瑞安市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 已知函数f（x）的图象如图，则它的一个可能的解析式为（

）

A．y=2B．y=log3（x+1）C．y=4﹣D．y=

）

2． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（

A．12π+15A．15

B．13π+12

C．31

C．18π+12D．64

D．21π+15

）

3． 已知等差数列{an}中，a6+a8=16，a4=1，则a10的值是（

B．30

4． 一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（ A．3

B．

C．2

）D．6

）

5． 数列{an}满足a1=3，an﹣an•an+1=1，An表示{an}前n项之积，则A2016的值为（ A．﹣

B．

C．﹣1

D．1

6． 已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=（ A．x3+2x2

）B．x3﹣2x2

C．﹣x3+2x2

D．﹣x3﹣2x2

7． 已知集合A{x| lgx0}，B={x| A．(0,3]

B．(1,2]

1x3}，则AB（ ）21C．(1,3] D．[,1]2【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力．

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8． 如果函数f（x）的图象关于原点对称，在区间上是减函数，且最小值为3，那么f（x）在区间上是（

）

B．增函数且最大值为3

A．增函数且最小值为3

C．减函数且最小值为﹣3D．减函数且最大值为﹣3　

的投影为（ A．-3

）

C．3 ）

B．3

D．39． ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OAABAC为零向量，且|OA||AB|，则CA在BC方向上

B．3 10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段AC11的中点，若四面体M-ABD的外接球体积为36p，则正方体棱长为（ A．2

C．4

D．5

【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力．11．设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥β，m⊥β，则m∥α；其中正确命题的序号是（

）

D．①③

）

）

A．①②③④B．①②③C．②④

12．函数f（x）=sinωx（ω＞0）在恰有11个零点，则ω的取值范围（ A．C．D．时，函数f（x）的最大值与最小值的和为（ A．a+3B．6　

C．2

D．3﹣a

二、填空题

13．已知函数f(x)xax3x9，x3是函数f(x)的一个极值点，则实数a 14．从等边三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+的最小值为　　　　　　．32．，则这两个正方形的面积之和

15．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：

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①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是　　　　　　．　

16．已知a、b、c分别是ABC三内角A、B、C的对应的三边，若csinAacosC，则

3sinAcos(B转化思想．

3)的取值范围是___________．4【命题意图】本题考查正弦定理、三角函数的性质，意在考查三角变换能力、逻辑思维能力、运算求解能力、17．函数yfx的定义域是0,2，则函数yfx1的定义域是__________.111]18．已知数列{an}中，2an，an+1是方程x2﹣3x+bn=0的两根，a1=2，则b5=　　．　

三、解答题

19．（本小题满分12分）已知函数h(x)13xax21，设f(x)h'(x)2alnx，3g(x)ln2x2a2，其中x0，aR.

（1）若函数f(x)在区间(2,)上单调递增，求实数的取值范围； （2）记F(x)f(x)g(x)，求证：F(x)1.220．已知函数f（x）=4（Ⅰ）当x∈[0，

sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3．

]时，求函数f（x）的值域；

，

=2+2cos（A+C），

（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=求f（B）的值．　

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21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝1x2＋x＋a，g（x）＝ex.

2

（1）记曲线y＝g（x）关于直线y＝x对称的曲线为y＝h（x），且曲线y＝h（x）的一条切线方程为mx－y－1＝0，求m的值；

（2）讨论函数φ（x）＝f（x）－g（x）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a的取值范围．

22．已知三次函数f（x）的导函数f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b，a、b为实数．（1）若曲线y=f（x）在点（a+1，f（a+1））处切线的斜率为12，求a的值；

（2）若f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1，且1＜a＜2，求函数f（x）的解析式．　

23．某校为了解2015届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1：2：4，其中第二小组的频数为11．

（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；

（Ⅱ）若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的数学期望与方差．

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24．如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连

接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），

（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；

（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小。

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瑞安市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：由图可得，y=4为函数图象的渐近线，函数y=2函数y=4﹣

，y=log3（x+1），y=

的值域均含4，

即y=4不是它们的渐近线，

的值域为（﹣∞，4）∪（4，+∞），

故y=4为函数图象的渐近线，故选：C

【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的值域，难度中档．　

2． 【答案】C

【解析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，圆锥的底面圆半径为1，高为2，∴圆锥的母线长为5，

∴几何体的表面积S=×π×42+×π×4×5+×8×3=18π+12．故选：C．　

3． 【答案】A

【解析】解：∵等差数列{an}，∴a6+a8=a4+a10，即16=1+a10，∴a10=15，故选：A．　

4． 【答案】C

【解析】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=，∴c=2，a=3，∴b=∴2b=2

．

故选：C．

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．　

5． 【答案】D

【解析】解：∵a1=3，an﹣an•an+1=1，

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∴…

，得，，a4=3，

∴数列{an}是以3为周期的周期数列，且a1a2a3=﹣1，∵2016=3×672，∴A2016 =（﹣1）672=1．故选：D．　

6． 【答案】A

【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，

因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A．　

7． 【答案】D

【解析】由已知得A=x0【解析】解：由奇函数的性质可知，若奇函数f（x）在区间上是减函数，且最小值3，则那么f（x）在区间上为减函数，且有最大值为﹣3，故选：D

【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，比较基础．　

9． 【答案】B【解析】

{}12考点：向量的投影．10．【答案】C

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11．【答案】B

【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面：在①中：若m⊥α，n∥α，则由直线与平面垂直得m⊥n，故①正确；在②中：若α∥β，β∥γ，则α∥γ，

∵m⊥α，∴由直线垂直于平面的性质定理得m⊥γ，故②正确；

在③中：若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质定理得m∥n，故③正确；在④中：若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故④错误．故选：B．　

12．【答案】A

【解析】A．C．D．恰有11个零点，可得5π≤ω•求得10≤ω＜12，故选：A．

＜6π，

二、填空题

13．【答案】5【解析】

试题分析：f(x)3x2ax3,f(3)0,a5．考点：导数与极值．14．【答案】　　．

【解析】解：设大小正方形的边长分别为x，y，（x，y＞0）．则

+x+y+

=3+

，

'2'化为：x+y=3．则x2+y2

=，当且仅当x=y=时取等号．

∴这两个正方形的面积之和的最小值为．故答案为：．

15．【答案】　①②④　．

【解析】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．

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∵f（2x）=2f（x），∴f（2kx）=2kf（x）．

①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确；②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．…

一般地当x∈（2m，2m+1），则

∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，

从而f（x）∈[0，+∞），故正确；

③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即2n﹣1=9，∴2n=10，∵n∈Z，

∴2n=10不成立，故错误；

④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数，

∴若（a，b）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．故答案为：①②④．　

16．【答案】(1, 【

解

析

】

62)217．【答案】1,1【解析】

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考

点：函数的定义域.

18．【答案】　﹣1054　．

【解析】解：∵2an，an+1是方程x2﹣3x+bn=0的两根，∴2an+an+1=3，2anan+1=bn，

∵a1=2，∴a2=﹣1，同理可得a3=5，a4=﹣7，a5=17，a6=﹣31．则b5=2×17×（﹣31）=1054．故答案为：﹣1054．

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　

三、解答题

19．【答案】（1）(,].（2）证明见解析.【

解

析

】

43试

13xax21，h'(x)x22ax，1111]32所以函数f(x)h'(x)2alnxx2ax2alnx，∵函数f(x)在区间(2,)上单调递增，

题解析：解：（1）函数h(x)2x22ax2ax2∴f'(x)h'(x)2alnx在x(2,)上恒成0在区间(2,)上恒成立，所以axx1立.

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2x(x1)x2x22xx2令M(x)，则M'(x)，当x(2,)时，M'(x)0，22(x1)(x1)x1x244∴M(x)M(2)，∴实数的取值范围为(,].

x133x2ln2x（2）F(x)x2ax2alnxlnx2a2[a(xlnx)a]，

2x2ln2x2令P(a)a(xlnx)a，则111]

2xlnx2xlnx2x2ln2xxlnx2(xlnx)2(xlnx)2.P(a)(a)()(a)2222441x1令Q(x)xlnx，则Q'(x)1，显然Q(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间[1,)上单调递增，

xx111则Q(x)minQ(1)1，则P(a)，故F(x)2.

4422222考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

【方法点晴】本题主要考查导数在解决函数问题中的应用.考查利用导数证明不等式成立.（1）利用导数的工具性求解实数的取值范围；（2）先写出具体函数Fx,通过观察Fx的解析式的形式,能够想到解析式里可能存在完全平方式,所以试着构造完全平方式并放缩,所以只需证明放缩后的式子大于等于导判单调性求出最值证得成立.

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）f（x）=4sin2x+2cos2x=4sin（2x+∵x∈[0，∴2x+

∈[]，，

]，

）．

sinxcosx﹣5sin2x﹣cos2x+3=2

sin2x﹣

+3=2

1即可,从而对新函数求4∴f（x）∈[﹣2，4]．

（Ⅱ）由条件得 sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），化简得 sinC=2sinA，由正弦定理得：c=2a，又b=

，

a2cosA，解得：cosA=

，

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=3a2+4a2﹣4

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故解得：A=∴f（B）=f（

，B=，C=，

）=4sin=2．

【点评】本题考查了平方关系、倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性、正弦定理、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．　

21．【答案】

【解析】解：（1）y＝g（x）＝ex关于直线y＝x对称的曲线h（x）＝ln x，设曲线y＝h（x）与切线mx－y－1＝0的切点为（x0，ln x0），由h（x）＝ln x得h′（x）＝1，（x＞0），＝m

则有x0，

mx0－ln x0－1＝0解得x0＝m＝1.∴m的值为1.

（2）φ（x）＝1x2＋x＋a－ex，

2

φ′（x）＝x＋1－ex，令t（x）＝x＋1－ex，∴t′（x）＝1－ex，

当x＜0时，t′（x）＞0，x＞0时，t′（x）＜0，x＝0时，t′（x）＝0.

∴φ′（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x）max＝φ′（0）＝0，即φ′（x）≤0在（－∞，＋∞）恒成立，即φ（x）在（－∞，＋∞）单调递减，且当a＝1有φ（0）＝0.

∴不论a为何值时，φ（x）＝f（x）－g（x）有唯一零点x0，当x0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0，

2e－3

即（a－1）（a－）＜0，

2

2e－32e－3

∴1＜a＜，即a的取值范围为（1，）．

22

22．【答案】

【解析】解：（1）由导数的几何意义f′（a+1）=12

{1

x)第 12 页，共 14 页

∴3（a+1）2﹣3a（a+1）=12∴3a=9∴a=3

（2）∵f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b∴

由f′（x）=3x（x﹣a）=0得x1=0，x2=a∵x∈[﹣1，1]，1＜a＜2

∴当x∈[﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减．∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（0）∵f（0）=b，∴b=1∵

∴f（﹣1）＜f（1）

∴f（﹣1）是函数f（x）的最小值，∴∴

∴f（x）=x3﹣2x2+1

【点评】曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；求函数的最值，一定要注意导数为0的根与定义域的关系．　

23．【答案】

【解析】（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设该校报考飞行员的总人数为n，前三个小组的频率为p1，p2，p3，则

，

，

解得由于

，，，故n=55．…

，…

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一个报考学生的体重超过60公斤的概率为：p=

，

），…

由题意知X服从二项分布，即：X～B（3，

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∴P（X=k）=∴EX=

=

，DX=

=

，k=0，1，2，3，．…

【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力，考查化归与转化思想，是中档题．　

24．【答案】（1）1（2）60°

【解析】（1）设BD=x，则CD=3﹣x∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x

∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D∴AD⊥平面BCD

∴VA﹣BCD=×AD×S△BCD=×（3﹣x）××x（3﹣x）=（x3﹣6x2+9x）设f（x）=（x3﹣6x2+9x） x∈（0，3），

∵f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数∴当x=1时，函数f（x）取最大值

∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，

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