝360°，故只要证 ．由已知条件知∠PAQ＝∠B，易证∠B+∠C＝180°，即可得证．
（Ⅱ）如图①，当AP与BC不垂直时，……请你完成证明．
小文完成证明后，又进一步思考，提出下列问题，请你完成解答． （2）如图③，在菱形ABCD中，P、Q分别是BC、CD延长线上的点，且∠PAQ＝∠B．若AB＝4，∠B＝60°，∠APB＝45°，则四边形ABCQ的面积是 ．
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7．等边△ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE． （1）观察猜想：
如图1，当点D在线段BC上时，
①AB与CE的位置关系为 ；
②BC、CD、CE之间的数量关系为 ． （2）数学思考：
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸：
①当点D在线段BC上时，已知AB＝2，以A、C、D．E为顶点的四边形的面积为 ． ②已知AB＝2，当点D在直线CB上运动的过程中，BE的值最小时，DE的长为 ．
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