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七年级数学上册期中易错题集及解析

2021-07-22 来源:华佗小知识


七年级上册数学

同步经典 易错题+中考题

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第一章 有理数

1.2有理数 类型一:正数和负数

1.在下列各组中,哪个选项表示互为相反意义的量( ) A.足球比赛胜5场与负5场 B.向东走3千米,再向南走3千米

C.增产10吨粮食与减产﹣10吨粮食 D.下降的反义词是上升 考点:正数和负数。 分析:在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.“正”和“负”相对.

解答:解:表示互为相反意义的量:足球比赛胜5场与负5场. 故选A 点评:解题关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.此题的难点在“增产10吨粮食与减产﹣10吨粮食”在这一点上要理解“﹣”就是减产的意思. 变式1:

2.下列具有相反意义的量是( ) A.前进与后退 B.胜3局与负2局 考点C:正数和负数。.气温升高3℃

与气温为﹣3℃ D.盈利3万元与支出2万元 分析:在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示. 解答:解:A、前进与后退,具有相反意义,但没有量.故错误; B、正确;

CD、升高与降低是具有相反意义的量,气温为﹣、盈利与亏损是具有相反意义的量.与支出23万元不具有相反意义,故错误.℃只表示某一时刻的温度,故错误; 故选B.

点评:解题关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量. 类型二:有理数

1.下列说法错误的是( ) A.负整数和负分数统称负有理数 B.正整数,0,负整数统称为整数 C.正有理数与负有理数组成全体有理数 D.3.14是小数,也是分数 考点:有理数。

分析:按照有理数的分类判断:

2

有理数.

解答:解:负整数和负分数统称负有理数,A正确. 整数分为正整数、负整数和0,B正确.

正有理数与0,负有理数组成全体有理数,C错误.

3.14是小数,也是分数,小数是分数的一种表达形式,D正确. 故选C.

点评:认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点.注意整数和正数的区别,注意0是整数,但不是正数. 变式:

2.下列四种说法:①0是整数;②0是自然数;③0是偶数;④0是非负数.其中正确的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 考点:有理数。

分析:根据0的特殊规定和性质对各选项作出判断后选取答案,注意:2002年国际数学协会规定,零为偶数;我国2004年也规定零为偶数. 解答:解:①0是整数,故本选项正确; ②0是自然数,故本选项正确;

③能被2整除的数是偶数,0可以,故本选项正确; ④非负数包括正数和0,故本选项正确. 所以①②③④都正确,共4个. 故选A.

点评:本题主要对0的特殊性的考查,熟练掌握是解题的关键. 3.下列说法正确的是( ) A.零是最小的整数 B.有理数中存在最大的数

C.整数包括正整数和负整数 D.0是最小的非负数 考点:有理数。

分析:根据有理数的分类进行判断即可.有理数包括:整数(正整数、0和负整数)和分数(正分数和负分数).

解答:解:A、整数包括正整数、0、负整数,负整数小于0,且没有最小值,故A错误;B、有理数没有最大值,故B错误;

C、整数包括正整数、0、负整数,故C错误; D、正确.故选D.

点评:认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点.注意整数和正数的区别,注意0是整数,但不是正数.

3

4.把下面的有理数填在相应的大括号里:(★友情提示:将各数用逗号分开)15,,0,

﹣30,0.15,﹣128,

,+20,﹣2.6

正数集合﹛ 15,0.15,,+20 …﹜

负数集合﹛

,﹣30,﹣128,﹣2.6 …﹜

整数集合﹛ 15,0,﹣30,﹣128,+20 …﹜ 分数集合﹛ ,0.15,

,﹣2.6 …﹜

考点:有理数。

分析:按照有理数的分类填写:有理数.

解答:解:正数集合﹛15,0.15,,+20,﹜

负数集合﹛

,﹣30,﹣128,﹣2.6,﹜

整数集合﹛15,0,﹣30,﹣128,+20,﹜ 分数集合﹛

,0.15,

,﹣2.6,﹜

点评:认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点.注意整数和正数的区别,注意0是整数,但不是正数.

1.3数轴 类型一:数轴 选择题 1.(2009•绍兴)将一刻度尺如图所示放在数轴上(数轴的单位长度是1cm),刻度尺上的“0cm”和“15cm”分别对应数轴上的﹣3.6和x,则( )

A.9<x<10

B.10<x<11

C.11<x<12 D.12<x<13

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考点:数轴。

分析:本题图中的刻度尺对应的数并不是从0开始的,所以x对应的数要减去﹣3.6才行. 解答:解:依题意得:x﹣(﹣3.6)=15,x=11.4. 故选C.

点评:注意:数轴上两点间的距离=右边的数减去左边的数.

2.在数轴上,与表示数﹣1的点的距离是2的点表示的数是( ) A.1 B.3 C.±2 D.1或﹣3 考点:数轴。

分析:此题可借助数轴用数形结合的方法求解.在数轴上,与表示数﹣1的点的距离是2的点有两个,分别位于与表示数﹣1的点的左右两边.

解答:解:在数轴上,与表示数﹣1的点的距离是2的点表示的数有两个:﹣1﹣2=﹣3;﹣1+2=1. 故选D.

点评:注意此类题应有两种情况,再根据“左减右加”的规律计算.

3.数轴上表示整数的点称为整点.某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB,则线段AB盖住的整点的个数是( ) A.2002或2003 B.2003或2004 C.2004或2005 D.2005或2006 考点:数轴。

分析:某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB,则线段AB盖住的整点的个数可能正好是2005个,也可能不是整数,而是有两个半数那就是2004个.

解答:解:依题意得:①当线段AB起点在整点时覆盖2005个数; ②当线段AB起点不在整点,即在两个整点之间时覆盖2004个数. 故选C.

点评:在学习中要注意培养学生数形结合的思想.本题画出数轴解题非常直观,且不容易遗漏,体现了数形结合的优点.

4.数轴上的点A表示的数是+2,那么与点A相距5个单位长度的点表示的数是( ) A.5 B.±5 C.7 D.7或﹣3 考点:数轴。

分析:此题注意考虑两种情况:要求的点在已知点的左侧或右侧.

解答:解:与点A相距5个单位长度的点表示的数有2个,分别是2+5=7或2﹣5=﹣3. 故选D.

点评:要求掌握数轴上的两点间距离公式的运用.在数轴上求到已知点的距离为一个定值的点有两个.

5.如图,数轴上的点A,B分别表示数﹣2和1,点C是线段AB的中点,则点C表示的

5

数是( )

A.﹣0.5 B.﹣1.5 C.0

D.0.5

考点:数轴。

分析:根据数轴的相关概念解题.

解答:解:∵数轴上的点A,B分别表示数﹣2和1, ∴AB=1﹣(﹣2)=3.

∵点C是线段AB的中点, ∴AC=CB=AB=1.5,

∴故选把点AA.向右移动

1.5个单位长度即可得到点C,即点C表示的数是﹣2+1.5=﹣0.5. 点评:本题还可以直接运用结论:如果点A、B在数轴上对应的数分别为x1,x2,那么线段AB的中点C表示的数是:(x1+x2)÷2.

6.点M在数轴上距原点4个单位长度,若将M向右移动2个单位长度至N点,点N表示的数是( ) A.6 B.﹣2 C.﹣6 D.6或﹣2 考点:数轴。

分析:首先根据绝对值的意义“数轴上表示一个数的点到原点的距离,即为这个数的绝对值”,求得点M对应的数;再根据平移和数的大小变化规律,进行分析:左减右加. 解答:解:因为点M在数轴上距原点4个单位长度,点M的坐标为±4. (1)点M坐标为4时,N点坐标为4+2=6;

(2)点M坐标为﹣4时,N点坐标为﹣4+2=﹣2. 所以点N表示的数是6或﹣2. 故选D.新课|标 第| 一|网

点评:此题考查了绝对值的几何意义以及平移和数的大小变化规律.

7.如图,A、B、C、D、E为某未标出原点的数轴上的五个点,且AB=BC=CD=DE,则点D所表示的数是( ) A.10 B.9 C.6 D.0 考点:数轴。

分析:A与E之间的距离已知,根据AB=BC=CD=DE,即可得到DE之间的距离,从而确定点D所表示的数.

解答:解:∵AE=14﹣(﹣6)=20,

又∵AB=BC=CD=DE,AB+BC+CD+DE=AE,

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∴DE=AE=5,

∴故选D表示的数是B.

14﹣5=9. 点评:观察图形,求出AE之间的距离,是解决本题的关键.

填空题

8.点A表示数轴上的一个点,将点A向右移动7个单位,再向左移动4个单位,终点恰好是原点,则点A表示的数是 ﹣3 . 考点:数轴。

分析:此题可借助数轴用数形结合的方法求解. 解答:解:设点A表示的数是x. 依题意,有x+7﹣4=0, 解得x=﹣3.

点评:此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容,用几何方法借助数轴来求解,非常直观,体现了数形结合的优点. 新-课-标 - 第-一-网 解答题

9.已知在纸面上有一数轴(如图),折叠纸面. (1)若折叠后,数1表示的点与数﹣1表示的点重合,则此时数﹣2表示的点与数 2 表示的点重合; (2)若折叠后,数3表示的点与数﹣1表示的点重合,则此时数5表示的点与数 ﹣3 表示的点重合;若这样折叠后,数轴上有A、B两点也重合,且A、B两点之间的距离为9(A在B的左侧),则A点表示的数为 ﹣3.5 ,B点表示的数为 5.5 . 考点:数轴。 分析:(1)数1表示的点与数﹣1表示的点重合,则这两点关于原点对称,求出﹣2关于原点的对称点即可;

(2)若折叠后,数3表示的点与数﹣1表示的点重合,则这两点一定关于1对称,即两个数的平均数是1,若这样折叠后,数轴上有A、B两点也重合,且A、B两点之间的距离为9(A在B的左侧),则这两点到1的距离是4.5,即可求解. 解答:解:(1)2. (2)﹣3(2分);A表示﹣3.5,B表示5.5.

点评:本题借助数轴理解比较直观,形象.由于引进了数轴,我们把数和点对应起来,也就是把“数”和“形”结合起来,二者互相补充,相辅相成,把很多复杂的问题转化为简单的问题,在学习中要注意培养数形结合的数学思想.

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10.如图,数轴上A、B两点,表示的数分别为﹣1和,点B关于点A的对称点为C,

点C所表示的实数是 ﹣2﹣ .

考点:数轴。

分析:点B到点A的距离等于点B的对称点C到点A的距离.

解答:解:点B到点A的距离为:1+,则点C到点A的距离也为1+,设点C的坐标为x,则点A到点C的距离为:﹣1﹣x=1+,所以x=﹣2﹣.

点评:点C为点B关于点A的对称点,则点C到点A的距离等于点B到点A的距离.两点之间的距离为两数差的绝对值.

11.把﹣1.5,,3,﹣,﹣π,表示在数轴上,并把它们用“<”连接起来,得到: ﹣π<﹣1.5<﹣<<3 . 考点:数轴。

分析:把下列各数表示在数轴上,根据数轴上的数右边的数总是大于左边的数即可用“<”连接起来.

解答:解:

根据数轴可以得到:﹣π<﹣1.5<﹣<<3.

点评:此题综合考查了数轴的有关内容,用几何方法借助数轴来求解,非常直观,且不容易遗漏,体现了数形结合的优点.

12.如图,数轴上的点A、O、B、C、D分别表示﹣3,0,2.5,5,﹣6, 回答下列问题.

(1) O、B两点间的距离是 2.5 . (2)A、D两点间的距离是 3 . (3)C、B两点间的距离是 2.5 .

(4)请观察思考,若点A表示数m,且m<0,点B表示数n,且n>0, 那么用含m,n的代数式表示A、B两点间的距离是 n﹣m . 考点:数轴。

分析:首先由题中的数轴得到各点的坐标,坐标轴上两点的距离为两数坐标差的绝对值. 解答:解:(1)B,O的距离为|2.5﹣0|=2.5 (2)A、D两点间的距离|﹣3﹣(﹣6)|=3

8

(3)C、B两点间的距离为:2.5

(4)A、B两点间的距离为|m﹣n|=n﹣m.

点评:数轴上两点的距离为两数的距离为两数的绝对值,两点的距离为一个正数.

1.4绝对值 类型一:数轴

1.若|a|=3,则a的值是 ±3 . 考点:绝对值。 专题:计算题。

分析:根据绝对值的性质求解.注意a值有2个答案且互为相反数.

解答:解:∵|a|=3, ∴点评:a=±3.考查了绝对值的性质.绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝

对值是它的相反数;0的绝对值是0.

2.若x的相反数是3,|y|=5,则x+y的值为( ) A.﹣8 B.2 C.8或﹣2 D.﹣8或2 考点:绝对值;相反数。

分析:首先根据相反数,绝对值的概念分别求出x、y的值,然后代入x+y,即可得出结果.解答:解:x的相反数是3,则x=﹣3, |y|=5,y=±5,

∴则x+y=x+y﹣的值为﹣3+5=2,或8或x+y=2. ﹣3﹣5=﹣8. 故选D.

点评:此题主要考查相反数、绝对值的意义. 绝对值相等但是符号不同的数是互为相反数.

一个数到原点的距离叫做该数的绝对值,一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 3.若

=﹣1,则a为( )

A.a>0 B.a<0 C.0<a<1 D.﹣1<a<0 考点:绝对值。

分析:根据“一个负数的绝对值是它的相反数”求解. 解答:解:∵=﹣1,

∴|a|=﹣a,

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∵a是分母,不能为0, ∴故选a<0B..

点评:绝对值规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 变式:

4.﹣|﹣2|的绝对值是 2 . 考点:绝对值。 专题:计算题。

分析:先计算|﹣2|=2,﹣|﹣2|=﹣2,所以﹣|﹣2|的绝对值是2. 解答:解:﹣|﹣2|的绝对值是2. 故本题的答案是2. 点评:掌握绝对值的规律,一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.

5.已知a是有理数,且|a|=﹣a,则有理数a在数轴上的对应点在( ) A.原点的左边 B.原点的右边

C.原点或原点的左边 D.原点或原点的右边 考点:绝对值。

分析:根据绝对值的性质判断出a的符号,然后再确定a在数轴上的位置.

解答:所以有理数解:∵a|a|=在原点或原点的左侧.﹣a,∴a≤0.

故选C.

点评:此题主要考查绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 6.若ab>0,则

+

+

的值为( )

A.3 B.﹣1 C.±1或±3 D.3或﹣1 考点:绝对值。

分析:首先根据两数相乘,同号得正,得到a,b符号相同;再根据同正、同负进行分情况讨论.

解答:解:因为ab>0,所以a,b同号. ①若a,b同正,则++=1+1+1=3; ②若a,b同负,则

+

+

=﹣1﹣1+1=﹣1.

故选D.

点评:考查了绝对值的性质,要求绝对值里的相关性质要牢记:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.该题易错点是分析a,b的符号不透彻,漏掉一种情况.

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1.5有理数的大小比较 类型一:有理数的大小比较

1、如图,正确的判断是( )

A.a<-2 B.a>-1 C.a>b D.b>2

考点: 数轴;有理数大小比较.

分析:根据数轴上点的位置关系确定对应点的大小.注意:数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大.

解答:解:由数轴上点的位置关系可知a<-2<-1<0<1<b<2,则

A、a<-2,正确; B、a>-1,错误; C、a>b,错误; D、b>2,错误. 故选A.

点评:本题考查了有理数的大小比较.用几何方法借助数轴来求解,非常直观,体现了数形结合的优点.本题中要注意:数轴上的点表示的数右边的数总比左边的数大.

2、比较1,-2.5,-4的相反数的大小,并按从小到大的顺序用“<”边接起来,为_______ 考点: 有理数大小比较;数轴.

分析: 1,-2.5,-4的相反数分别是-1,2.5,4.根据数轴上右边的数总大于左边的数可排列出大小顺序.

解答:解:1的相反数是-1,-2.5的相反数是2.5,-4的相反数是4. 按从小到大的顺序用“<”连接为:-1<2.5<4.

点评:由于引进了数轴,我们把数和点对应起来,也就是把“数”和“形”结合起来,二者互相补充,相辅相成,把很多复杂的问题转化为简单的问题,在学习中要注意培养数形结合的数学思想.

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第二章 有理数的运算

2.1有理数的加法 类型一:有理数的加法

1.已知a是最小的正整数,b是最大的负整数,c是绝对值最小的有理数,那么a+b+|c|等于( ) A.﹣1 B.0 C.1 D.2 考点:有理数的加法。

分析:先根据有理数的相关知识确定a、b、c的值,然后将它们代入a+b+|c|中求解. 解答:解:由题意知:a=1,b=﹣1,c=0; 所以a+b+|c|=1﹣1+0=0. 故选B.

点评:本题主要考查的是有理数的相关知识.最小的正整数是1,最大的负整数是﹣1,绝对值最小的有理数是0.

类型二:有理数的加法与绝对值

1.已知|a|=3,|b|=5,且ab<0,那么a+b的值等于( ) A.8 B.﹣2 C.8或﹣8 D.2或﹣2 考点:绝对值;有理数的加法。 专题:计算题;分类讨论。

分析:根据所给a,b绝对值,可知a=±3,b=±5;又知ab<0,即ab符号相反,那么应分类讨论两种情况,a正b负,a负b正,求解. 解答:解:已知|a|=3,|b|=5, 则a=±3,b=±5;

且ab<0,即ab符号相反,

当a=3时,b=﹣5,a+b=3﹣5=﹣2; 当a=﹣3时,b=5,a+b=﹣3+5=2. 故选D.

点评:本题考查绝对值的化简,正数的绝对值是其本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0. 变式:

2.已知a,b,c的位置如图,化简:|a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|= ﹣2a .

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考点:数轴;绝对值;有理数的加法。

分析:先根据数轴上的大小关系确定绝对值符号内代数式的正负情况a﹣b<0,b+c<0,c﹣a>0,再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解.注意:数轴上的点右边的总比左边的大.

解答:解:由数轴可知a<c<0<b,所以a﹣b<0,b+c<0,c﹣a>0,则 |a﹣b|+|b+c|+|c﹣a|=b﹣a﹣b﹣c+c﹣a=﹣2a.

点评:此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容,用几何方法借助数轴来求解,非常直观,且不容易遗漏,体现了数形结合的优点.要注意先确定绝对值符号内代数式的正负情况,再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算.

2.2有理数的减法 类型一:正数和负数,有理数的加法与减法 选择题

1.某汽车厂上半年一月份生产汽车200辆,由于另有任务,每月上班人数不一定相等,上半年各月与一月份的生产量比较如下表(增加为正,减少为负).则上半年每月的平均产量为( ) 月份 二 三 四 五 六 增减(辆) ﹣5 ﹣9 ﹣13 +8 ﹣11 A.205辆 B.204辆 C.195辆 D.194辆 考点:正数和负数;有理数的加法;有理数的减法。 专题:应用题;图表型。

分析:图表中的各数据都是和一月份比较所得,据此可求得上半年每月和第一月份产量的平均增减值,再加上一月份的产量,即可求得上半年每月的平均产量. 解答:解:由题意得:上半年每月的平均产量为200+

=195(辆).

故选C.

点评:此题主要考查正负数在实际生活中的应用.需注意的是表中没有列出一月份与一月份的增减值,有些同学在求平均值时往往忽略掉一月份,从而错误的得出答案D. 2.某商店出售三种不同品牌的大米,米袋上分别标有质量如下表:

现从中任意拿出两袋不同品牌的大米,这两袋大米的质量最多相差( ) 大米种类 A品牌大米 B品牌大米 C品牌大米 质量标示 (10±0.1)kg (10±0.3)kg (10±0.2)kg A.0.8kg B.0.6kg C.0.4kg D.0.5kg

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考点:正数和负数;有理数的减法。 专题:图表型。

分析:利用正负数的意义,求出每种品牌的质量的范围差即可. 解答:解:A品牌的质量差是:0.1﹣(﹣0.1)=0.2kg; B品牌的质量差是:0.3﹣(﹣0.3)=0.6kg; C品牌的质量差是:0.2﹣(﹣0.2)=0.4kg.

∴从中任意拿出两袋不同品牌的大米,选B品牌的最大值和C品牌的最小值,相差为0.3故选﹣(﹣D.0.2 )=0.5kg,此时质量差最大.

点评:理解标识的含义,理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量,是解决本题的关键. 填空题

3.﹣9,6,﹣3三个数的和比它们绝对值的和小 24 . 考点:绝对值;有理数的加减混合运算。 分析:根据绝对值的性质及其定义即可求解. 解答:解:(9+6+3)﹣(﹣9+6﹣3)=24.

答:﹣9,6,﹣3三个数的和比它们绝对值的和小24.

点评:本题考查了绝对值的意义,任何一个数的绝对值一定是非负数,同时考查了绝对值的性质,要求掌握绝对值的性质及其定义,并能熟练运用到实际当中.

绝对值规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.

4.已知a、b互为相反数,且|a﹣b|=6,则b﹣1= 2或﹣4 . 考点:有理数的减法;相反数;绝对值。

分析:由a、b互为相反数,可得a+b=0;由于不知a、b的正负,所以要分类讨论b的正负,才能利用|a﹣b|=6求b的值,再代入所求代数式进行计算即可.

解答:解:∵a、b互为相反数,∴a+b=0即a=﹣b. 当b为正数时,∵|a﹣b|=6,∴b=3,b﹣1=2; 当故答案填b为负数时,2或﹣∵4.|a﹣

b|=6,∴b=﹣3,b﹣1=﹣4. 点评:本题主要考查了代数式求值,涉及到相反数、绝对值的定义,涉及到绝对值时要注意分类讨论思想的运用. 解答题

5.一家饭店,地面上18层,地下1层,地面上1楼为接待处,顶楼为公共设施处,其余16层为客房;地面下1楼为停车场. (1)客房7楼与停车场相差 7 层楼;

(2)某会议接待员把汽车停在停车场,进入该层电梯,往上14层,又下5层,再下3层,最后上6层,那么他最后停在 12 层;

(3)某日,电梯检修,一服务生在停车场停好汽车后,只能走楼梯,他先去客房,依次到了8楼、接待处、4楼,又回接待处,最后回到停车场,他共走了 22 层楼梯.

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考点:正数和负数;有理数的加减混合运算。

分析:在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示. 解答:解:“正”和“负”相对,所以,若记地上为正,地下为负.由此做此题即可. 故(1)7﹣(﹣1)﹣1=7(层),(2分) 答:客房7楼与停车场相差7层楼. (2)14﹣5﹣3+6=12(层),(3分) 答:他最后停在12层. (3)8+7+3+3+1=22(层),(3分) 答:他共走了22层楼梯.

点评:此题主要考查正负数在实际生活中的应用,所以学生在学这一部分时一定要联系实际,不能死学.

6.某人用400元购买了8套儿童服装,准备以一定价格出售.他以每套55元的价格为标准,将超出的记作正数,不足的记作负数,记录如下:+2,﹣3,+2,+1,﹣2,﹣1,0,﹣2(单位:元)他卖完这八套儿童服装后是 盈利 ,盈利或亏损了 37 元. 考点:有理数的加减混合运算;正数和负数。 分析:在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正,则另一个就用负表示.“正”和“负”相对.他以每套55元的价格出售,售完应得盈利5×8=40元,要想知道是盈利还是亏损,只要把他所记录的数据相加再与他应得的盈利相加即可,如果是正数,则盈利,是负数则亏损.

解答:解:+2+(﹣3)+2+1+(﹣2)+(﹣1)+0+(﹣2) =﹣3

5×8+(﹣3)=37(元) 答:他盈利了37元.

点评:解题关键是理解“正”和“负”的相对性,确定一对具有相反意义的量.

2.3有理数的乘法 类型一:有理数的乘法

1.绝对值不大于4的整数的积是( ) A.16 B.0 C.576 D.﹣1 考点:有理数的乘法;绝对值。

15

专题:计算题。

分析:先找出绝对值不大于4的整数,再求它们的乘积.

解答:解:绝对值不大于4的整数有,0、1、2、3、4、﹣1、﹣2、﹣3、﹣4,所以它们的乘积为0. 故选B.

点评:绝对值的不大于4的整数,除正数外,还有负数.掌握0与任何数相乘的积都是0. 变式:

2.五个有理数的积为负数,则五个数中负数的个数是( ) A.1 B.3 C.5 D.1或3或5 考点:有理数的乘法。 分析:多个有理数相乘的法则:几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.

解答:解:五个有理数的积为负数,负数的个数是奇数个,则五个数中负数的个数是1、3、5.

故选D.

点评:本题考查了有理数的乘法法则.

3.比﹣3大,但不大于2的所有整数的和为 0 ,积为 0 . 考点:有理数的乘法;有理数大小比较;有理数的加法。 分析:根据题意画出数轴便可直接解答.

解答:解:根据数轴的特点可知:比﹣3大,但不大于2的所有整数为:﹣2,﹣1,0,1,2.

故其和为:(﹣2)+(﹣1)+0+1+2=0, 积为:(﹣2)×(﹣1)×0×1×2=0.

点评:由于引进了数轴,我们把数和点对应起来,也就是把“数”和“形”结合起来,二者互相补充,相辅相成,把很多复杂的问题转化为简单的问题,在学习中要注意培养数形结合的数学思想.

4.已知四个数:2,﹣3,﹣4,5,任取其中两个数相乘,所得积的最大值是 12 . 考点:有理数的乘法。

分析:由于有两个负数和两个正数,故任取其中两个数相乘,最大的数为正数,且这两个数同号.故任取其中两个数相乘,最大的数=﹣3×(﹣4)=12.

解答:解:2,﹣3,﹣4,5,这四个数中任取其中两个数相乘,所得积的最大值=﹣3×(﹣4)=12.

故本题答案为12.

点评:几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定:当负因数有奇数个数,积为负;当负因数的个数为偶数个时,积为正.

16

2.4有理数的除法 类型一:倒数

1.负实数a的倒数是( )

A.﹣a

B.

C.﹣

D.a

考点:倒数。

分析:根据倒数的定义:若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数可知. 解答:解:根据倒数的定义可知,负实数a的倒数是.

故选B.

点评:本题主要考查了倒数的定义. 变式:

2.﹣0.5的相反数是 0.5 ,倒数是 ﹣2 ,绝对值是 0.5 . 考点:倒数;相反数;绝对值。

分析:根据相反数的定义,只有符号不同的两个数互为相反数. 根据倒数的定义,互为倒数的两数积为1;

正数的绝对值是其本身,负数的绝对值是它的相反数. 解答:解:﹣0.5的相反数是0.5;

﹣0.5×(﹣2)=1,因此﹣0.5的倒数是﹣2; ﹣0.5是负数,它的绝对值是其相反数,为0.5.

点评:本题主要考查相反数、倒数和绝对值的定义.要记住,正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是本身.

3.倒数是它本身的数是 ±1 ,相反数是它本身的数是 0 . 考点:倒数;相反数。

分析:根据相反数,倒数的概念可知.

解答:解:倒数是它本身的数是±1,相反数是它本身的数是0. 点评:主要考查相反数,倒数的概念及性质.

相反数的定义:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0; 倒数的定义:若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.

类型二:有理数的除法

1.下列等式中不成立的是( )

17

A.﹣

B.

=

C.÷1.2÷

D.

考点:有理数的除法;有理数的减法。

分析:A、先化简绝对值,再根据有理数减法法则计算;

B、有理数除法法则:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数,据此判断; C、根据有理数除法法则判断; D、根据有理数除法法则判断.

解答:解:A、原式=﹣=,选项错误; B、等式成立,所以选项错误; C、等式成立,所以选项错误; D、

,所以不成立,选项正确.

故选D.

点评:本题主要考查了有理数的减法和除法法则.

减法、除法可以分别转化成加法和乘法,乘方是利用乘法法则来定义的,所以有理数混合运算的关键是加法和乘法.

加法和乘法的法则都包括符号和绝对值两部分,同学在计算中要学会正确确定结果的符号,再进行绝对值的运算. 变式:

2.甲小时做16个零件,乙小时做18个零件,那么( )

A.甲的工作效率高 B.乙的工作效率高 C.两人工作效率一样高 D.无法比较 考点:有理数的除法。 专题:应用题。

分析:根据工作效率=工作总量÷工作时间,先分别求出甲、乙二人的工作效率,再进行比较.

解答:解:甲小时做16个零件,即16÷=24; 乙小时做18个零件,即18=24.新-课- 标-第 -一-网

故工作效率一样高.

18

故选C.

点评:本题是一道工程问题的应用题,较简单.基本关系式为:工作总量=工作效率×工作时间.

2.5有理数的乘方 类型一: 有理数的乘方 选择题

1.下列说法错误的是( ) A.两个互为相反数的和是0 B.两个互为相反数的绝对值相等 C.两个互为相反数的商是﹣1 D.两个互为相反数的平方相等 考点:相反数;绝对值;有理数的乘方。 分析:根据相反数的相关知识进行解答.

解答:解:A、由相反数的性质知:互为相反数的两个数相加等于0,正确; B、符号不同,绝对值相等的两个数互为相反数,正确;

C、0的相反数是0,但0不能做除数,所以0与0的商也不可能是﹣1,错误; D、由于互为相反数的绝对值相等,所以它们的平方也相等,正确. 故选C.

点评:此题主要考查了相反数的定义和性质;

定义:符号不同,绝对值相等的两个数互为相反数;

性质:一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0.

2.计算(﹣1)2005的结果是( ) A.﹣1 B.1 C.﹣2005 D.2005 考点:有理数的乘方。

分析:根据有理数的乘方运算,﹣1的奇数次幂是﹣1.

解答:解:(﹣1)2005表示2005个(﹣1)的乘积,所以(﹣1)2005=﹣1. 故选A.

点评:乘方是乘法的特例,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.

负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数;﹣1的奇数次幂是﹣1,﹣1的偶数次幂是1.

3.计算(﹣2)3+()

﹣3

的结果是( )

A.0 B.2 C.16 D.﹣16 考点:有理数的乘方。

分析:先算乘方,再算加法.

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解答:解:(﹣2)3+()﹣

3=﹣8+8=0.

故选A.

点评:乘方是乘法的特例,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数,非0有理数的负整数次幂等于正整数次幂的倒数.

4.下列说法中正确的是( ) A.平方是它本身的数是正数 B.绝对值是它本身的数是零 C.立方是它本身的数是±1 D.倒数是它本身的数是±1 考点:有理数的乘方;绝对值;倒数。

分析:根据平方,绝对值,立方和倒数的意义进行判断.

解答:解:∵平方是它本身的数是1和0;绝对值是它本身的数是零和正数;立方是它本身的数是∴±1和0;倒数是它本身的数是故选正确的只有D.

D. ±1, 点评:主要考查了平方,绝对值,立方和倒数的意义.乘方是乘法的特例,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数;﹣1的奇数次幂是﹣1,﹣1的偶数次幂是1.

5.若a3=a,则a这样的有理数有( )个. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 考点:有理数的乘方。

分析:本题即是求立方等于它本身的数,只有0,﹣1,1三个. 解答:解:若a3=a,有a3﹣a=0. 因式分解可得a(a﹣1)(a+1)=0. 所以满足条件的a有0,﹣1,1三个. 故选D.

点评:解决此类题目的关键是熟记立方的意义.根据立方的意义,一个数的立方就是它本身,则这个数是1,﹣1或0.

6.若(﹣ab)103>0,则下列各式正确的是( )

A.<0 B.>0 C.a>0,b<0

D.a<0,b>0

考点:有理数的乘方。

分析:根据正数的奇次幂是正数,可知﹣ab>0,则ab<0,再根据有理数的乘法法则得出a,b异号,最后根据有理数的除法法则得出结果. 解答:解:因为(﹣ab)103>0, 所以﹣ab>0,则ab<0, 那么a,b异号,商为负数,

20

但不能确定a,b谁正谁负. 故选A.

点评:本题考查了有理数的乘法、除法、乘方的符号法则.

7.如果n是正整数,那么[1﹣(﹣1)n](n2﹣1)的值( )

A.一定是零 B.一定是偶数 C.是整数但不一定是偶数 D.不一定是整数 考点:整数的奇偶性问题;有理数的乘方。

分析:因为n是正整数,即n可以是奇数,也可以是偶数.因此要分n为奇数,n为偶数情况讨论.

解答:解:当n为奇数时,(﹣1)n=﹣1,1﹣(﹣1)n=2, 设不妨n=2k+1(k取自然数), 则n2﹣1=(2k+1)2﹣1=(2k+1+1)(2k+1﹣1)=4k(k+1), ∴k与(k+1)必有一个是偶数, ∴n2﹣1是8的倍数.

所以[1﹣(﹣1)n](n2﹣1)=×2×8的倍数, 即此时[1﹣(﹣1)n](n2﹣1)的值是偶数; 当n为偶数时,(﹣1)n=1,1﹣(﹣1)n=0, 所以[1﹣(﹣1)n](n2﹣1)=0,

此时[1﹣(﹣1)n](n2﹣1)的值是0,也是偶数.

综上所述,如果n是正整数,[1﹣(﹣1)n](n2﹣1)的值是偶数.

故选B.

点评:解题关键是掌握负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数;﹣1的奇数次幂是﹣1,﹣1的偶数次幂是1.偶数与偶数的积是偶数,偶数与奇数的积是偶数,奇数与奇数的积是奇数.

8.﹣22,(﹣1)2,(﹣1)3的大小顺序是( ) A.﹣22<(﹣1)2<(﹣1)3 B.﹣22<(﹣1)3<(﹣1)2 C.(﹣1)3<﹣22<(﹣1)2 D.(﹣1)2<(﹣1)3<﹣22 考点:有理数的乘方;有理数大小比较。

分析:先根据有理数乘方的运算法则分别化简各数,再比较大小. 解答:解:∵﹣22=﹣4,(﹣1)2=1,(﹣1)3=﹣1, ∴故选﹣22B<(﹣.

1)3<(﹣1)2.

21

点评:本题考查了有理数乘方及有理数大小比较.注意先化简各数,再比较大小.

9.最大的负整数的2005次方与绝对值最小的数的2006次方的和是( ) A.﹣1 B.0 C.1 D.2 考点:有理数的乘方。

分析:最大的负整数是﹣1,绝对值最小的数是0,然后计算即可求出结果. 解答:解:最大的负整数是﹣1,(﹣1)2005=﹣1, 绝对值最小的数是0,02006=0, 所以它们的和=﹣1+0=﹣1. 故选A.

点评:此题的关键是知道最大的负整数是﹣1,绝对值最小的数是0.

10.若a是有理数,则下列各式一定成立的有( ) (1)(﹣a)2=a2;(2)(﹣a)2=﹣a2;(3)(﹣a)3=a3;(4)|﹣a3|=a3. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点:有理数的乘方。

分析:正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数. 解答:解:(1)在有理数范围内都成立; (2)(3)只有a为0时成立; (4)a为负数时不成立. 故选A.

点评:应牢记乘方的符号法则:(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数; (2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.

11.a为有理数,下列说法中,正确的是( )

A.(a+)2是正数

B.a2+是正数 C.﹣(a﹣)2是负数

D.﹣a2+的值

不小于

考点:有理数的乘方。

分析:正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.02=0. 解答:解:A、(a+)2可为0,错误; B、a2+是正数,正确; C、﹣(a﹣)2可为0,错误; D、﹣a2+的值应不大于,错误.

22

故选B.

点评:此题要注意全面考虑a的取值,特别是底数为0的情况不能忽视.

12.下列计算结果为正数的是( ) A.﹣76×5 B.(﹣7)6×5 C.1﹣76×5 D.(1﹣76)×5 考点:有理数的乘方。

分析:本题考查有理数的乘方运算.﹣76是负数,(﹣7)6是正数,(1﹣76)是负数,因为正数与负数相乘得到负数,正数与正数相乘得到正数.

解答:解:(﹣7)6×5的值是正数.故选B.

点评:乘方是乘法的特例,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.

负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数,正数与正数相乘是正数,负数与正数相乘是负数.

13.下列说法正确的是( ) A.倒数等于它本身的数只有1 B.平方等于它本身的数只有1 C.立方等于它本身的数只有1 D.正数的绝对值是它本身 考点:有理数的乘方;绝对值;倒数。

分析:根据倒数,平方,立方,绝对值的概念.

解答:解:A、倒数等于它本身的数有1和﹣1,错误; B、平方等于它本身的数有1和0,错误;

C、立方等于它本身的数有1和﹣1和0,错误; D、正数的绝对值是它本身,正确. 故选D.

点评:此题主要考查了倒数,平方,立方,绝对值的概念,对这些概念性的知识学生要牢固掌握.

14.下列说法正确的是( ) A.零除以任何数都得0 B.绝对值相等的两个数相等 C.几个有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定 D.两个数互为倒数,则它们的相同次幂仍互为倒数 考点:有理数的乘方。

分析:A、任何数包括0,0除0无意义;

B、绝对值相等的两个数的关系应有两种情况;

C、几个不为0的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定; D、根据倒数及乘方的运算性质作答.

解答:解:A、零除以任何不等于0的数都得0,错误; B、绝对值相等的两个数相等或互为相反数,错误;

C、几个不为0的有理数相乘,积的符号由负因数的个数决定,错误; D、两个数互为倒数,则它们的相同次幂仍互为倒数,正确. 故选D.

23

点评:主要考查了绝对值、倒数的概念和性质及有理数的乘除法、乘方的运算法则.要特别注意数字0的特殊性.

15.(﹣2)100比(﹣2)99大( ) A.2 B.﹣2 C.299 D.3×299 考点:有理数的乘方。

分析:求(﹣2)100比(﹣2)99大多少,用减法. 解答:解:(﹣2)100﹣(﹣2)99=2100+299=299×(2+1) =3×299. 故选D.

点评:此题主要考查了乘方的意义及符号法则.求几个相同因数积的运算,叫做乘方.负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数.

16.1118×1311×1410的积的末位数字是( ) A.8 B.6 C.4 D.2 考点:有理数的乘方。

分析:由于1118的末尾数字一定是1,1311的末尾数字是7,1410的末尾数字是6,所以它们的积的末位数字是2.

解答:解:∵1×7×6=42,而1118的末尾数字一定是1,1311的末尾数字是7,1410的末尾数字是并且11618,×13

11×1410的积的末位数字是其中每个因数的末尾数的积的末尾数, ∴故选末尾数字是D.

2. 点评:本题考查有理数的乘方的运用.乘方是乘法的特例,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.找准幂的末尾数字是解题的关键.

17.(﹣5)2的结果是( ) A.﹣10 B.10 C.﹣25 D.25 考点:有理数的乘方。

分析:根据乘方的意义可知(﹣5)2是(﹣5)×(﹣5). 解答:解:(﹣5)2=5×5=25.故选D.

点评:负数的偶次幂是正数,先确定符号,再按乘方的意义作答.

18.下列各数中正确的是( ) A.平方得64的数是8 B.立方得﹣64的数是﹣4 C.43=12 D.﹣(﹣2)2=4 考点:有理数的乘方。

分析:根据乘方的运算法则进行判断.

解答:解:A、平方得64的数是±8,错误; B、正确;

24

C、43=64,错误;

D、﹣(﹣2)2=﹣4,错误. 故选B.

点评:解决此类题目的关键是熟记乘方的有关知识.平方都为非负数,所以平方为正数的数有两个,且互为相反数.正数的任何次幂都是正数.

19.下列结论中,错误的是( ) A.平方得1的有理数有两个,它们互为相反数 B.没有平方得﹣1的有理数 C.没有立方得﹣1的有理数 D.立方得1的有理数只有一个 考点:有理数的乘方。

分析:根据平方、立方的意义和性质作答.注意﹣1的奇数次幂是﹣1,﹣1的偶数次幂是1,1的任何次幂都是1. 解答:解:A、正确; B、正确;

C、﹣1的立方得﹣1,错误; D、正确. 故选C.

点评:本题考查有理数的乘方运算,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数;正数的任何次幂都是正数.

20.已知(x+3)2+|3x+y+m|=0中,y为负数,则m的取值范围是( ) A.m>9 B.m<9 C.m>﹣9 D.m<﹣9

考点:非负数的性质:偶次方;非负数的性质:绝对值。

分析:本题可根据非负数的性质“两个非负数相加,和为0,这两个非负数的值都为0”解出x的值,再把x代入3x+y+m=0中解出y关于m的式子,然后根据y<0可解出m的取值. 解答:解:依题意得:(x+3)2=0,|3x+y+m|=0, 即x+3=0,3x+y+m=0,

∴﹣x=9+y+m=0﹣3,

,即y=9﹣m,

根据y<0,可知9﹣m<0,m>9. 故选A.

点评:本题考查了非负数的性质和不等式的性质的综合运用,两个非负数相加,和为0,这两个非负数的值都为0.

21.碳纳米管的硬度与金刚石相当,却拥有良好的柔韧性,可以拉伸,我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管,1纳米=0.000000001米,则0.5纳米用科学记数法表示为( )

A.0.5×10﹣

9米 B.5×10﹣

8米 C.5×10﹣9

米 D.5×10

﹣10

考点:科学记数法—表示较小的数。

25

专题:应用题。

分析:0.5纳米=0.5×0.000 000 001米=0.000 000 000 5米.小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣

n,在本题中a为5,n为5前面0的个数.

解答:解:0.5纳米=0.5×0.000 000 001米=0.000 000 000 5米=5×10﹣

10米.故选D.

点评:用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣

n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数.注意应先把0.5纳米转化为用米表示的数.

22.﹣2.040×105表示的原数为( ) A.﹣204000 B.﹣0.000204 C.﹣204.000 D.﹣20400 考点:科学记数法—原数。

分析:通过科学记数法换算成原数,正负符号不变,乘以几次幂就将小数点后移几位,不足的补0.

解答:解:数字前的符号不变,把﹣2.040的小数点向右移动5位就可以得到.故选A. 点评:此题考查的是将用科学记数法表示的数改为原数的原理,即科学记数法的逆推.

填空题 23.(2008•十堰)观察两行数根据你发现的规律,取每行数的第10个数,求得它们的和是(要求写出最后的计算结果) 2051 .

考点:有理数的乘方;有理数的加法。 专题:规律型。

分析:根据两行数据找出规律,分别求出每行数的第10个数,再把它们的值相加即可. 解答:解:第一行的第十个数是210=1024, 第二行的第十个数是1024+3=1027, 所以它们的和是1024+1027=2051.

点评:本题属规律性题目,解答此题的关键是找出两行数的规律.第一行的数为2n,第二行对应的数比第一行大3,即2n+3.

24.我们平常的数都是十进制数,如2639=2×103+6×102+3×10+9,表示十进制的数要用10个数码(也叫数字):0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.在电子数字计算机中用二进制,只要两个数码0和1.如二进制数101=1×22+0×21+1=5,故二进制的101等于十进制的数5;10111=1×24+0×23+1×22+1×2+1=23,故二进制的10111等于十进制的数23,那么二进制的110111等于十进制的数 55 . 考点:有理数的乘方。 专题:应用题。

分析:根据题目的规定代入计算,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.

解答:解:由题意知,110111=1×25+1×24+0×23+1×22+1×2+1=55,则二进制的110111等于十进制的数55.

26

点评:正确按照题目的规定代入计算即可.注意乘方是乘法的特例,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.

25.若n为自然数,那么(﹣1)2n+(﹣1)2n+1= 0 . 考点:有理数的乘方。

分析:﹣1的偶次幂等于1,﹣1的奇次幂等于﹣1. 解答:解:(﹣1)2n+(﹣1)2n+1=1+(﹣1)=0.

点评:2n是偶数,2n+1是奇数.﹣1的偶次幂等于1,﹣1的奇次幂等于﹣1.

26.平方等于的数是 .

考点:有理数的乘方。

分析:问平方等于的数是什么,即求的平方根是什么.根据平方根的定义得出. 解答:解:∵(±)2=, ∴平方等于的数是±.

点评:主要考查了平方根的意义.注意平方和平方根互为逆运算,一个正数的平方根有2个,他们互为相反数.

27.0.1252007×(﹣8)2008= 8 . 考点:有理数的乘方。 专题:计算题。

分析:乘方的运算可以根据有理数乘法的结合律简便计算.

解答:解:0.1252007×(﹣8)2008=0.1252007×(﹣8)2007×(﹣8) =[0.125×(﹣8)]2007×(﹣8) =(﹣1)2007×(﹣8) =﹣1×(﹣8) =8.

点评:乘方是乘法的特例,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.解决此类问题要运用乘法的结合律.

28.已知x2=4,则x= ±2 . 考点:有理数的乘方。

分析:根据平方的定义,平方等于正数的数有两个,且互为相反数. 解答:解:x2=4,则x2﹣4=(x+2)(x﹣2)=0, 所以x=±2.

点评:此题考查有理数平方的简单运算,平方等于正数的数有两个,且互为相反数.

27

2.6有理数的混合运算 类型一:有理数的混合运算

1.绝对值小于3的所有整数的和与积分别是( ) A.0,﹣2 B.0,0 C.3,2 D.0,2 考点:绝对值;有理数的混合运算。

分析:根据绝对值的性质求得符合题意的整数,再得出它们的和与积,判定正确选项. 解答:解:设这个数为x,则:

|x|<3, ∴x为0,±1,±2,

∴它们的积为它们的和为0×0+11×(﹣﹣1+21)﹣×2=02×(﹣;

2)=0. 故选B.

点评:考查了绝对值的性质.一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 2.计算48÷(+

)之值为何( )

A.75

B.160

C.

D.90

考点:有理数的混合运算。

分析:根据混合运算的顺序,先算较高级的运算,再算较低级的运算,如果有括号,就先算括号里面的.本题要把括号内的分数先通分计算,再把除法转化为乘法. 解答:解:48÷(

+

=48÷()

=48 = =

故选C.

28

点评:含有有理数的加、减、乘、除、乘方多种运算的算式,根据几种运算的法则可知:减法、除法可以分别转化成加法和乘法,所以有理数混合运算的关键是加法和乘法.异分母相加要先通分.

3.下列式子中,不能成立的是( ) A.﹣(﹣2)=2 B.﹣|﹣2|=﹣2 C.23=6 D.(﹣2)2=4 考点:有理数的混合运算。

分析:根据相反数、绝对值的定义及乘方的运算法则分别计算各个选项,从而得出结果. 解答:解:A、﹣(﹣2)=2,选项错误;

B、﹣|﹣2|=﹣2,选项错误; C、23=8≠6,选项正确; D、(﹣2)2=4,选项错误. 故选C

点评:本题考查相反数,绝对值,乘方的计算方法.注意符号及乘方的意义. 4.按图中的程序运算:当输入的数据为4时,则输出的数据是 2.5 .

考点:有理数的混合运算。 专题:图表型。

分析:把4按照如图中的程序计算后,若>2则结束,若不是则把此时的结果再进行计算,直到结果>2为止.

解答:解:根据题意可知,(4﹣6)÷(﹣2)=1<2, 所以再把1代入计算:(1﹣6)÷(﹣2)=2.5>2, 即2.5为最后结果. 故本题答案为:2.5.

点评:此题是定义新运算题型.直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果.解题关键是对号入座不要找错对应关系. 5.计算:﹣5×(﹣2)3+(﹣39)= 1 . 考点:有理数的混合运算。

29

分析:混合运算要先乘方、再乘除,最后加减. 解答:解:﹣5×(﹣2)3+(﹣39)

=﹣5×(﹣8)+(﹣39) =1.

点评:本题主要考查有理数运算顺序. 6.计算:(﹣3)2﹣1= 8 .=

考点:有理数的混合运算。

分析:要注意运算顺序与运算符号. 解答:解:(﹣3)2﹣1=9﹣1=8;

点评:注意:要正确掌握运算顺序,即乘方运算(和以后学习的开方运算)叫做三级运算;乘法和除法叫做二级运算;加法和减法叫做一级运算.

在混合运算中要特别注意运算顺序:先三级,后二级,再一级;有括号的先算括号里面的;同级运算按从左到右的顺序. 7.计算:(1)= ;

(2)

=

考点:有理数的混合运算。

分析:对于一般的有理数混合运算来讲,其运算顺序是先乘方,再乘除,最后算加减,如果遇括号要先算括号里面的. 解答:解: (1)原式==; (2)原式=﹣×(

)=

点评:注意异分母的加减要先通分再进行运算.

2.7准确数和近似数 类型一:近似数和有效数字

1.用四舍五入法得到的近似数是2.003万,关于这个数下列说法正确的是( ) A.它精确到万分位 B.它精确到0.001 C.它精确到万位 D.它精确到十位 考点:近似数和有效数字。

30

分析:考查近似数的精确度,要求由近似数能准确地说出它的精确度.2.003万中的3虽然是小数点后的第3位,但它表示30,它精确到十位. 解答:解:根据分析得:这个数是精确到十位.故选D.

点评:本题主要考查学生对近似数的精确度理解是否深刻,这是一个非常好的题目,许多同学不假思考地误选B,通过该题培养学生认真审题的能力和端正学生严谨治学的态度. 2.已知a=12.3是由四舍五入得到的近似数,则a的可能取值范围是( ) A.12.25≤a≤12.35 B.12.25≤a<12.35 C.12.25<a≤12.35 D.12.25<a<12.35 考点:近似数和有效数字。

分析:考查近似数的精确度.四舍五入得到12.3的最小的数是12.25,最大要小于12.35. 解答:解:12.35≈12.4,所以A,C错了,而12.25≈12.3,所以D错,B是对的.故选B. 点评:一个区间的数通过四舍五入得到的相同近似数.这也是近似数的精确度. 变式:

3.据统计,海南省2009年财政总收入达到1580亿元,近似数1580亿精确到( ) A.个位 B.十位 C.千位 D.亿位 考点:近似数和有效数字。 专题:应用题。

分析:有效数字的概念:从一个数的左边第一个非零数字起,到精确到的数位止.精确到哪一位,即对下一位的数字进行四舍五入.

解答:解:近似数1 580亿精确到亿位.故选D.

点评:本题旨在考查基本概念,需要同学们熟记有效数字的概念:从一个数的左边第一个非零数字起,到精确到的数位止,所有数字都是这个数的有效数字.

4.若测得某本书的厚度1.2cm,若这本书的实际厚度记作acm,则a应满足( ) A.a=1.2 B.1.15≤a<1.26 C.1.15<a≤1.25 D.1.15≤a<1.25 考点:近似数和有效数字。 专题:应用题。

分析:本题实质上是求近似数1.2cm的取值范围,根据四舍五入的方法逆推即可求解. 解答:解:a的十分位上1时,百分位上的数一定大于或等于5, 若十分位上的数是2时,百分位上的数一定小于5, 因而a的范围是1.15≤a<1.25. 故选D.

点评:本题主要考查了四舍五入的方法,是需要熟记的内容. 类型二:科学记数法和有效数字

1.760 340(精确到千位)≈ 7.60×105 ,640.9(保留两个有效数字)≈ 6.4×102 . 考点:近似数和有效数字。

分析:对于较大的数,进行精确到个位以上或保留有效数字时,必须用科学记数法取近似值,再根据题意要求四舍五入.

解答:解:760 340=7.603 40×105≈7.60×105; 640.9=6.409×102≈6.4×102.

点评:本题注意精确到十位或十位以前的数位时,要先用科学记数法表示出这个数,这是

31

经常考查的内容. 变式:

2.用四舍五入得到的近似数6.80×106有 3 个有效数字,精确到 万 位. 考点:科学记数法与有效数字。 专题:应用题。

分析:用科学记数法保留有效数字,要在标准形式a×10n中a的部分保留,从左边第一个不为0的数字数起,需要保留几位就数几位,然后根据四舍五入的原理进行取舍.把数据展开后确定精确的数位.

解答:解:6.80×106有3个有效数字为6,8,0,精确到万位.

点评:对于用科学记数法表示的数,有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容,经常会出错.

3.太阳的半径是6.96×104千米,它是精确到 百 位,有效数字有 三 个. 考点:科学记数法与有效数字。

分析:近似数精确到哪一位,应当看末位数字实际在哪一位.有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字,用科学记数法表示的数a×10n的有效数字只与前面的a有关,与10的多少次方无关.

解答:解:6.96×104中,右边的6在百位上,则精确到了百位,有三个有效数字分别是6、9、6.

点评:对于用科学记数法表示的数,有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容,经常会出错.

4.用科学记数法表示9 349 000(保留2个有效数字)为 9.3×106 . 考点:科学记数法与有效数字。

分析:较大的数保留有效数字需要用科学记数法来表示.用科学记数法保留有效数字,要在标准形式a×10n中a的部分保留,从左边第一个不为0的数字数起,需要保留几位就数几位,然后根据四舍五入的原理进行取舍. 解答:解:9 349 000=9.349×106≈9.3×106. 点评:用科学记数法表示一个数的方法是: (1)确定a,a是只有一位整数的数;

(2)确定n;当原数的绝对值≥10时,n为正整数,n等于原数的整数位数减1;当原数的绝对值<1时,n为负整数,n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数上零).

32

第三章 实数

3.1平方根 类型一:平方根

1.下列判断中,错误的是( ) A.﹣1的平方根是±1 B.﹣1的倒数是﹣1

C.﹣1的绝对值是1 D.﹣1的平方的相反数是﹣1 考点:平方根;相反数;绝对值;倒数。 专题:计算题。

分析:A、利用平方根的定义即可判定; B、利用倒数定义即可判定; C、利用绝对值的定义即可判定; D、利用相反数定义即可判定.

解答:解:A、负数没有平方根,故A说法不正确;

B、﹣1的倒数是﹣1,故选项正确; C、﹣1的绝对值是1,故选项正确;

D、﹣1的平方的相反数是﹣1,故选项正确. 故选A.

点评:本题考查基本数学概念,涉及平方根、倒数、绝对值等,要求学生熟练掌握. 变式:

2.下列说法正确的是( )

A.是0.5的一个平方根 B.正数有两个平方根,且这两个平方根之和等于0

C.72的平方根是7 D.负数有一个平方根 考点:平方根。 专题:计算题。

分析:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.可据此进行判断.

解答:解:A、是0.5的平方,故选项错误;

B、∵任何一个正数有两个平方根,它们互为相反数,∴这两个平方根之和等于0,故选项正确;C、∵72的平方根是 ±7,故选项错误;

33

D故选、∵B负数没有平方根,故选项错误..

点评:此题主要考查了平方根的概念,属于基础知识,难度不大. 3.如果一个数的平方根等于这个数本身,那么这个数是( ) A.1 B.﹣1 C.0 D.±1 考点:平方根。 专题:计算题。

分析:由于如何一个正数的平方根都有两个,它们互为相反数,由此可以确定平方根等于它本身的数只有0.

解答:解:∵±=±0=0,

∴故选0的平方根等于这个数本身.C.

点评:本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.

类型二:算术平方根

1.的算术平方根是( ) A.±81 B.±9 C.9 D.3 考点:算术平方根。 分析:首先求出

的结果,然后利用算术平方根的定义即可解决问题.

解答:而9的算术平方根是解:∵=9,3 ,

∴故选D的算术平方根是.

3. 点评:本题考查的是算术平方根的定义.一个非负数的非负平方根叫做这个数的算术平方根.正数的平方根是正数.特别注意:应首先计算的值. 变式: 2. 的平方根是( ) A.3 B.±3 C. D.± 考点:算术平方根;平方根。 分析:首先根据平方根概念求出

=3,然后求3的平方根即可.

解答:解:∵=3, ∴故选的平方根是D.

±. 点评:本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用.如果x2=a(a≥0),则x是a的平方根.若a>0,则它有两个平方根并且互为相反数,我们把正的平方根叫a的算术平方根;若a=0,则它有一个平方根,即0的平方根是0,0的算术平方根也是0,负数没有平方根.

34

3.2实数 类型一:无理数

1.下列说法正确的是( ) A.带根号的数是无理数 B.无理数就是开方开不尽而产生的数

C.无理数是无限小数 D.无限小数是无理数 考点:无理数。

分析:A、B、C、D分别根据无理数的定义:无限不循环小数是无理数即可判定选择项.解答:解:A、带根号的数不一定是无理数,例如,故选项错误; B、无理数不一定是开方开不尽而产生的数,如π,故选项错误; C、无理数是无限小数,故选项正确;

D、无限小数不一定是无理数,例如无限循环小数,故选项错误. 故选C.

点评:此题主要考查了无理数的定义.解答此题的关键是熟练掌握无理数的定义.初中常见的无理数有三类:①π类;②开方开不尽的数,如;③有规律但无限不循环的数,

如0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0). 2.在实数﹣

,0.21,

,,

,0.20202中,无理数的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4 考点:无理数。

分析:根据无理数的定义即可判定选择项. 解答:解:在实数﹣

,0.21,

,,

,0.20202中,

根据无理数的定义可得其中无理数有﹣

三个.

故选C.

点评:此题主要考查了无理数的定义,解题要注意带根号的要开不尽方的才是无理数,还有无限不循环小数也为无理数.如π,,0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式. 变式: 3.在

中无理数有

( )个. A.3个 B.4个 C.5个 D.6

35

考点:无理数。

分析:根据无理数、有理数的定义即可判定求解. 解答:解:在

中,

显然,=14、﹣3.14、是有理数; ﹣0.333…是循环小数是有理数;

是分数,是有理数;ww w.x k b1 .co m 所以,在上一列数中,

、0.58588558885…是无理数,共有3个;

故选A.

点评:此题主要考查了无理数的定义.注意带根号的要开不尽方才是无理数,无限不循环小数为无理数.如π,,0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式. 4.在

中,无理数有 ___2____ 个.

考点:无理数。

分析:由于无理数就是无限不循环小数.初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及0.1010010001…,等有这样规律的数,由此即可判定求解. 解答:解:在

中,

∵π是无限不循环小数,而是开方开不尽的数, ∴故有它们都是无理数.其它的都是有理数.2个无理数.

点评:此题这样考查了无理数的定义.注意带根号的数与无理数的区别:带根号的数不一定是无理数,带根号且开方开不尽的数一定是无理数.本题中

是有理数中的整

数.初中范围内学习的无理数有:π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.www .xkb 1.com

3.3立方根 类型一:立方根

1.如果一个实数的平方根与它的立方根相等,则这个数是( ) A.0 B.正实数 C.0和1 D.1 考点:立方根;平方根。 专题:应用题。

分析:根据立方根和平方根的性质可知,只有0的立方根和它的平方根相等,解决问题.

36

解答:解:0的立方根和它的平方根相等都是0; 1的立方根是1,平方根是±1,

∴故选一个实数的平方根与它的立方根相等,则这个数是A.

0. 点评:此题主要考查了立方根的性质:一个正数的立方根是正数,一个负数的立方根是负数,0的立方根式0.注意一个数的立方根与原数的性质符号相同,一个正数的平方根有两个他们互为相反数.

2.若一个数的平方根是±8,则这个数的立方根是( ) A.±2 B.±4 C.2 D.4 考点:立方根;平方根。

分析:首先利用平方根的定义求出这个数,然后根据立方根的定义即可求解.

解答:解:∵一个数的平方根是±8, ∴这个数为(±8)2故64的立方根是4=64. , 故选D.

点评:此题主要考查了立方根的定义,求一个数的立方根,应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方.由开立方和立方是互逆运算,用立方的方法求这个数的立方根.注意一个数的立方根与原数的性质符号相同. 3.﹣64的立方根是 ﹣4 ,的平方根是 ±4 . 考点:立方根;平方根;算术平方根。 分析:一个数的立方是a,这个数叫a的立方根;一个数的平方是a,这个数叫a的平方根.分别根据这两个定义即可求解.

解答:解:∵(﹣4)3=﹣64, ∴﹣64的立方根是﹣4; ∵=16, ∴点评:此题是一道基础题,的平方根是±4.

考查了平方根和立方根的概念,特别注意第二个实际上是求16的平方根. 变式:

1.下列语句正确的是( ) A.如果一个数的立方根是这个数的本身,那么这个数一定是零

B.一个数的立方根不是正数就是负数 C.负数没有立方根

D.一个数的立方根与这个数同号,零的立方根是零 考点:立方根。

分析:A、根据立方根的性质即可判定;

B、根据立方根的性质即可判定; C、根据立方根的定义即可判定; D、根据立方根的性质即可判定.

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解答:解:A、一个数的立方根是这个数的本身的数有:1、0、﹣1,故选项A错误.

B、0的立方根是0,u选项B错误.

C、∵负数有一个负的立方根,故选项C错误.

D、∵正数有一个正的立方根,负数有一个负的立方根,0的立方根是.故选项D正确. 故选D.

点评:本题考查了平方根、立方根定义和性质等知识,注意负数没有平方根,任何实数都有立方根.

2.若x2=(﹣3)2,y3﹣27=0,则x+y的值是( ) A.0 B.6 C.0或6 D.0或﹣6 考点:立方根;平方根。

分析:先根据平方根和立方根的概念求出x、y的值,然后代入所求代数式求解即可. 解答:解:由题意,知:x2=(﹣3)2,y3=27, 即x=±3,y=3,

∴故选x+y=0C.或

6. 点评:本题考查了平方根和立方根的概念.

注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根. 立方根的性质:一个正数的立方根式正数,一个负数的立方根是负数,0的立方根是0. 3.

= 3 ,

= ﹣4 ,的平方根是 .

考点:平方根;立方根。

分析:分别据算术平方根的定义、立方根的定义即平方根的定义计算即可. 解答:解:

=

=3; ==﹣4; =

=6,即平方根为

故答案为:.

点评:本题考查了平方根和立方根的计算,属于基本的题型,要求熟练掌握. 4.若16的平方根是m,﹣27的立方根是n,那么m+n的值为 _________ . 考点:立方根;平方根。

分析:首先根据平方根的定义求出m的值,根据立方根的定义求出n的值,然后代入m+n即可.

解答:解:∵16的平方根是m,﹣27的立方根是n, ∴当m=m=4±4,,n=n=﹣﹣33.时,

m+n=1; 当m=﹣4,n=﹣3时,m+n=﹣7.

38

点评:本题主要考查了平方根和立方根的定义.如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根,也叫做a的三次方根.

3.5实数的运算 类型一:实数的混合运算

1.两个无理数的和,差,积,商一定是( ) A.无理数 B.有理数 C.0 D.实数 考点:实数的运算。

分析:根据无理数的加减乘除运算的法则和无理数的定义即可判定.

解答:解:因为+(﹣)=0,+=2,所以其和可以为有理数,也可为无理数;

因为﹣=0,﹣2=﹣,所以其差可以为有理数,也可为无理数; 因为=2,=,所以其积可以为有理数,也可为无理数; 因为=1,=,所以其商可以为有理数,也可为无理数. 所以两个无理数的和,差,积,商一定是实数. 故选D.

点评:此题主要考查了实数的运算及无理数的定义,也考查了学生的综合应用能力,要注意举实例的方法. 2.计算:

(1)﹣13+10﹣7= ﹣10 ; (2)13+4÷(﹣)= 10 ; (3)﹣32﹣(﹣2)2×= ﹣ ;

(4)(+

﹣)×(﹣60)= ﹣10 ;

(5)4×(﹣2)+3≈ 1.93 (先化简,结果保留3个有效数字). 考点:实数的运算;有理数的混合运算。 分析:(1)(2)(3)按照有理数混合运算的顺序,先乘方后乘除最后算加减,有括号的先算括号里面的;

(4)此题可运用乘法分配律进行计算; (5)先去括号,然后合并同类项即可. 解答:解:(1)原式=﹣3﹣7=﹣10; (2)原式=13﹣4×=10;

(3)原式=﹣9﹣4×=﹣9﹣=﹣9;

39

(4)原式=(﹣60)×+(﹣60)×﹣(﹣60)×=﹣45﹣35+70=﹣10;

(5)原式=4﹣8+3=4﹣5≈1.93.

点评:本题考查的是有理数的运算能力.注意:

(1)要正确掌握运算顺序,在混合运算中要特别注意运算顺序:先三级,后二级,再一级;有括号的先算括号里面的;同级运算按从左到右的顺序; (2)去括号法则:﹣﹣得+,﹣+得﹣,++得+,+﹣得﹣. 变式:

3.已知:a和b都是无理数,且a≠b,下面提供的6个数a+b,a﹣b,ab,,ab+a﹣b,ab+a+b可能成为有理数的个数有 6 个. 考点:实数的运算。

分析:由于a和b都是无理数,且a≠b,可以由此取具体数值,然后根据实数的运算顺序进行计算即可判定. 解答:解:当a=

,b=﹣

,时,a+b=0,ab=﹣2,ab+a+b=﹣2,=﹣1,

当a=+1,b=﹣1时,a﹣b=+1﹣+1=2,ab+a﹣b=3+2=5. 故可能成为有理数的个数有6个.

点评:此题主要考查了实数的运算.解题关键注意无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的. 4.计算: (1)

= 0

(2)3﹣2×(﹣5)2= ﹣47 (3)﹣

≈ 1.36 (精确到0.01);

(4)= 23 ; (5)= ﹣ ; (6)

=

. 考点:实数的运算。

分析:(1)运用加法交换律计算;

(2)先算乘方,再算乘法,最后算减法;

(3)先把二次根式化为最简二次根式,再计算; (4)先算括号里面的乘法,再用乘法分配律计算; (5)先算乘方,再算乘除;

(6)先把二次根式化为最简二次根式,再计算;

40

解答:解:(1)原式=(﹣87.21﹣12.79)+(53+46)=﹣100+100=0;

(2)原式=3﹣2×25=3﹣50=﹣47; (3)原式≈2.62074﹣1.2649≈1.36; (4)原式=66×(﹣

)=66×﹣66×

=33﹣10=23;

(5)原式=﹣4××=﹣;

(6)原式=×(﹣)+=﹣1+=.

点评:解答此类题目的关键是把代数式中的二次根式化简,再计算.

41

第四章 代数式

4.1代数式 类型一:代数式的规范

1.下列代数式书写正确的是( )

A.a48 B.x÷y C.a(x+y) D.

abc

考点:代数式。

分析:根据代数式的书写要求判断各项. 解答:解:选项A正确的书写格式是48a, B正确的书写格式是, C正确,

D正确的书写格式是abc.

故选C.

点评:代数式的书写要求:

(1)在代数式中出现的乘号,通常简写成“•”或者省略不写; (2)数字与字母相乘时,数字要写在字母的前面;

(3)在代数式中出现的除法运算,一般按照分数的写法来写.带分数要写成假分数的形式.

类型二:列代数式

1.a是一个三位数,b是一个一位数,把a放在b的右边组成一个四位数,这个四位数是( ) A.ba B.100b+a C.1000b+a D.10b+a 考点:列代数式。 专题:应用题。

分析:本题考查列代数式,要明确给出的文字语言中的运算关系,三位数a放在一个两位数b右面相当于b扩大了1000倍.

解答:解:三位数a放在一个两位数b右面相当于b扩大了1000倍,那么这个四位数为(1000b+a). 故选C

点评:本题主要考查了数字的表示方法,该题易错点在于不能正确理解新形成的数与原来两个数之间的关系,三位数a放在b的右边相当于把b扩大1000倍,进而可列出相应代

42

数式.

2.为参加“爱我校园”摄影赛,小明同学将参与植树活动的照片放大为长acm,宽acm的形状,又精心在四周加上了宽2cm的木框,则这幅摄影作品占的面积是( )cm2.

A.a2﹣a+4

B.a2﹣7a+16

C.a2+a+4D.a2+7a+16

考点:列代数式。

分析:此题涉及面积公式的运用,解答时直接运用面积的公式求出答案. 解答:解:根据题意可知,

这幅摄影作品占的面积是a2+4(a+4)+4(a+4)﹣4×4=a2+7a+16.

故选D.

点评:列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词,找到其中的数量关系列出式子.3.李先生要用按揭贷款的方式购买一套商品房,由于银行提高了贷款利率,他想尽量减少贷款额,就将自己的全部积蓄a元交付了所需购房款的60%,其余部分向银行贷款,则李先生应向银行贷款

a 元.

考点:列代数式。

分析:由题意得购房款为单位1=a÷60%,那么需向银行贷款为:购房款﹣积蓄. 解答:解:依题意得:a÷60%﹣a=a元.

点评:解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系. 变式:

4.有一种石棉瓦(如图),每块宽60厘米,用于铺盖屋顶时,每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米,那么n(n为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为( ) A.60n厘米 B.50n厘米 C.(50n+10)厘米 D.(60n﹣10)厘米 考点:列代数式。

分析:本题的关键是弄清n块石棉瓦重叠了(n﹣1)个10厘米,再依题意列代数式求出结果.

解答:解:根据题意,得:

n块石棉瓦重叠了(n﹣1)个10厘米,

故n(n为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为: 60n﹣10(n﹣1)=50n+10 故选C.

点评:解决问题的关键是读懂题意,找到所求的量的等量关系.要注意弄清n(n为正整数)块石棉瓦重叠的面积是多少. 5.今年某种药品的单价比去年便宜了10%,如果今年的单价是a元,则去年的单价是( )

A.(1+10%)a元 B.(1﹣10%)a元 C.元 D.元

43

考点:列代数式。

分析:去年的单价×(1﹣10%)=今年的单价.

解答:解:设去年的单价是x元.根据题意,得:x(1﹣10%)=a.解得:x=

故选D.

点评:注意运用方程可以更清楚地表示出去年的单价.找到相应的数量关系是解决问题的关键.

6.若一个二位数为x;一个一位数字为y;把一位数字为y放到二位数为x的前面,组成一个三位数,则这个三位数可表示为 100y+x . 考点:列代数式。

分析:此题只需将放到二位数为x的前面的y扩大100倍再加上二位数x即可. 解答:解:由题意得,这个三位数为100y+x.

点评:本题考查了代数式的列法,正确理解题意是解决这类题的关键.

4.2代数式的值 类型一:代数式求值

1.如果a是最小的正整数,b是绝对值最小的数,c与a2互为相反数,

那么(a+b)2009﹣c2009= 2 . 考点:代数式求值。

分析:先根据题意,求出a、b、c的值,然后再代入代数式求解. 解答:解:由题意,知:a=1,b=0,c+a2=0;

∴故(a=1a+b,b=0)2009,c=﹣﹣c20091;=

(1+0)2009﹣(﹣1)2009=1+1=2. 点评:本题考查了代数式求值的方法,同时还考查了有理数的相关知识以及相反数的定义.

2.(1)当x=2,y=﹣1时,﹣9y+6 x2+3(y

)= 22 ;

(2)已知A=3b2﹣2a2,B=ab﹣2b2﹣a2.当a=2,b=﹣时,A﹣2B=

(3)已知3b2=2a﹣7,代数式9b2﹣6a+4= ﹣17 . 考点:代数式求值。

分析:①先化简原代数式,再将其中的未知数代入求解;

②用A,B的具体值代替A﹣2B中的值,化简,再代入a,b的值求解;

③先观察已知条件和代数式之间的关系,发现9b2﹣6a是3b2﹣2a的三倍,求出后者的值即可. 解答:解:(1)原式=﹣9y+6x2+3y﹣2x2

44

=﹣6y+4x2将x=2,y=﹣1代入该式,得﹣6×(﹣1)+4×22=22,所以原式的值为22. (2)A﹣2B=3b2﹣2a2﹣2ab+4b2+2a2 =7b2﹣2ab

将a=2,b=﹣代入该式得,7×+2×2×=

,所以原式的值为

(3)由于3b2=2a﹣7,即3b2﹣2a=﹣7 所以9b2﹣6a+4=3×(﹣7)+4=﹣17.

点评:本题考查代数式的求值问题,遇到代数式时,能化简的,先化简,再代入具体值求解. 变式:

3.当x=6,y=﹣1时,代数式的值是( )

A.﹣5 B.﹣2 C.

D.

考点:代数式求值。

分析:本题考查的是式子的化简.可以化简后代入数值,也可以直接代入,化简后可以消去y,比较简便.ww w. x k b1.co m 解答:解:将代数式

(x+2y)+y展开可得

(x+2y)+y=﹣x=﹣2,代数式

(x+2y)+y的值是﹣2.

故选B.

点评:本题主要考查的是式子的化简求值,也可以直接代入求值. 4.某长方形广场的长为a米,宽为b米,中间有一个圆形花坛,半径为c米.

(1)用整式表示图中阴影部分的面积为 (ab﹣πc2) m2; (2)若长方形的长a为100米,b为50米,圆形半径c为10米,则阴影部分的面积为 4686 m2.(π取3.14) 考点:代数式求值。

分析:阴影部分面积等于长方形的面积减去圆的面积,再根据已知条件代入数值求解. 解答:解:(1)(ab﹣πc2);

(2)当a=100,b=50,c=10时,

Ab﹣πc=100×50﹣3.14×102

=5000﹣314 =4686m2.

点评:考查了代数式在几何中的应用,并用之来解决实际问题. 类型二:新定义运算

1.如果我们用“♀”、“♂”来定义新运算:对于任意实数a,b,都有a♀b=a,a♂b=b,例如3♀2=3,3♂2=2.则(瑞♀安)♀(中♂学)= 瑞 .

45

考点:代数式求值。 专题:新定义。

分析:由于对于任意实数a,b,都有a♀b=a,a♂b=b,即:遇到符号“♀”取符号前的值,遇到“♂”取符号后的值,所以有瑞♀安=瑞,中♂学=学,那么题中所给代数式则等价于瑞♀学,应去“瑞”.

解答:解:∵对于任意实数a,b,都有a♀b=a,a♂b=b ∴点评:

本题主要考查代数式的求值,关键在于理解清楚新定义的含义,分别求出代数式中的各项,然后求出代数式的值. 变式:

2.设a*b=2a﹣3b﹣1,那么①2*(﹣3)= 12 ;②a*(﹣3)*(﹣4)= 4a+27 . 考点:代数式求值。

分析:根据题意可知,该运算为新定义运算,根据定义运算的各对应值,分别代入即可. 解答:解:2*(﹣3)=2×2﹣3×(﹣3)﹣1=12; a*(﹣3)*(﹣4)=[2a﹣3×(﹣3)﹣1]*(﹣4) =(2a+8)*(﹣4)

=2×(2a+8)﹣3×(﹣4)﹣1 =4a+27.

点评:解题关键是弄清题意,根据题意把各对应的值代入,转化为一般算式计算.

4.3整式 类型一:整式 1.已知代数式

,其中整式有( )

A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

考点:整式。

分析:根据整式的定义求解. 解答:解:

不是整式,因为分母中含有未知数,

不是整式,因为整式进行的运算只有加减乘除.

其余五项都是整式.故选A.

点评:本题重点在于考查整式的定义:整式是有理式的一部分,在有理式中可以包含加,减,乘,除四种运算,但在整式中除数不能含有字母.单项式和多项式统称为整式. 变式:

46

2.在代数式x﹣y,3a,a2﹣y+,,xyz,,中有( )

A.5个整式 B.4个单项式,3个多项式 C.6个整式,4个单项式 D.6个整式,单项式与多项式个数相同 考点:整式。

分析:根据整式,单项式,多项式的概念分析各个式子. 解答:解:单项式有:3a,

,xyz,共3个.多项式有x﹣y,a2﹣y+,

共3

个,所以整式有6个. 故选D. 点评:主要考查了整式的有关概念.要能准确的分清什么是整式.整式是有理式的一部分,在有理式中可以包含加,减,乘,除四种运算,但在整式中除式不能含有字母.单项式和多项式统称为整式.单项式是字母和数的乘积,只有乘法,没有加减法.多项式是若干个单项式的和,有加减法.ww w. x k b 1.co m

类型二:单项式 1.下列各式:

,﹣25,

中单项式的个数有

( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 考点:单项式。

分析:数与字母的积的形式的代数式是单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式,分母中含字母的不是单项式.

解答:解:根据单项式的定义知,单项式有:﹣25,

a2b2.

故选C.

点评:数与字母的积的形式的代数式是单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式,分母中含字母的不是单项式,这是判断是否是单项式的关键. 2.单项式﹣26πab的次数是 2 ,系数是 ﹣26π . 考点:单项式。

分析:根据单项式系数、次数的定义来求解.单项式中数字因数叫做单项式的系数,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.

解答:解:根据单项式定义得:单项式﹣26πab的次数是2,系数是﹣26π.

点评:确定单项式的系数和次数时,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,是找准单项式的系数和次数的关键.注意π属于数字因数.

变式:

3.单项式﹣34a2b5的系数是 ﹣34 ,次数是 7 ;单项式﹣

的系数是 ﹣ ,

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次数是 4 . 考点:单项式。

分析:根据单项式系数、次数的定义来求解.单项式中数字因数叫做单项式的系数,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.

解答:解:根据单项式系数、次数的定义,www. xkb 1.com

(1)单项式﹣34a2b5的数字因数﹣34即为系数,字母的指数和2+5=7,即次数是7; (2)单项式﹣

的数字因数﹣即为系数,字母的指数和3+1=4,即次数是4.

点评:确定单项式的系数和次数时,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,是找准单项式的系数和次数的关键.在确定﹣34a2b5的系数和次数时,指数4属于3的指数,字母的指数只有2和5. 4.

是 六 次单项式.

考点:单项式。 分析:根据单项式次数的定义来求解.单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 解答:解:根据单项式次数的定义,单项式

的次数是6.

点评:确定单项式的系数和次数时,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,是找准单项式的系数的关键.注意π是数字,不是字母. 5.﹣

的系数是 ,次数是 3 .

考点:单项式。

分析:单项式的系数是指单项式中的数字因数,次数是指所有字母的指数和. 解答:解:根据单项式系数和次数的定义可知,﹣

的系数是

,次数是3.

点评:解答此题的关键是理解单项式的概念,比较简单.注意π属于数字因数.

类型三:多项式

1.多项式﹣2a2b+3x2﹣π5的项数和次数分别为( ) A.3,2 B.3,5 C.3,3 D.2,3 考点:多项式。

分析:根据多项式项数及次数的定义求解.

解答:解:∵多项式﹣2a2b+3x2﹣π5是有﹣2a2b、3x2、π5三项组成, ∴此多项式是三项式; ∵3x在﹣2

的次数是2a2b、3x22;、π5π5的次数是三项中﹣12a2. b的次数是3; ∴此多项式是3次3项式.

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故选C.

点评:解题的关键是弄清多项式的项及次数的概念: ①组成多项式的各单项式叫多项式的项.

②多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数.

2.m,n都是正整数,多项式xm+yn+3m+n的次数是( ) A.2m+2n B.m或n C.m+n D.m,n中的较大数 考点:多项式。

分析:多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”,因此多项式xm+yn+3m+n的次数是m,n中的较大数是该多项式的次数.

解答:解:根据多项式次数的定义求解.由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”,因此多项式xm+yn+3m+n中次数最高的多项式的次数,即m,n中的较大数是该多项式的次数.

故选D.新-课- 标- 第-一-网

点评:解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数.正确记忆理解多项式的次数的定义是解题关键.

变式:

3.多项式2x2﹣3×105xy2+y的次数是( ) A.1次 B.2次 C.3次 D.8次 考点:多项式。

分析:根据多项式次数的定义确定即可,多项式中每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数.

解答:解:多项式2x2﹣3×105xy2+y的次数是1+2=3. 故选C.

点评:在确定单项式次数时,注意是所有字母的指数和,数字的指数不能加上.

4.一个五次多项式,它的任何一项的次数( ) A.都小于5 B.都等于5 C.都不大于5 D.都不小于5 考点:多项式。

分析:根据多项式次数的定义求解.多项式的次数是多项式中最高次项的次数,所以可知最高次项的次数为5.

解答:解:由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”,因此五次多项式中,次数最高的项是五次的,其余项的次数可以是五次的,也可以是小于五次的,却不能是大于五次的.因此五次多项式中的任何一项都是不大于五次的. 故选C.

点评:解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数. 易错点:由于概念理解不透彻,容易错选A或B.

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5.若m,n为自然数,则多项式xm﹣yn﹣4m+n的次数应当是( ) A.m B.n C.m+n D.m,n中较大的数 考点:多项式。

分析:由于多项式中每个单项式叫做多项式的项,这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数,因为m,n均为自然数,而4m+n是常数项,所以多项式的次数应该是x,y的次数,由此可以确定选择项.

解答:这些单项式中的最高次数,就是这个多项式的次数,解:∵多项式中每个单项式叫做多项式的项, 而4m+n是常数项,

∴多项式xm﹣yn﹣4m+n的次数应该是x,y中指数大的, ∴故选D是正确的.D.

点评:此题考查的是对多项式有关定义的理解.

6.若A和B都是4次多项式,则A+B一定是( ) A.8次多项式 B.4次多项式

C.次数不高于4次的整式 D.次数不低于4次的整式 考点:多项式。

分析:若A和B都是4次多项式,通过合并同类项求和时,结果的次数定小于或等于原多项式的最高次数.

解答:解:若A和B都是4次多项式,则A+B的结果的次数一定是次数不高于4次的整式. 故选C.

点评:多项式与多项式和与差的结果一定是整式,且次数不高于原多项式的最高次数.

7.若A是一个三次多项式,B是一个四次多项式,则A+B一定是( ) A.三次多项式 B.四次多项式或单项式 C.七次多项式 D.四次七项式 考点:多项式。新-课-标 -第 -一-网

分析:根据合并同类项法则和多项式的加减法法则可做出判断.

解答:解:多项式相加,也就是合并同类项,合并同类项时只是把系数相加减,字母和字母的指数不变,由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”,B是一个四次多项式,因此A+B一定是四次多项式或单项式. 故选B.

点评:要准确把握合并同类项的法则,合并同类项时只是把系数相加减,字母和字母的指数不变,多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”.

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4.4合并同类项 类型一:同类项

1.下列各式中是同类项的是( )

A.3x2y2和﹣3xy2

B.

C.5xyz和8yz

D.ab2和

考点:同类项。

分析:本题考查同类项的定义,所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项,几个常数项也是同类项.同类项与字母的顺序无关,与系数无关. 解答:解:A、相同字母的指数不相同,不是同类项; B、符合同类项的定义,是同类项; C、所含字母不相同,不是同类项; D、

是分式,不是同类项.

故选B.

点评:同类项定义中的两个“相同”:(1)所含字母相同;(2)相同字母的指数相同;是易混点.

同类项定义中隐含的两个“无关”:①与字母的顺序无关;②与系数无关. 本题还应注意同类项是针对整式而言的.

2.已知﹣25a2mb和7b3﹣

na4是同类项,则m+n的值是 4 . 考点:同类项。 专题:方程思想。 分析:根据同类项的定义(所含有的字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫同类项)可得方程:2m=4,3﹣n=1,解方程即可求得m,n的值,再代入m+n求解即可. 解答:解:由同类项的定义可知n=2,m=2,则m+n=4. 点评:同类项定义中的两个“相同”: (1)所含字母相同;

(2)相同字母的指数相同,是易混点,因此成了中考的常考点.

变式:

3.下列各组中的两项是同类项的是( )

A.﹣m2和3m B.﹣m2n和﹣mn2 C.8xy2和

D.0.5a和0.5b

考点:同类项。

分析:所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项,根据此定义对各项进行分析即可.

解答:解:A,不正确,因为其所含字母的指数不相同; B,不正确,因为其所含字母的指数不相同;

51

C,正确,因为其不但所含的字母相同,字母的指数也相同; D,不正确,因为其所含的字母不相同. 故选C.

点评:判断两项是不是同类项,可看其是否满足同类项定义中所指出的两个”相同“.

4.已知9x4和3nxn是同类项,则n的值是( ) A.2 B.4 C.2或4 D.无法确定 考点:同类项。

分析:本题考查同类项的定义,含有相同的字母,并且相同字母的指数相同.据此求出n的值.

解答:解:由同类项的定义,得n=4. 故选B.

点评:同类项定义中的两个“相同”:所含字母相同,相同字母的指数相同,是易混点,因此成了中考的常考点.

5.3xny4与﹣x3ym是同类项,则2m﹣n= 5 . 考点:同类项。

分析:本题考查同类项的定义,所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项,根据同类项的定义中相同字母的指数也相同,可先求得m和n的值,从而求出它们的差. 解答:解:由同类项的定义可知m=4,n=3,则2m﹣n=5. 点评:同类项定义中的两个“相同”: (1)所含字母相同;

(2)相同字母的指数相同,是易混点,因此成了中考的常考点.

6.若﹣x2y4n与﹣x2my16是同类项,则m+n= 5 . 考点:同类项。 分析:本题考查同类项的定义,由同类项的定义可先求得m和n的值,从而求出它们的和. 解答:解:∵﹣x2y4n与﹣x2my16是同类项, ∴解得2m=2m=1,4n=16,n=4,,

∴点评:m+n=1+4=5同类项定义中的两个.

“相同”:(1)所含字母相同;(2)相同字母的指数相同,是易混点,还有注意同类项与字母的顺序无关.

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4.5整式的加减 类型一:整式的加减 选择题

1.x、y、z在数轴上的位置如图所示,则化简|x﹣y|+|z﹣y|的结果是( )

A.x﹣z B.z﹣x C.x+z﹣2y D.以上都不对 考点:绝对值;整式的加减。

分析:根据x、y、z在数轴上的位置,先判断出x﹣y和z﹣y的符号,在此基础上,根据绝对值的性质来化简给出的式子.

解答:解:由数轴上x、y、z的位置,知:x<y<z; 所以x﹣y<0,z﹣y>0;

故|x﹣y|+|z﹣y|=﹣(x﹣y)+z﹣y=z﹣x. 故选B.

点评:此题借助数轴考查了用几何方法化简含有绝对值的式子,能够正确的判断出各数的符号是解答此类题的关键.

2.已知﹣1<y<3,化简|y+1|+|y﹣3|=( ) A.4 B.﹣4 C.2y﹣2 D.﹣2 考点:绝对值;整式的加减。

分析:根据去绝对值,整式的加法运算,合并同类项的法则. 解答:解:∵﹣1<y<3, ∴|y|y+1|=y+1﹣3|≤0,|y,﹣

3|=﹣y+3,

∴故选|y+1|+|yA.﹣

3|=y+1﹣y+3=4. 点评:去绝对值时,正数的绝对值等于本身,负数的绝对值等于它的相反数.

3.已知x>0,xy<0,则|x﹣y+4|﹣|y﹣x﹣6|的值是( ) A.﹣2 B.2 C.﹣x+y﹣10 D.不能确定 考点:绝对值;整式的加减。 分析:含绝对值的数等于它本身或相反数,而此题可根据已知分析x、y的符号,再根据x,y的正负性来解此题.

解答:解:由已知x>0,xy<0,得y<0 则:x﹣y+4>0,y﹣x﹣6<0

∴=x|x﹣﹣y+4+yy+4|﹣﹣|yx﹣﹣x6=﹣﹣6|=x2.故选﹣y+4+A(.y﹣

x﹣6) 点评:此题考查的是学生对绝对值的意义的掌握,含绝对值的数等于它本身或相反数

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4.A、B都是4次多项式,则A+B一定是( ) A.8次多项式 B.次数不低于4的多项式 C.4次多项式 D.次数不高于4的多项式或单项式 考点:整式的加减。

分析:根据合并同类项法则判断.若A、B是同类项,则合并后最高为4次多项式或单项式;若不是同类项,则不能合并,仍然是4次多项式.

解答:解:根据合并同类项的法则,A+B的最高次数可能是4,最低次数可能是0即为常数. 故选D.

点评:注意多项式的次数的定义,系数互为相反数的同类项的和为0.

5.若A和B都是五次多项式,则A+B一定是( ) A.十次多项式 B.五次多项式 C.数次不高于5的整式 D.次数不低于5次的多项式

考点:整式的加减。

分析:根据合并同类项的法则解答.

解答:解:A、B都为五次多项式,则它们的和的最高次项必定不高于5. 故选C.

点评:此题考查的是多项式相加,最高次项不超过5次,此题易错选B.

6.M,N分别代表四次多项式,则M+N是( ) A.八次多项式 B.四次多项式 C.次数不低于四次的整式 D.次数不高于四次的整式

考点:整式的加减。

分析:两个式子均为四次多项式,两个四次多项式相加,最高次项必不超过4,据此可解此题.

解答:解:M,N分别代表四次多项式,则M+N是次数不高于四次的整式. 故选D. 点评:此题考查的是整式的加减,两个多项式相加其和必小于等于单个多项式的最高次项.

7.多项式a2﹣a+5减去3a2﹣4,结果是( ) A.﹣2a2﹣a+9 B.﹣2a2﹣a+1 C.2a2﹣a+9 D.﹣2a2+a+9 考点:整式的加减。

分析:本题较简单,根据题意直接列式计算即可. 解答:解:(a2﹣a+5)﹣(3a2﹣4) =a2﹣a+5﹣3a2+4 =﹣2a2﹣a+9. 故选A.

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点评:整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项,要注意去括号时正负号的变化.

8.两个三次多项式相加,结果一定是( ) A.三次多项式 B.六次多项式 C.零次多项式 D.不超过三次的整式. 考点:整式的加减。

分析:整式加减后的次数不大于整式加减前的最高次数.

解答:解:由题意得:两个三次多项式相加其结果不超过三次. 故选D.

点评:本题考查整式的加减,注意整式的加减次数不相加,而是把次数高的项当作整式的次数.X-k-b-1.-c -o- m

9.与x2﹣y2相差x2+y2的代数式为( ) A.﹣2y2 B.2x2 C.2y2或﹣2y2 D.以上都错 考点:整式的加减。

分析:本题涉及整式的减法、合并同类项两个考点,解答时先去括号,再合并同类项可得出答案.

解答:解:设这个代数式为M, 则M=(x2﹣y2)﹣(x2+y2) =x2﹣y2﹣x2﹣y2=﹣2y2; 或M=(x2+y2)﹣(x2﹣y2) =x2+y2﹣x2+y2=2y2. 故选C. 点评:本题考查整式的加减运算,这是各地中考的常考点.解决此类题目的关键是去括号、合并同类项,注意括号前添负号,括号里的各项要变号.

10.若m是一个六次多项式,n也是一个六次多项式,则m﹣n一定是( ) A.十二次多项式 B.六次多项式 C.次数不高于六次的整式 D.次数不低于六次的整式

考点:整式的加减。

分析:此题涉及整式和多项式的概念两个考点,解答时根据每个考点选项一一进行分析,然后选择正确的答案.

解答:解:若两个六次多项式中,六次项的系数不相等,这两个六次多项式相减后就仍为六次多项式;

若两个六次多项式中,六次项的系数相等,这两个六次多项式相减后六次多项式就会变为低于六次的整式. 故选C.

点评:解决此类题目的关键是熟练运用多项式考点知识,根据整式加减的规律,两个多项式相减后,多项式的次数一定不会升高.

55

11.下列计算正确的是( )新-课-标 -第 -一-网

A.

B.﹣18=8

C.(﹣1)÷(﹣1)×(﹣1)=﹣3

D.n﹣(n﹣1)=1

考点:整式的加减。

分析:根据有理数的运算法则对各选项进行计算. 解答:解:A中:为最简分数,不能再进行约分. ∴

A错; B中:﹣18表示18的相反数. ∴

B错; C中:先确定符号为﹣,结果为﹣1.

C错; D中:括号前面是负号,去括号后各项都改变符号. n﹣(n﹣1)=n﹣n+1=1

∴故选D正确.D

点评:本题考查的都是日常做题时出现的易错点,应在做题过程中加深理解和记忆.

12.下列各式计算正确的是( ) A.5x+x=5x2 B.3ab2﹣8b2a=﹣5ab2 C.5m2n﹣3mn2=2mn D.﹣2a+7b=5ab 考点:整式的加减。

分析:本题主要考查合并同类项,要根据合并同类项法则来计算. 解答:解:A、是同类项,合并得5x+x=6x,错误; B、计算准确;

C、不是同类项,无法进行合并,不正确; D、不是同类项,无法合并,错误. 故选B.

点评:同类项的概念是所含字母相同,相同字母的指数也相同的项是同类项,不是同类项的一定不能合并.

13.两个三次多项式的和的次数是( ) A.六次 B.三次 C.不低于三次 D.不高于三次 考点:整式的加减。

分析:根据合并同类项的法则综合考虑合并结果.

解答:解:两个三次多项式的和,结果有可能为三次、两次、一次、常数,因此可排出ABC,故选D.

56

点评:此题考查的是整式的加减,两个多项式相加所得的多项式的次数不大于原式的最高次幂,此题易错选到B.

14.如果M是一个3次多项式,N是3次多项式,则M+N一定是( ) A.6次多项式 B.次数不高于3次整式 C.3次多项式 D.次数不低于3次的多项式

考点:整式的加减。

分析:根据相加后次数不大于3,及结果的可能性解答.

解答:解:两个多项式的次数均为3,说明相加后多项式的次数不会大于3,但结果有可能是单项式,也有可能是多项式,所以结果为整式,故选B.

点评:用到的知识点为:多项式中次数最高的单项式的次数就是这个多项式的次数.

15.三个连续整数的积是0,则这三个整数的和是( ) A.﹣3 B.0 C.3 D.﹣3或0或3 考点:整式的加减。

分析:设最小的整数为n﹣1,根据连续的整数只是相差1,知另外的两个整数分别是n,n+1.由等量关系这三个连续整数的积是0,列出方程.然后根据三个因式的积是0,则每一个因式都可能是0,分情况讨论.

解答:解:设最小的整数为n﹣1,根据题意得(n﹣1)•n•(n+1)=0,解得n﹣1=0或n=0或n+1=0,

当n﹣1=0时,n=1,这三个数分别是0,1,2,这三个数的和是3; 当n=0时,这三个数分别是﹣1,0,1,这三个数的和是0;

当n+1=0时,n=﹣1,这三个数是﹣2,﹣1,0,这三个数的和是﹣3. 故选D.

点评:解答本题关键是正确设出最小的整数为n﹣1,然后分别讨论n为不同值时,这三个整数的和.

16.已知x+y+2(﹣x﹣y+1)=3(1﹣y﹣x)﹣4(y+x﹣1),则x+y等于( )

A.﹣ B.

C.﹣ D.

考点:整式的加减。 专题:计算题。

分析:先去括号,分别把等式两边展开并且合并同类项得,然后利用等式的性质对式子进行变形,即可得到x+y的值. 解答:解:方法1:

∵x+y+2(﹣x﹣y+1)=3(1﹣y﹣x)﹣4(y+x﹣1) ∴x+y﹣2x﹣2y+2=3﹣3y﹣3x﹣4y﹣4x+4 ∴﹣x﹣y+2=7﹣7y﹣7x ∴6x+6y=5

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∴x+y= 方法2:

∵x+y+2(﹣x﹣y+1)=3(1﹣y﹣x)﹣4(y+x﹣1) ∴(x+y)﹣2(x+y)+2=3﹣3(x+y)﹣4(x+y)+4 ∴(x+y)﹣2(x+y)+3(x+y)+4(x+y)=3+4﹣2 ∴6(x+y)=5 ∴x+y=

故选D.

点评:本题主要考查等式的性质,利用等式性质对等式进行变形即可得到结果.

17.已知a<b,那么a﹣b和它的相反数的差的绝对值是( ) A.b﹣a B.2b﹣2a C.﹣2a D.2b 考点:整式的加减。

分析:a﹣b的相反数是b﹣a,可得a﹣b和它的相反数为:(a﹣b)﹣(b﹣a)=2a﹣2b,又因为a<b,可知2a﹣2b<0,所以|(a﹣b)﹣(b﹣a)|=2b﹣2a. 解答:解:依题意可得:|(a﹣b)﹣(b﹣a)|=2b﹣2a.故选B.

点评:此题考查的是相反数的概念和整式的加减运算和绝对值的意义.

填空题

18.当1≤m<3时,化简|m﹣1|﹣|m﹣3|= 2m﹣4 . 考点:去括号与添括号;绝对值。

分析:先根据绝对值的性质把原式化简,再去括号即可.

解答:解:根据绝对值的性质可知,当1≤m<3时,|m﹣1|=m﹣1,|m﹣3|=3﹣m, 故|m﹣1|﹣|m﹣3|=(m﹣1)﹣(3﹣m)=2m﹣4.

点评:本题考查绝对值的化简方法和去括号的法则,比较简单. 19.(﹣4)+(﹣3)﹣(﹣2)﹣(+1)省略括号的形式是 ﹣4﹣3+2﹣1 . 考点:去括号与添括号。

分析:去括号时,应注意符号的变化. 解答:解:原式去括号,得﹣4﹣3+2﹣1.

点评:去括号时,运用括号前是”+“,去括号后,括号里的各项都不改变符号;括号前是”﹣“,去括号后,括号里的各项都改变符号.

20.计算m+n﹣(m﹣n)的结果为 2n . 考点:整式的加减。

分析:根据整式的加减运算法则,先去括号,再合并同类项即可求得. 解答:解:原式=m+n﹣m+n=2n.

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点评:解决此类题目的关键是熟记去括号法则,熟练运用合并同类项的法则,这是各地中考的常考点.

21.有一道题目是一个多项式减去x2+14x﹣6,小强误当成了加法计算,结果得到2x2﹣x+3,则原来的多项式是 x2﹣15x+9 . 考点:整式的加减。 专题:应用题。

分析:根据多项式加法的运算法则,用和减去这个多项式,即可求出另外一个.

解答:解:2x2﹣x+3﹣(x2+14x﹣6)=2x2﹣x+3﹣x2﹣14x+6=x2﹣15x+9. 原来的多项式是x2﹣15x+9.

点评:要正确运用多项式加法的运算法则.

22.某校为适应电化教学的需要新建阶梯教室,教室的第一排有a个座位,后面每一排都比前一排多一个座位,若第n排有m个座位,则a、n和m之间的关系为m= a+n﹣1 考点:整式的加减。 分析:因为后面每一排都比前一排多一个座位及第一排有a个座位可得出第n排的座位数,再由第n排有m个座位可得出a、n和m之间的关系.

解答:解:由题意得:后面每一排都比前一排多一个座位及第一排有a个座位可得出第n排的座位数

第n排的座位数:a+(n﹣1) 又第n排有m个座位

故a、n和m之间的关系为m=a+n﹣1.

点评:本题考查整式的加减,关键在于根据题意求出第n排的座位数.

23.若a<0,则|1﹣a|+|2a﹣1|+|a﹣3|= 5﹣4a . 考点:整式的加减;绝对值。

分析:根据绝对值的意义,结合字母的取值去绝对值符号,再化简. 解答:解:依题意得:原式=(1﹣a)+(﹣2a+1)+(﹣a+3)=5﹣4a. 点评:此题考查的是学生对绝对值的意义的掌握情况. X-k-b-1.-c-o-m 解答题

24.化简(2m2+2m﹣1)﹣(5﹣m2+2m)= 3m2﹣6 . 考点:整式的加减。

分析:由于原式中含有括号,则先去括号,然后合并同类项,进而得到最简式. 解答:解:去括号,合并同类项得

原式=2m2+2m﹣1﹣5+m2﹣2m =3m2﹣6.

点评:在整式化简中如果含有括号先去括号,然后合并同类项.

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25.先化简再求值. ①

,则原式= 新课|标第|一 |网

②若a﹣b=5,ab=﹣5,则(2a+3b﹣2ab)﹣(a+4b+ab)﹣(3ab﹣2a+2b)= 45 考点:整式的加减—化简求值。

分析:把①②先去括号,再合并同类项,然后将已知条件代入求值.

解答:解:①原式=3x2y﹣(2xy2﹣2xy+3x2y+xy)+3xy2=3x2y﹣2xy2+2xy﹣3x2y﹣xy+3xy2=xy2+xy

将x=3,y=﹣代入上式,得 上式=3×+3×

=3﹣1 = =

②(2a+3b﹣2ab)﹣(a+4b+ab)﹣(3ab﹣2a+2b) =2a+3b﹣2ab﹣a﹣4b﹣ab﹣3ab+2a﹣2b =3a﹣3b﹣6ab =3(a﹣b)﹣6ab

将a﹣b=5,ab=﹣5代入上式,得 上式=3×5﹣6×(﹣5) =15+30 =45.

点评:合并同类项的法则:同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母是指数不变.

26.若(a+2)2+|b+1|=0,则5ab2﹣{2a2b﹣[3ab2﹣(4ab2﹣2a2b)]}= ﹣8 . 考点:整式的加减—化简求值。

分析:由于(a+2)2+|b+1|=0,而(a+2)2≥0,|b+1|≥0,由此即可得到(a+2)2=0,|b+1|=0,接着就可以求出a、b的值,然后化简多项式并把所求字母的取值代入计算即可求出结果. 解答:解:由(a+2)2+|b+1|=0得 a=﹣2,b=﹣1,ww w.x k b 1.co m 当a=﹣2,b=﹣1时,

5ab2﹣{2a2b﹣[3ab2﹣(4ab2﹣2a2b)]}

60

=4ab2=﹣8.

点评:此题首先根据非负数的性质,可求出a、b的值,然后将代数式化简再代值计算即可解决问题.

27.已知|a﹣2|+(b+1)2=0,那么3a2b+ab2﹣3a2b+5ab+ab2﹣4ab+a2b= 0 . 考点:整式的加减—化简求值;非负数的性质:算术平方根。

分析:本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0,这两个非负数的值都为0.”解出a、b的值,再代入原式中即可.

解答:解:依题意得:a﹣2=0,b+1=0,

∴a=2,b=﹣1.新-课- 标- 第-一-网

原式=(3a2b﹣3a2b+a2b)+(ab2+ab2)+(5ab﹣4ab) =a2b+2ab2+ab

=×22×(﹣1)+2×2×(﹣1)2+2×(﹣1)

=0.

点评:本题考查了非负数的性质和整式的化简,初中阶段有三种类型的非负数:(1)绝对值;(2)偶次方;(3)二次根式(算术平方根).当它们相加和为0时,必须满足其中的每一项都等于0.根据这个结论可以求解这类题目.

4.6专题训练(找规律题型) 选择题

1.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2,其中a0a1a2均为0或1,传输信息为h0a0a1a2h1,其中h0=a0+a1,h1=h0+a2.运算规则为:0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0,例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( ) A.11010 B.10111 C.01100 D.00011 考点:规律型:数字的变化类。 专题:规律型。

分析:根据题意,只需验证是否满足h0=a0+a1,h1=h0+a2.经验证,A,C,D都符合.B中,h1=h0+a2=1+1=0,故错误. 解答:解:∵h1=h0+a2=1+1=0,

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∴故选B错误B.

点评:本题是一道找规律的题目,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.此题注意正确理解题意,根据要求进行计算.

2.在一列数1,2,3,4,…,200中,数字“0”出现的次数是( ) A.30个 B.31个 C.32个 D.33个 考点:规律型:数字的变化类。 专题:规律型。

分析:根据数的表示方法可知,200中数字“0”出现的次数是11+9+11=31.

解答:解:∵100个数字中,只有整十的数字含有0,共11个,101~109中又有9个,110~200∴中又有11个. 故选11+9+11=31B.

. 点评:熟悉数的表示方法:100个数字中,只有整十的数字含有0,共11个,101~109中又有9个,110~200中又有11个.

3.把在各个面上写有同样顺序的数字1~6的五个正方体木块排成一排(如图所示),那么与数字6相对的面上写的数字是( )X-k-b-1. -c-o-m

A.2 B.3 C.5 D.以上都不对 考点:规律型:数字的变化类。

分析:首先由五个正方体木块有3个露出了4,可推出4的对面是2; 然后由1与4,5,6相邻,可得1的对面是3; 故剩下的5与6相对.

解答:解:五个正方体木块有3个露出了4,并且4和1,6,5,3相邻,所以4的对面是2;1与4,5,6相邻,因为4与2相对,故1与2也相邻,所以1的对面是3;剩下的5与6相对. 故选C.

点评:本题考查正方体各个面的相对位置,锻炼了学生的看图能力和空间想象能力.

4.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,…,其中从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造一组正方形(如下图),再分别依次从左到右取2个,3个,4个,5个正方形拼成如下长方形并记为①,②,③,④,相应长方形的周长如下表所示:

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序号 ① ② ③ ④ 周长 6 10 16 26 若按此规律继续作长方形,则序号为⑧的长方形周长是( ) A.288 B.178 C.28 D.110 考点:规律型:图形的变化类。 专题:规律型。

分析:结合图形分析表格中图形的周长,①的周长为:2(1+2),②的周长为:2(2+3),③的周长为:2(3+5),④的周长为:2(5+8),由此可推出第n个长方形的宽为第n﹣1个长方形的长,第n个长方形的长为第n﹣1个长方形的长和宽的和. 解答:解:由分析可得:第⑤个的周长为:2(8+13), 第⑥的周长为:2(13+21), 第⑦个的周长为:2(21+34),

第⑧个的周长为:2(34+55)=178,故选B.

点评:要想得到长方形的周长规律,应先找长方形长、宽的变换规律.分析图形中的长和宽,然后结合图表中长方形的周长即可得出长方形周长的变换规律.

5.如图,△ABC中,D为BC的中点,E为AC上任意一点,BE交AD于O.某同学在研究这一问题时,发现了如下事实:①当==

时,有

==

②当==时,有=; ③当

==

时,有

=

;…;则当

=

时,

=( )

A.

B.

C.

D.

考点:平行线分线段成比例;三角形中位线定理。

分析:本题可有两种思考方式:①根据题目中所给数据,寻找其中的规律,能判断出准确结果.②根据三角形中位线性质进行解答.

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解答:解:过D点作BE的平行线交AC于F, ∵D为BC的中点,∴DF是△BCE的中位线. ∵=,∴=.

∵DF是△BCE的中位线,∴F是EC的中点,∴=.

∵BE∥DF,∴=

=.

故选C.

点评:本题根据所给数据可寻找规律,灵活运用三角形中位线的性质对本题的理解会更加透彻.

填空题 6.(2010•南宁)古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21…叫做三角形数,它有一定的规律性,若把第一个三角形数记为a1,第二个三角形数记为a2,…,第n个三角形数记为an,计算a2﹣a1,a3﹣a2,a4﹣a3,…,由此推算,a100﹣a99= 100 ,a100= 5050 . 考点:规律型:数字的变化类。 专题:规律型。

分析:两数相减等于前面数的下标,如:an﹣an﹣1=n.

利用(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+(a4﹣a3)+…+(an﹣an﹣1)=an﹣a1,求a100. 解答:解:

a2﹣a1=3﹣1=2; a3﹣a2=6﹣3=3; a4﹣a3=10﹣6=4; …;

an﹣an﹣1=n.

所以a100﹣a99=100.

∵=2+3+4+(a2﹣a…1)+n +(a3﹣a2)+(a4﹣a3)+…+(an﹣an﹣1) =﹣1=an﹣a1,

∴a100=

=5050.

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点评:对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的. 7.(2008•烟台)表2是从表1中截取的一部分,则a= 18 .

考点:规律型:数字的变化类。 专题:规律型。

分析:分析可得:表1中,第一行分别为1的1,2,3…的倍数;第二行分别为2的1,2,3…的倍数;第三行分别为3的1,2,3…的倍数;…;表2中,第一行为5的2倍,第三行为7的3倍;故a=6×3=18. 解答:解:a=6×3=18.

点评:本题考查学生分析数据,总结、归纳数据规律的能力,关键是找出规律,要求学生要有一定的解题技巧.

8.(2007•防城港)瑞士的一位中学教师巴尔末从光谱数据

,…中,成

功地发现了其规律,从而得到了巴尔末公式,继而打开了光谱奥妙的大门.请你根据这个规律写出第9个数

考点:规律型:数字的变化类。 专题:规律型。

分析:分子的规律依次是:32,42,52,62,72,82,92…,分母的规律是:规律是:5+7=12 12+9=21 21+11=32 32+13=45…,即分子为(n+2)2,分母为n(n+4). 解答:解:由题可知规律,第9个数的分子是(9+2)2=121;

第五个的分母是:32+13=45;第六个的分母是:45+15=60;第七个的分母是:60+17=77;第八个的分母是:77+19=96;则第九个的分母是:96+21=117. 因而第九个数是:.

故答案为:

点评:主要考查了学生的分析、总结、归纳能力,规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析,从特殊值的规律上总结出一般性的规律. 9.(2000•江西)有一列数:1,2,3,4,5,6,…,当按顺序从第2个数数到第6个数时,

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共数了 5 个数;当按顺序从第m个数数到第n个数(n>m)时,共数了 n﹣m+1 个数.

考点:规律型:数字的变化类。

分析:后一个数减前一个数还要加上1. 解答:解:

当按顺序从第2个数数到第6个数时,共数了6﹣2+1=5个数;

当按顺序从第m个数数到第n个数(n>m)时,共数了n﹣m+1个数.

点评:通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.

10.我们把形如的四位数称为“对称数”,如1991、2002等.在1000~10000之间有 90 个“对称数”.

考点:规律型:数字的变化类。

分析:由对称数定义可知,在1000~10000之间,a可取值为1,2,3,4,5,6,7,8,9,9个数,b可取的值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10个数,a每取一个值b对应的可取10个.

解答:解:由对称数定义可知,a可取值为1,2,3,4,5,6,7,8,9;

当a任取9个数中的一个时,b对应的可取0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10个数; 所以在1000~10000之间的对称数共有9×10即90个.

点评:本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.对于本题而言,关键是找到a与b的取值规律.

11.在十进制的十位数中,被9整除并且各位数字都是0或5的数有 9 个. 考点:规律型:数字的变化类。

分析:被9整除的数,数字和一定是9的倍数.只能出现0或5,因此必须有9个5,0不能出现在首位,因此共有9个.

解答:解:只能出现0或5,因此必须有9个5,0不能出现在首位,因此共有9个.故答案为9.

点评:解决本题的关键是得到被9整除的十位数的特点. 12.(2008•武汉)下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成:拼搭第1个图案需4根小木棒,拼搭第2个图案需10根小木棒,…,依次规律,拼搭第8个图案需小木棒 88

根.

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考点:规律型:图形的变化类。 专题:规律型。

分析:分析题意,找到规律,并进行推导得出答案.

解答:解:分析可得:第1个图形中,有4根火柴;第2个图形中,有4+6=10根火柴;第3个图形中,有10+8=18根火柴;…第8个图形中,共用火柴的根数是4+6+8+10+12+14+16+18=88根.

点评:本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力. 13.(2006•崇左)如下图所示,由一些点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)个点,每个图形总的点数是S,当n=50时,S= 147 .

考点:规律型:图形的变化类。

分析:根据已知图形可以发现,前几个图形中的点数分别为:3,6,9,12,所以可得规律为:第n个图形中的点数为3n.

解答:解:根据题意分析可得:n=2时,S=3.此后,n每增加1,S就增加3个. 故当n=50时,S=(50﹣1)×3=147. 故答案为:147.

点评:此题主要考查了图形的变化规律,可以培养学生的观察能力和分析、归纳能力,属于规律性题目.注意由特殊到一般的归纳方法,此题的规律为:第n个图形中的点数为3n.

14.请你将一根细长的绳子,沿中间对折,再沿对折后的绳子中间再对折,这样连续对折5次,最后用剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断,此时绳子将被剪成 33 段. 考点:规律型:图形的变化类。

分析:此题主要考查二个内容,一是对折后的段数问题,即对折几次,段数就是2的几次方;二是剪的次数与段数问题,即剪的次数+1=段数.

解答:解:根据题意分析可得:连续对折5次后,共25段即32段;故剪刀沿对折5次后的绳子的中间将绳子剪断,此时绳子将被剪成32+1=33段.故应填33.

点评:本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.

15.观察下列各图中小圆点的摆放规律,并按这样的规律继续摆放下去,则第5个图形中小圆点的个数为 50 .

67

考点:规律型:图形的变化类。 专题:规律型。

分析:对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的. 解答:解:根据题意分析可得:第1个图形中小圆点的个数为11=(1+2)2+1; 第2个图形中小圆点的个数为17=(2+2)2+1; 第3个图形中小圆点的个数为26=(3+2)2+1; …;

第5个图形中小圆点的个数为7×7+1=50. 故第5个图形中小圆点的个数为50.

点评:本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.

16.如图所示,黑珠、白珠共126个,穿成一串,这串珠子中最后一个珠子是 白 颜色的,这种颜色的珠子共有 32 个.

考点:规律型:图形的变化类。

分析:除了第一个黑珠外,后边的黑珠和白珠有一定的规律,即是一个白珠和三个黑珠.解答:解:因为这串珠总共有126个,(126﹣1)÷4=31…1,则最后一个珠子为白颜色.白颜色的珠子共有31+1=32个.

故这串珠子中最后一个珠子是白颜色的,共有32个. 点评:关键是通过归纳与总结,得到其中的规律.

17.观察规律:如图,PM1⊥M1M2,PM2⊥M2M3,PM3⊥M3M4,…,且PM1=M1M2=M2M3=M3M4=…=Mn﹣1Mn=1,那么PMn的长是 (n为正整数).

考点:规律型:图形的变化类;规律型:数字的变化类。 专题:规律型。

分析:先用勾股定理可求出Rt△PM1M2,Rt△PM2M3,Rt△PM3M4等直角三角形的斜边的长,从这些数据中可发现规律,得到PMn的长是.

68

解答:解:在Rt△PM1M2中,∵PM1=M1M2=1,∴用勾股定理有:PM2==. 在Rt△PM2M3中,∵PM2=,M2M3=1,∴用勾股定理有:PM3==

在Rt△PM3M4中,∵PM3=

,M3M4=1,∴用勾股定理有:

PM按此规律可知:4=PM==2. n=.

点评:运用勾股定理进行计算,求出几个直角三角形斜边的长,从这几个数据中发现规律再确定PMn的长.

18.探索规律:右边是用棋子摆成的“H”字,按这样的规律摆下去,摆成第10个“H”字需

要 52 个棋子.

考点:规律型:图形的变化类。 专题:规律型。

分析:图形①用棋子的个数=2×(2×1+1)+1; 图形②用棋子的个数=2×(2×2+1)+2; 图形③用棋子的个数=2×(2×3+1)+3; …

图形⑩用棋子的个数=2×(2×10+1)+10=52个. 故答案为:52.

解答:解:观察图形可知第10个“H”字用棋子的个数=2×(2×10+1)+10=52个.

点评:通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.本题的关键规律为各个图形中两竖行棋子的个数均为2n+1,横行棋子的个数为n.

19.现有各边长度均为1cm的小正方体若干个,按下图规律摆放,则第5个图形的表面积

是 90 cm2.

考点:规律型:图形的变化类。 专题:规律型。

分析:对于找规律的题目首先应找出哪个部分发生了变化,是按照什么规律变化的.

69

解答:解:根据题意可得:每个图形的表面积为最下层正方体的表面积之和;第5个图形中,共5层;从上到下,每层正方体个数为1,3,6,10,15,共35个正方体;其表面积为15×6=90cm2.

点评:本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.

20.正五边形广场ABCDE的周长为2000米.甲,乙两人分别从A,C两点同时出发,沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走,甲的速度为50米/分,乙的速度为46米/分.那么出发后经过 104 分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上. 考点:规律型:图形的变化类。

分析:由正五边形广场ABCDE的周长为2000米,可得其边长为400米; 甲、乙两人分别从A,C两点同时出发时距离是800米,

若甲、乙两人第一次行走在同一条边上时,极有可能此时距离为一条边长400米,此时时间为400÷(50﹣46)=100分.

而就在此时,甲、乙分别在CD、ED中点处,不再同一条边上,需继续前行,则甲至少还需走200米,即4分,此时甲在点D,乙在边DE上,也就是说出发后经过104分钟,甲乙两人第一次行走在同一条边上.

解答:解:因为正五边形广场ABCDE的周长为2000米,则其边长为400米,甲,乙两人分别从A,C两点同时出发时距离是400×2即800米,若甲、乙两人第一次行走在同一条边上时,极有可能此时距离为一条边长400米,此时时间为400÷(50﹣46)=100分.而就在此时,甲、乙分别在CD、ED中点处,不再同一条边上,需继续前行,则甲至少还需走200米,即4分,此时甲在点D,乙在边DE上,也就是说出发后经过104分钟,甲乙两人第一次行走在同一条边上.

点评:这是一道发散性的题.注意反证思想的应用.此题属于追及问题与正五边形知识的综合应用.

解答题

21.(试比较20062007与20072006的大小.为了解决这个问题,写出它的一般形式,即比较nn+1和(n+1)n的大小(为正整数),从分析n=1、2、3、…这些简单问题入手,从中发现规律,经过归纳、猜想出结论:

(1)在横线上填写“<”、“>”、“=”号:

12 < 21,23 < 32,34 > 43,45 > 54,56 > 65,…

(2)从上面的结果经过归纳,可以猜想出nn+1和(n+1)n的大小关系是: 当n≤ 2 时,nn+1 < (n+1)n; 当n> 2 时,nn+1 > (n+1)n;

(3)根据上面猜想得出的结论试比较下列两个数的大小:20062007 > 20072006. 考点:规律型:数字的变化类。

分析:此题中的规律为当n≤2时,nn+1<(n+1)n;当n>2时,nn+1>(n+1)n. 解答:解:(1)12<21,23<32,34>43,45>54,56>65,… (2)当n≤2时,nn+1<(n+1)n;

70

当n>2时,nn+1>(n+1)n; (3)20062007>20072006.

点评:本题是一道找规律的题目,要求学生的通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.解决本题的难点在于找到“<”、“>”的临界点.

22.从1开始,连续的自然数相加,它们的和的倒数情况如下表: (1)根据表中规律,求= .

(2)根据表中规律,则=

(3)

+

+

+

的值是 .

考点:规律型:数字的变化类。

分析:根据上图的几个例子我们可以总结出规律,即根据表中规律,则

=

=

解答:解:(1)按照下表的规律,可以=

(2)根据表中规律,则

=

;X-k-b- 1.-c-o -m

(3)由表中几个式子我们可以得出规律,即

=

=

.所以

71

+++=2(+…)=2()

=

点评:本题属于找规律的题目,另外还需要学生对规律灵活应用.

23.从1开始,连续的奇数相加,它们和的情况如下表: (1)如果n=11时,那么S的值为 121 ;

(2)猜想:用n的代数式表示S的公式为S=1+3+5+7+…+2n﹣1= n2 ; (3)根据上题的规律计算1001+1003+1005+…+2007+2009=

1523081 .

考点:规律型:数字的变化类。

分析:观察图中n与对应S之间的关系可知:当数为n时,S=1+3+5+7+…+2n﹣1,此为等差数列,a1=1,an=2n﹣1. 由等差数列前n项和的公式:S=就可以容易的做此题.

解答:解:(1)当n=11是an=2n﹣1=21 由等差数列前n项和的公式:S=

=

=121

(2)因为a1=1,an=2n﹣1,由等差数列前n项和的公式:S=

=

=n2所以S=1+3+5+7+…+2n﹣1=n2(3)

1001+1003+1005+…+2007+2009可以化为1000×n+(1+3+5+7+…+1007+1009) 由此可知1009=2n﹣1,即n=505.所以

1001+1003+1005+…+2007+2009=1000×505+(1+3+5+7+…+1007+1009)=505000+5052=505000+255025=760025.

点评:本题考查同学们都数字的规律性变化的总结以及前n项和公式的知识.

72

第五章 一元一次方程

5.1一元一次方程 类型一:等式的性质

1.下列说法中,正确的个数是( )

①若mx=my,则mx﹣my=0;②若mx=my,则x=y;③若mx=my,则mx+my=2my;④若x=y,则mx=my. A.1 B.2 C.3 D.4 考点:等式的性质。

分析:利用等式的性质对每个式子进行变形即可找出答案.

解答:解:①根据等式性质1,mx=my两边都减my,即可得到mx﹣my=0; ②根据等式性质2,需加条件m≠0;

③根据等式性质1,mx=my两边都加my,即可得到mx+my=2my; ④根据等式性质2,x=y两边都乘以m,即可得到mx=my; 综上所述,①③④正确; 故选C.

点评:主要考查了等式的基本性质.

等式性质1:等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式; 等式性质2:等式的两边都乘以或者除以同一个数(除数不为零),所得结果仍是等式.

变式:

2.已知x=y,则下面变形不一定成立的是( )

A.x+a=y+a B.x﹣a=y﹣a

C.

D.2x=2y

考点:等式的性质。

分析:答题时首先记住等式的基本性质,然后对每个选项进行分析判断. 解答:解:A、B、D的变形均符合等式的基本性质, C项a不能为0,不一定成立. 故选C.

点评:本题主要考查了等式的基本性质.

等式性质:1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母,等式仍成立;

2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母,等式仍成立.

3.等式

的下列变形属于等式性质2的变形为( )

73

A. B. C.2(3x+1)﹣6=3x D.2(3x+1)﹣x=2

考点:等式的性质。

分析:利用等式的性质对式子进行变形,即可找出正确答案.

解答:解:A、根据等式性质1,等式两边都加2,即可得到该结果,所以A属于等式性质1的变形;

B、根据分数的基本性质对第一项进行变形,所以B不属于等式变形; C、根据等式性质2,等式两边都乘以3,即可得到该结果,所以C正确; D、不属于等式变形; 综上所述,故选C.

点评:本题主要考查等式的性质的运用,运用等式性质2必须注意等式两边所乘的(或除以的)数或式子不为0,且不要漏乘,才能保证所得的结果仍是等式.

类型二:一元一次方程的定义 1.如果关于x的方程是一元一次方程,则m的值为( )

A.

B.3

C.﹣3 D.不存在

考点:一元一次方程的定义。 专题:计算题。

分析:只含有一个未知数(元),并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程,它的一般形式是ax+b=0(a,b是常数且a≠0),高于一次的项系数是0.根据未知数的指数为1可列出关于m的等式,继而求出m的值. 解答:解:由一元一次方程的特点得m=1,

解得m=3. 故选B.

点评:本题主要考查了一元一次方程的一般形式,只含有一个未知数,未知数的指数是1,一次项系数不是0,这是这类题目考查的重点.

变式: 2.若2x3

﹣2k

+2k=41是关于x的一元一次方程,则x= .

考点:一元一次方程的定义。 专题:计算题。

分析:只含有一个未知数(元),并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程,它的一般形式是ax+b=0(a,b是常数且a≠0).根据未知数的指数为1可得出k的值. 解答:解:由一元一次方程的特点得3﹣2k=1,

74

解得:k=1,

故原方程可化为:2x+2=41, 解得:x=. 故填:

点评:本题主要考查了一元一次方程的一般形式,未知数的指数是1,一次项系数不是0,特别容易忽视的一点就是系数不是0的条件.

3.已知3x|n﹣

1|+5=0为一元一次方程,则n= 2或0 . 考点:一元一次方程的定义。 专题:计算题。

分析:若一个整式方程经过化简变形后,只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,系数不为0,则这个方程是一元一次方程.据此可得出关于n的方程,继而可求出n的值.

解答:解:由题意得:3x|n﹣

1|+5=0为一元一次方程, 根据一元一次方程的定义得|n﹣1|=1, 解得:n=2或0. 故填:2或0.

点评:解题的关键是根据一元一次方程的定义,未知数x的次数是1这个条件,此类题目可严格按照定义解题.

4.下列方程中,一元一次方程的个数是 2 个.

(1)2x=x﹣(1﹣x);(2)x2﹣x+=x2+1;(3)3y=x+;(4)=2;(5)

3x﹣=2.

考点:一元一次方程的定义。

分析:若一个整式方程经过化简变形后,只含有一个未知数,并且未知数的次数都是1,系数不为0,则这个方程是一元一次方程.据此分别判断每个式子可得出正确答案. 解答:解:(1)化简后不含未知数,故不是方程; (2)可化为﹣x=﹣1,符合一元一次方程的形式; (3)含有两个未知数,不是一元一次方程; (4)可化为2x=53,符合一元一次方程的形式; (5)分母中含有未知数,不是一元一次方程 综上可得:(2),(4)是一元一次方程. 故填2.

点评:判断一元一次方程,第一步先看是否是整式方程,第二步化简后是否只含有一个未知数,且未知数的次数是1.此类题目可严格按照定义解题.

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类型三:由实际问题抽象出一元一次方程

1.汽车以72千米/时的速度在公路上行驶,开向寂静的山谷,驾驶员揿一下喇叭,4秒后听到回响,这时汽车离山谷多远?已知空气中声音的传播速度约为340米/秒.设听到回响时,汽车离山谷x米,根据题意,列出方程为( ) A.2x+4×20=4×340 B.2x﹣4×72=4×340 C.2x+4×72=4×340 D.2x﹣4×20=4×340

考点:由实际问题抽象出一元一次方程。 专题:行程问题。

分析:首先理解题意找出题中存在的等量关系:汽车离山谷距离的2倍﹣汽车前进的距离=声音传播的距离,根据等量关系列方程即可.

解答:解:设汽车离山谷x米,则汽车离山谷距离的2倍即2x, 因为汽车的速度是72千米/时即20米/秒, 则汽车前进的距离为:4×20米/秒, 声音传播的距离为:4×340米/秒,

根据等量关系列方程得:2x+4×20=4×340, 故选A.

点评:列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系.

2.有m辆客车及n个人,若每辆客车乘40人,则还有10人不能上车,若每辆客车乘43人,则只有1人不能上车,有下列四个等式:①40m+10=43m﹣1;②

④40m+10=43m+1,其中正确的是( )

A.①② B.②④ C.②③ D.③④ 考点:由实际问题抽象出一元一次方程。 专题:应用题。

分析:首先要理解清楚题意,知道总的客车数量及总的人数不变,然后采用排除法进行分析从而得到正确答案.

解答:解:根据总人数列方程,应是40m+10=43m+1,①错误,④正确; 根据客车数列方程,应该为

,②错误,③正确;

所以正确的是③④. 故选D.

点评:此题的关键是能够根据不同的等量关系列方程. 3.某电视机厂10月份产量为10万台,以后每月增长率为5%,那么到年底再能生产( )万台. A.10(1+5%) B.10(1+5%)2

C.10(1+5%)3 D.10(1+5%)+10(1+5%)2 考点:由实际问题抽象出一元一次方程。

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专题:增长率问题。

分析:由题意可知:11月产量为10(1+5%),12月的产量为11月的产量×(1+5%),两个月的产量和即可求.

解答:解:年底再能生产的台数为:10(1+5%)+10(1+5%)2, 故选D.

点评:本应用题解题的关键在于读懂题意,列出相应式子.注意“以后每月增长”的含义.

4.一个数x,减去3得6,列出方程是( ) A.3﹣x=6 B.x+6=3 C.x+3=6 D.x﹣3=6 考点:由实际问题抽象出一元一次方程。 专题:数字问题。

分析:根据题意可直接列方程x﹣3=6,解出即可. 解答:解:根据题意可列方程为:x﹣3=6. 故选D.

点评:列方程的关键是正确找出题目的相等关系,本题是最简单的基础题型.

5.某工程要求按期完成,甲队单独完成需40天,乙队单独完成需50天,现甲队单独做4天,后两队合作,则正好按期完工.问该工程的工期是几天?设该工程的工期为x天.则方程为( ) A.

B. C.

D.

考点:由实际问题抽象出一元一次方程。 专题:工程问题。

分析:关系式为:甲4天的工作量+甲乙合作(x﹣40)天的工作量=1,把相关数值代入即可求解.

解答:解:甲4天的工作量为:;

甲乙合作其余天数的工作量为:,

∴可列方程为:

+

+

=1, 故选D.

点评:找到工作量之间的等量关系解决本题的关键;易错点是得到甲乙合作的工作时间.

6.如图,六位朋友均匀的围坐在圆桌旁聚会.圆桌的半径为80cm,每人离桌边10cm,有后来两位客人,每人向后挪动了相同距离并左右调整位置,使8个人都坐下,每相邻两人之间的距离与原来相邻两人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等.设每

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人向后挪动的距离为xcm.则根据题意,可列方程为:( )

A.

B.

C.2π(80+10)×8=2π(80+x)×10 D.2π(80﹣x)×10=2π(80+x)×8 考点:由实际问题抽象出一元一次方程。 专题:几何图形问题。

分析:首先理解题意找出题中存在的等量关系:坐6个人时两人之间的距离=坐8个人时两人之间的距离,根据等量关系列方程即可.

解答:解:设每人向后挪动的距离为xcm,应首先明确弧长公式:l=

六位朋友每相邻两人之间的弧长所对的圆心角度数为60°,半径为(80+10)cm,即l=

八位朋友每相邻两人之间的弧长所对的圆心角度数为45°,半径为80+10+x,即l=

根据距离相等可列方程为

故选A.

点评:此题应重点注意每相邻两人之间的距离指的是弧长.

7.在一个笼子里面放着几只鸡与几只兔,数了数一共有14个头,44只脚.问鸡兔各有几只设鸡为x只,得方程( ) A.2x+4(14﹣x)=44 B.4x+2(14﹣x)=44

C.4x+2(x﹣14)=44 D.2x+4(x﹣14)=44 考点:由实际问题抽象出一元一次方程。 专题:应用题。

分析:由常识可知鸡有一个头两只脚,兔有一个头四只脚,则由题意可得到鸡和兔共有14只,其等量关系为:鸡的脚数+兔的脚数=44只,根据此等式列方程即可. 解答:解:设鸡为x只,则要鸡有2x只脚,兔有4(14﹣x)只脚, 根据等量关系列方程为 2x+4(14﹣x)=44, 故选A.

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点评:注意本题中的等量关系要和实际生活相联系,本题出的比较好.

8.把一张纸剪成5块,从所得的纸片中取出若干块,每块又剪成5块,如此下去,至剪完某一次后,共得纸片总数N可能是( ) A.1990 B.1991 C.1992 D.1993 考点:由实际问题抽象出一元一次方程。 专题:应用题。

分析:根据剪纸的规律,每一次都是在5的基础上多了4张,则剪了n次时,每次取出的纸片数分别为x1,x2,x3,…,xn块,最后共得纸片总数N,根据数的整除性这一规律可得出答案.

解答:解:设把一张纸剪成5块后,剪纸还进行了n次,每次取出的纸片数分别为x1,x2,x3,…,xn块,最后共得纸片总数N,则 N=5﹣x1+5x1﹣x2+5x2﹣…﹣xn+5xn =1+4(1+x1+x2+…+xn),

又N被4除时余1,N必为奇数, 而1991=497×4+3,1993=498×4+1,

∴故选:N只可能是D.

1993, 点评:此题必须探索出剪n次有的纸片数,然后根据数的整除性规律求得进行判断.

9.某种商品因换季准备打折出售,如果按定价的七五折出售将赔25元,而按定价的九折出售将赚20元,问这种商品的定价是多少设定价为x,则下列方程中正确的是( ) A.x﹣20=x+25B.x+20=

x+25 C.

x﹣25=

x+20

D.

x+25=

x﹣20

考点:由实际问题抽象出一元一次方程。 专题:销售问题。

分析:首先理解题意找出题中存在的等量关系:定价的七五折+25元=定价的九折﹣20元,根据此等式列方程即可.

解答:解:设定价为x,根据按定价的七五折出售将赔25元可表示出成本价为()

元,

按定价的九折出售将赚20元可表示出成本价为:()元.

根据成本价不变可列方程为:

x+25=

x﹣20,

故选D.

点评:要理解定价的七五折即定价的75%,定价的九折即定价的90%.

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10.某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务,实际上该班组每天比计划多生产了6个零件,结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件,若设该班组要完成的零件任务为x个,则可列方程为( )

A.

B.

C.

D.

考点:由实际问题抽象出一元一次方程。

专题:工程问题。

分析:关系式为:零件任务÷原计划每天生产的零件个数﹣(零件任务+120)÷实际每天生产的零件个数=3,把相关数值代入即可求解.

解答:解:实际完成的零件的个数为x+120,实际每天生产的零件个数为50+6, 所以根据时间列的方程为:

=3,

故选C.

点评:根据时间得到相应的等量关系是解决本题的关键,注意应先得到实际的工作总量和工作效率.

5.2一元一次方程的解法 类型一:一元一次方程的解

1.当a=0时,方程ax+b=0(其中x是未知数,b是已知数)( ) A.有且只有一个解 B.无解 C.有无限多个解 D.无解或有无限多个解 考点:一元一次方程的解。

分析:分两种情况进行讨论(1)当a=0,b=0时;(2)当a=0,而b≠0. 解答:解:当a=0,b=0时,方程有无限多个解; 当a=0,而b≠0时,方程无解. 故选D.

点评:本题考查了一元一次方程的解的情况,要分情况讨论在判断.

2.下面是一个被墨水污染过的方程:

,答案显示此方程的解是x=,被

墨水遮盖的是一个常数,则这个常数是( )

A.2

B.﹣2

C.﹣

D.

考点:一元一次方程的解。

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专题:计算题。

分析:设被墨水遮盖的常数为m,将x=代入方程即可求解. 解答:解:设被墨水遮盖的常数为m,则方程为2x﹣=

将x=代入方程得:m=﹣2

故选B.

点评:此题考查的是根据方程的解求出常数,关键在于设出m.

变式:

3.已知a是任意有理数,在下面各题中结论正确的个数是( )

①方程ax=0的解是x=1;②方程ax=a的解是x=1;③方程ax=1的解是x=;④方程|a|x=a的解是x=±1. A.0 B.1 C.2 D.3 考点:一元一次方程的解。

分析:解一元一次方程的步骤有5步:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1,系数化为1时的系数一定不能为0,①②③④都忽略了系数为0的情况. 解答:解:①当a≠0时,x=0,错误;

②当a≠0时,两边同时除以a,得:x=1,错误; ③当a≠0时,两边同时除以a,得:x=,错误;

④当a=0时,x取全体实数,当a>0时,x=1,当a<0时,x=﹣1,错误, 故选C.

点评:本题考查了一元一次方程的解法,注意:当是含字母的系数时,一定要保证系数不为0,才能同时除以这个系数.

4.阅读:关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下:(1)当a≠0时,有唯一解x=;(2)当a=0,b=0时有无数解;(3)当a=0,b≠0时无解.请你根据以上知识作答:已知关于x的方程•a=﹣(x﹣6)无解,则a的值是( ) A.1 B.﹣1 C.±1 D.a≠1 考点:一元一次方程的解。 专题:阅读型。

分析:要把原方程变形化简后再讨论没有解时a的值应该是什么. 解答:解:去分母得:2ax=3x﹣(x﹣6), 去括号得:2ax=2x+6

81

移项,合并得,x=,

因为无解;

所以a﹣1=0,即a=1. 故选A.

点评:此类方程要用字母表示未知数后,清楚什么时候是无解,然后再求字母的取值. 5.如果关于x的方程3x﹣5+a=bx+1有唯一的一个解,则a与b必须满足的条件为( ) A.a≠2b B.a≠b且b≠3 C.b≠3 D.a=b且b≠3 考点:一元一次方程的解。 专题:存在型。

分析:先将方程进行整理,再根据方程有唯一解,确定a、b的关系. 解答:解:整理得:(3﹣b)x=6﹣a, ∵方程3x﹣5+a=bx+1有唯一的一个解, ∴解得3﹣bb≠≠03,, 故选C.

点评:一元一次方程有唯一解的条件:未知数的系数不为0.

6.若方程2ax﹣3=5x+b无解,则a,b应满足( )

A.a≠,b≠3

B.a=,b=﹣3 C.a≠,b=﹣3 D.a=,b≠﹣3

考点:一元一次方程的解。 专题:计算题。

分析:要理解什么情况下才是无解,原方程可化简为x=时,必须2a﹣5=0,b+3≠0;

如果b+3=0,就是有无数解了.

解答:解:由2ax﹣3=5x+b,得(2a﹣5)x=b+3, 欲使方程无解,必须使2a﹣5=0,a=,b+3≠0,b≠﹣3. 故选D.

点评:一元一次方程ax=b的解由a,b的取值来确定: (1)若a≠0,且b≠0,方程有唯一解;

(2)若a=0,且b=0,方程变为0•x=0,则方程有无数多个解; (3)若a=0,且b≠0,方程变为0•x=b,则方程无解.

82

类型二:解一元一次方程 1.x= ﹣3 时,代数式的值比

的值大1.

考点:解一元一次方程。 专题:计算题。 分析:根据题意列方程

=

+1,解答即可. 解答:解:去分母得:4(2x+1)=2(5x﹣1)+12, 去括号得:8x+4=10x﹣2+12, 移项、合并得:﹣2x=6,

方程两边都除以﹣2得:x=﹣3. 故当x=﹣3时,代数式

的值比

的值大1.

点评:本题的关键在于根据题意列出等式,有一定的难度,同学们要注意读准题意.2.当x= 时,代数式x﹣1和

的值互为相反数.

考点:解一元一次方程;相反数。 专题:计算题。

分析:根据相反数的定义列方程解答即可得出x的值. 解答:解:由题意得:方程x﹣1=﹣,

解得:x=.

即当x=时代数式x﹣1和

的值互为相反数.

点评:本题的关键在于根据题意列出方程式,要注意审题,否则很容易出错.

3.解方程

(1)4(x+0.5)=x+7; (2); (3); (4)

考点:解一元一次方程。 分析:(1)此题主要是去括号,合并同类,移项; (2)此题主要是去括号,合并同类项,移项;

(3)等式两边同乘12,去分母,再去括号,移项合并即可;

83

(4)等式两边同乘30去分母,再去括号,移项合并即可. 解答:解:(1)去括号得,4x+2=x+7

移项合并同类项得,3x=5X-k-b-1.-c-o-m

系数化1得,

(2)去括号得,3﹣6x﹣4=

(3)去分母得,4(1﹣y)﹣12y=36﹣3(y+2)

去括号得,4﹣16y=30﹣3y 移项合并同类项得,﹣13y=26 系数化1得,y=﹣2; (4)去分母得,15x﹣10﹣x=15

移项合并同类项得,

点评:规律总结:一元一次方程的解法:一般要通过去分母,去括号,移项,合并同类项,未知数的系数化为1等步骤,把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式.解题时,要灵活运用这些步骤.

5.3一元一次方程的应用 类型一:行程问题

1.某块手表每小时比准确时间慢3分钟,若在清晨4点30分与准确时间对准,则当天上午该手表指示时间为10点50分时,准确时间应该是( ) A.11点10分 B.11点9分 C.11点8分 D.11点7分 考点:一元一次方程的应用。 专题:应用题;行程问题。

分析:根据题意假设该手表从4时30分走到10时50分所用的实际时间为x小时,该手表的速度为57分/小时,再进行计算.

解答:解:该手表实际每小时手表速度为57分钟∕小时,设该手表从4时30分走到10时50分所用的实际时间为x小时.

即57×x=380(也就是6小时20分的时间差), 解得:x=

小时(就是6小时40分)所以准时时间为11时10分.

84

故选A.

点评:本题要注意手表的实际时间和准确时间的关系,然后找出其中关联的等量关系,得出方程求解.

2.一队学生去校外参加劳动,以4km/h的速度步行前往,走了半小时,学校有紧急通知要传给队长,通讯员以14km/h的速度按原路追上去,则通讯员追上学生队伍所需的时间是( ) A.10min B.11min C.12min D.13min 考点:一元一次方程的应用。 专题:行程问题。

分析:根据题意知道本题是追及问题,根据等量关系:路程=速度×时间,路程一定,列出方程式求解即可得出答案.

解答:解:设通讯员追上学生队伍所需时间为xh, 学生在半个小时内所走的路程=速度×时间=4×0.5=2km, 在通讯员所走的x小时内,学生同样也在走x小时, 则学生走的路程=4×x=4x,通讯员走的路程=14×x=14x, 根据学生走的总路程和通讯员所走的路程相等, 得出:2+4x=14x, 解得x=0.2.

即为0.2小时,为12min. 故选C.

点评:本题考查了一元一次方程的应用,关键是要找到等量关系,根据等量关系代入相关的数据计算方程的解即可.

3.某人以3千米每小时的速度在400米的环形跑道上行走,他从A处出发,按顺时针方向走了1分钟,再按逆时针方向走3分钟,然后又按顺时针方向走7分钟,这时他想回到出发地A处,至少需要的时间是( )分钟. A.5 B.3 C.2 D.1 考点:一元一次方程的应用。 专题:行程问题。

分析:根据所学的正负数的意义判断出他离出发点的最少距离,除以速度即为最少需几分钟.

解答:解:3千米每小时=50米/分.

设A为原点,按顺时针方向记为正,那么按逆时针方向走则为负. ∴他此时离出发的距离为:[1+(﹣3)+7]×50=250米, ∵环形跑道长为400米,

∴回到原点最短距离为:400﹣250=150米, ∴故选需要的时间为:B.

150÷50=3分.

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点评:出现两个相反的量时,一般应采用正负数表示不容易出差错;需注意本题是在环形跑道上,难点是找到回到原点的最短距离.

4.一艘轮船从A港到B港顺水航行,需6小时,从B港到A港逆水航行,需8小时,若在静水条件下,从A港到B港需( )

A.7小时

B.7小时 C.6小时 D.6小时

考点:一元一次方程的应用。 专题:行程问题。

分析:此题要注意,顺水速度=静水速度+水速,逆水速度=静水速度﹣水速,若设静水行完全程需t小时,把整个路程看做单位1,则可知道:从A港到B港顺水航行时水速为﹣,从B港到A港逆水航行时水速为﹣,列方程即可解得. 解答:解:设静水行完全程需t小时. 则﹣=﹣ 解得:t=

故选C.

点评:此题要有单位1的观点,要掌握顺水、逆水速度公式,可以扩展到顺风、逆风问题.

5.轮船沿江从A港顺流行驶到B港,比从B港返回A港少用3小时,若船速为26千米/小时,水速为2千米/时,问A港和B港相距多少千米? 考点:一元一次方程的应用。 专题:行程问题。

分析:轮船航行问题中的基本关系为:

(1)船的顺水速度=船的静水速度+水流速度;

(2)船的逆水速度=船的静水速度一水流速度.若设A港和B港相距x千米,则从A港顺流行驶到B港所用时间为

小时,从B港返回A港用

小时,根据题意列方程

求解.

解答:解:设A港和B港相距x千米. 根据题意,得

解之得x=504.

点评:本题的相等关系,逆流航行时间﹣顺流航行时间=3.注意:船的顺水速度、逆水速度、静水速度、水流速度之间的关系.

6.一天小慧步行去上学,速度为4千米/小时.小慧离家10分钟后,天气预报说午后有阵

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雨,小慧的妈妈急忙骑自行车去给小慧送伞,骑车的速度是12千米/小时.当小慧的妈妈追上小慧时,小慧已离家多少千米? 考点:一元一次方程的应用。 专题:应用题;行程问题。

分析:本题中存在的相等关系是:妈妈所走的路程=小慧所走的路程.依此列方程求解即可.

解答:解:设小慧的妈妈追上小慧时用了x分钟, 则小慧的妈妈追上小慧时走的路程是(12÷60)•x, 小慧每分钟走(4÷60)千米, 根据题意列方程得:(10+x)×(4÷60)=(12÷60)•x, 解得x=5(分钟),

则小慧已离家(10+x)×(4÷60)=1千米

当小慧的妈妈追上小慧时,小慧已离家1千米.

点评:解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.

7.摄制组从A市到B市有一天的路程,计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭.由于堵车,中午才赶到一个小镇,只行驶了原计划的三分之一,过了小镇,汽车赶了400千米,傍晚才停下来休息.司机说,再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了.问A、B两市相距多少千米? 考点:一元一次方程的应用。 专题:行程问题。

分析:可以设AB两市相距x千米,根据题目的叙述用x表示出DE的长,即可求得. 解答:解:设AB两市相距x千米, 则由题可知:CA=x+50千米 BC=x﹣50千米 ∴BE=BC=x﹣km CE=BC=x﹣

km

AD=AC=(x+50)=x+

DE=AB﹣AD﹣BE=x﹣(x+)﹣(x﹣

)=x,

∵DE=400,∴400=x ∴x=600(km)

87

故AB两地相距600千米.

点评:本题的难度较大,能够正确利用x表示出DE的长度是解题关键.

8.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问过多少分钟,货车追上了客车. 考点:一元一次方程的应用。 专题:行程问题。

分析:设小轿车速度为a,货车为b,客车为c,某一刻的相等间距为m,则

=10①,

=10+5②,可得到2(10c﹣10a)=15c﹣15b,求得c与a,b之间的关系式,代入货车追客车所得到的路程之间的相等关系中,即可求得时间.

解答:解:设小轿车速度为a,货车为b,客车为c,某一刻的相等间距为m,则

=10①,

=10+5②,

化简可得:2(10c﹣10a)=15c﹣15b, 所以:c=4a﹣3b,

假设再过t分钟,货车追上客车, 则10c﹣10a=(15+t)(a﹣b), 15+t=10(c﹣a)÷(a﹣b), 将c代入15+t=10×3=30, 解得:t=15.

所以再过15分钟,货车追上了客车.

点评:解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.要注意本题中的时间和路程之间的关系较复杂,要理清思路,找到它们之间的路程倍数关系和时间之间的关系,用路程之间的关系作为等量关系求解.

9.某人乘船由A地顺流而下到B地,然后又逆流而上到C地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度是每小时8千米,水流速度是每小时2千米,已知A,B,C三地在一条直线上,若A、C两地距离为2千米,求A、B两地之间的距离. 考点:一元一次方程的应用。 专题:行程问题。

分析:此题的关键是公式:顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度﹣水流速度,设未知数,列方程求解即可.

解答:解:设A.B两地之间的距离为x千米,

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当C在AB的延长线上时: 则

=3

解得x=﹣40不合实际意义应舍去. 当C在线段AB上时: 则

+

=3

解得x=12.5

当C在AB的反向延长线上时:

+

=3

解得:x=10

则A、B两地之间的距离是12.5或10千米.

点评:解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,正确对三地的位置关系进行分类,是解决本题的关键.

类型二:调配问题

一队民工参加工地挖土及运土,平均每人每天挖土5方或运土3方,如果安排24人来挖土及运土,那么要安排多少人运土,才能恰好使挖出的土及时运走. 考点:一元一次方程的应用。 专题:工程问题。

分析:通过理解题意可知本题的等量关系:挖出的土=运走的土.根据这个等量关系,可列出方程组,再求解.

解答:解:设安排x人运土,则有(24﹣x)人挖土. 根据题意得:5(24﹣x)=3x, 解得:x=15.

答:那么要安排15人运土,才能恰好使挖出的土及时运走.

点评:本题考查一元一次方程的应用,关键在于找出题目中的等量关系,根据等量关系列出方程解答.

类型三:工程效率问题

1.甲、乙两人完成一项工作,甲先做了3天,然后乙加入合作,完成剩下的工作,设工作总量为1,工作进度如右表:则完成这项工作共需( ) 天数 第3天 第5天 工作进度

89

A.9天 B.10天 C.11天 D.12天 考点:一元一次方程的应用。 专题:图表型。

分析:此题是工程问题,把此工作分段进行分析,甲自己做了3天做了,则可知道甲自己做需要3÷=12天,再用方程求出各自做完需要的时间,利用工作量=工作时间×工作效率求剩余时间,而后即可求得总时间.

解答:解:设已自己做需x天,甲自己做需3÷=12天, 根据题意得,2(+)=﹣

解得x=24 则还需÷(

+

)=4天 所以完成这项工作共需4+5=9天 故选A. 点评:此题是典型的工程问题,需要特别注意的是把问题分段分析,分清每段的情况即可.

2.一件工作,甲单独做需6天完成,乙单独做需12天完成,若甲,乙一起做,则需多少天完成?

考点:一元一次方程的应用。 专题:工程问题。

分析:本题就是把总的工作看成整体1.甲单独做需6天完成即甲一天完成工作的,同理乙一天完成工作的

,设甲,乙一起做,则需x天完成,题目中的相等关系是:甲,乙

一起做x天的工作=总工作1.就可以列方程. 解答:解:设需x天完成, 则x(+

)=1,

解得x=4,

故需4天完成.

点评:列方程解应用题的关键是正确找出题目中的相等关系,用代数式表示出相等关系中的各个部分,把列方程的问题转化为列代数式的问题.本题关键是理解:甲单独做需6天完成即甲一天完成工作的. 类型四:银行利率问题

1.银行教育储蓄的年利率如下表:

90

一年期 二年期 三年期 2.25 2.43 2.70 小明现正读七年级,今年7月他父母为他在银行存款30000元,以供3年后上高中使用.要使3年后的收益最大,则小明的父母应该采用( ) A.直接存一个3年期

B.先存一个1年期的,1年后将利息和自动转存一个2年期 C.先存一个1年期的,1年后将利息和自动转存两个1年期 D.先存一个2年期的,2年后将利息和自动转存一个1年期 考点:一元一次方程的应用。 专题:图表型。

分析:本题可分别计算几种情况下的收益,进行对比再作选择,应计算的各种情况如下:直接存一个3年期的收益;先存一个1年期的,1年后将利息和自动转存一个2年期的收益;先存一个1年期的,1年后将利息和自动转存两个1年期的收益;先存一个2年期的,2年后将利息和自动转存一个1年期的收益.

解答:解:直接存一个3年期的收益是:3×30000×2.70%=2430元;

先存一个1年期的,1年后将利息和自动转存一个2年期的收益是:30000×2.25%+2×(30000+30000×2.25%)×2.43%=2165.805元;

先存一个1年期的,1年后将利息和自动转存两个1年期的收益是: 30000×2.25%+(30000+30000×2.25%)×2.25%=1365.1875 (1365.1875+30000)×2.25%+1365.1875≈2091元;

先存一个2年期的,2年后将利息和自动转存一个1年期的收益是:2×30000×2.43%+(30000+2×30000×2.43%)2.25%=2165.805元;

∴故选直接存一个A.

3年期3年后的收益最大,小明的父母应该采用直接存一个3年期. 点评:正确用代数式表示出各种情况的收益是解决的关键.

类型五:销售问题

1.某商场出售某种电视机,每台1800元,可盈利20%,则这种电视机进价为( ) A.1440元 B.1500元 C.1600元 D.1764元 考点:一元一次方程的应用。 专题:销售问题。

分析:根据等量关系:进价×(1+盈利率)=售价,列出方程. 解答:解:设这种电视机进价为x元, 根据题意得:(1+20%)x=1800 解之得:x=1500 故选B.

点评:考查了一元一次方程的应用,此题中的等量关系:进价×(1+盈利率)=售价.

91

2.某商品降价20%后出售,一段时间后欲恢复原价,则应在售价的基础上提高的百分数是( ) A.20% B.30% C.35% D.25% 考点:一元一次方程的应用。 专题:销售问题。

分析:要求应在售价的基础上提高的百分数,就要先设出求知数x,再根据题意列出方程求解.题中的等量关系为:降价20%后经过提价=原价.此题要把原价看作单位1. 解答:解:设应提价x,那么可得出方程为:(1﹣20%)(1+x)=1, 解得:x=25%. 故选D.

点评:解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.

3.一家商店将某型号空调先按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果被工商部门发现有欺诈行为,为此按每台所得利润的10倍处以2700元的罚款,则每台空调原价为( ) A.1350元 B.2250元 C.2000元 D.3150元 考点:一元一次方程的应用。 专题:销售问题。

分析:根据题意,每台所得利润为2700÷10=270,利润=售价﹣原价,设原价是x元,则根据题意可列方程求解.

解答:解:设原价是x元, 由题意得:(x+0.4x)×0.8﹣x=2700÷10, 解得:x=2250 故选B.

点评:解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.

4.某个体商贩在一次买卖中,同时卖出两件上衣,售价都是135元,若按成本计,其中一件盈利25%,另一件亏本25%,在这次买卖中他( ) A.不赚不赔 B.赚9元 C.赔18元 D.赚18元 考点:一元一次方程的应用。 专题:销售问题。

分析:要知道赔赚,就要先算出两件衣服的原价,要算出原价就要先设出未知数,然后根据题中的等量关系列方程求解.

解答:解:设在这次买卖中原价都是x, 则可列方程:(1+25%)x=135 解得:x=108

比较可知,第一件赚了27元

92

第二件可列方程:(1﹣25%)x=135 解得:x=180,

比较可知亏了45元,

两件相比则一共亏了18元. 故选C.

点评:此题的关键是先算出两件衣服的原价,才能知道赔赚.不可凭想象答题.

5.新华书店销售甲、乙两种书籍,分别卖得1560元和1350元,其中甲种书籍盈利25%,而乙种书籍亏本10%,则这一天新华书店共盈亏情况为( ) A.盈利162元 B.亏本162元

C.盈利150元 D.亏本150元 考点:一元一次方程的应用。 专题:销售问题。 分析:可设甲、乙两种书籍的进价分别为x元和y元,根据甲乙书籍的盈亏状况列出方程,求解即可.

解答:解:设甲、乙两种书籍的进价分别为x元和y元,则(1+25%)x=1560, 解得x=1248(元); (1﹣10%)y=1350, 解得y=1500(元).

而(1560+1350)﹣(1248+1500)=162,

所以这一天新华书店共盈亏情况为盈利162元. 故选A.

点评:本题考查一元一次方程的应用,关键在于找出题目中的等量关系,根据等量关系列出方程解答.

类型六:经济问题

1.一杯可乐售价1.8元,商家为了促销,顾客每买一杯可乐获一张奖券,每三张奖券可兑换一杯可乐,则每张奖券相当于( ) A.0.6元 B.0.5元 C.0.45元 D.0.3元 考点:一元一次方程的应用。 专题:应用题。

分析:由题意,一杯可乐的实际价格=可乐的价格﹣奖券的价格.3张奖券的价格=一杯可乐的实际价格,因而设奖券的价格为x元由此可列方程求解. 解答:解:设每张奖券相当于x元,根据题意得:3x=1.8﹣x, 解得:x=0.45. 故选C.

点评:解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.

93

2.某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法: (1)一次购买金额不超过1万元的不予优惠;

(2)一次购买金额超过1万元,但不超过3万元的九折优惠;

(3)一次购买金额超过3万元,其中3万元九折优惠,超过3万元的部分八折优惠.某厂因库存原因,第一次在该供应商处购买原料付款7800元,第二次购买付款26100元. 如果他是一次性购买同样的原料,可少付款( ) A.1170元 B.1540元 C.1460元 D.2000元 考点:一元一次方程的应用。 专题:优选方案问题;经济问题。

分析:此题文字较多,所以要认真读懂题意.从文中“第二次购买付款26100元”.根据优惠办法,可求第二次购买实款,从而求出两次购买实款.按照方案(3)计算一次性购买时的付款,求差额.

解答:解:设第二次购买实款为x元,根据优惠办法,则90%•x=26100,解得x=29000. 两次购买实款为29000+7800=36800.

则如一次性购买则可少付(26100+7800)﹣30000×90%﹣6800×80%=1460元. 故选C.

点评:此题涉及的问题较多,学生考虑要全面,所以做此题学生重在细心.

3.收费标准如下:用水每月不超过6m3,按0.8元/m3收费,如果超过6m3,超过部分按1.2元/m3收费.已知某用户某月的水费平均0.88元/m3,那么这个用户这个月应交水费为( ) A.6.6元 B.6元 C.7.8元 D.7.2元 考点:一元一次方程的应用。ww w. x k b1 .co m 专题:应用题;经济问题。

分析:本题中,可直接设这个月应交水费为x元,那么等量关系是所用水量不变.所用水量有两种表示方法:由用水每月不超过6m3,按0.8元/m3收费,如果超过6m3,超过部分按1.2元/m3收费,可表示出用水量为(+6)m3,由水费平均0.88元/m3,可

表示出用水量为

m3.亦可间接设所用水量为ym3,根据总水费不变列出方程.

解答:解:方法一:设这个月应交水费为x元,根据题意得

+6=

解之得x=6.6.

方法二:设所用水量为ym3,根据题意得 6×0.8+1.2(y﹣6)=0.88y, 解之得:y=7.5.

那么这个用户这个月应交水费为0.88y=6.6元.

94

故选A.

点评:本题考查一元一次方程的应用,关键在于找出题目中的等量关系,根据等量关系列出方程解答.

4.某商场五一期间举行优惠销售活动,采取“满一百元送二十元,并且连环赠送”的酬宾方式,即顾客每消费满100元(100元可以是现金,也可以是购物券,或二者合计)就送20元购物券,满200元就送40元购物券,依次类推,现有一位顾客第一次就用了16 000元购物,并用所得购物券继续购物,那么他购回的商品大约相当于它们原价的( ) A.90% B.85% C.80% D.75% 考点:一元一次方程的应用。 专题:应用题;经济问题。

分析:这位顾客付的钱数是16 000元;即其所购买的商品的价值是16 000元,根据题意因而可以设他购回的商品大约相当于它们原价的百分比是x.则根据题意可得方程,解即可得答案.

解答:解:根据题意:这位顾客付的钱数是16 000元;

这位顾客所购买的商品的价值是16 000元,赠送的购物券的金额是16 000×=3200元,

赠送的购物券是:3200×20%=640元,640元赠送的购物券是600×

=120元,再送购物

券20元,

因而用16 000元购买的商品的价值是16 000+3200+640+120+20=19 980元.因而可以设他购回的商品大约相当于它们原价的百分比是x. 则得方程:19 980x=16 000, 解得:x≈0.8=80%. 故选C.

点评:本题解决的关键是正确理解优惠活动的方式,正确计算出购买的产品的价值.

5.某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的80%出售,同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券.(奖券购物不再享受优惠)

消费金额x的范围(元) 200≤x<400 400≤x<500 500≤x<700 … 获得奖券的金额(元) 30 60 100 … 根据上述促销方法,顾客在该商场购物可获得双重优惠,如果胡老师在该商场购标价450元的商品,他获得的优惠额为 120 元. 考点:一元一次方程的应用。 专题:经济问题。

分析:此题等量关系:优惠额=标价的折数+奖券的金额.

解答:解:胡老师获得的优惠额为450×(1﹣80%)+30=120元, 故填“120”.

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点评:解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出式子,再求解.

6.某地规定:对于个体经营户每月所获得的利润必须缴纳所得税,纳税比例见下表.

(1)经营服装的王阿姨某月获得利润6.5万元,问应纳税多少元?

(2)个体快餐店老板张先生某月缴税4120元,问这个月税前获得的利润是多少元? 考点:一元一次方程的应用。 专题:经济问题。 分析:(1)由于王阿姨某月获得利润6.5万元,由题中所给信息可知,她应该纳税为: 5000×0.05+5000×0.1+20000×0.2+20000×0.3+(65000﹣50000)×0.35

(2)超过5000的需纳税5000×0.05=250;超过10000的需纳税:250+5000×0.1=750;超过30000的需纳税:250+500+20000×0.2=4750;因为个体快餐店老板张先生某月缴税4120元,所以他有缴纳5%的部分,

还有10%的部分,还有20%的部分,故由题意可列出关于x的一元一次方程,解出x的值即可.

解答:解:(1)∵王阿姨某月获得利润6.5万元 ∴5000由题意可知,她应该纳税为:×0.05+5000×0.1+20000×0.2+20000

×0.3+(65000﹣50000)×0.35=16000(元) 故王阿姨应纳税16000元.

(2)设他这个月税前获得的利润为x元,

∵超过5000的需纳税5000×0.05=250;超过10000的需纳税:250+5000×0.1=750;超过30000的需纳税:250+500+20000

×0.2=4750;张先生某月缴税4120元 ∴说明他有缴纳5%的部分,还有10%的部分,还有20%的部分 ∴5000可列出等量关系式:×0.05+5000×0.1+(

x﹣10000)×0.2=4120 解得x=26850

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故他这个月税前获得的利润为26850元.

点评:本题主要考查了一元一次方程在经济问题中的运用;解题的关键是读懂题给纳税表的含义,找到合适的等量关系.

7.某股票市场,买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费、以A市股的股票交易为例,除成本外还要交纳:

①印花税:按成交金额的0.1%计算; ②过户费:按成交金额的0.1%计算;

③佣金:按不高于成交金额的0.3%计算(本题按0.3%计算),不足5元按5元计算, 例:某投资者以每股5、00元的价格在沪市A股中买入股票“金杯汽车”1000股,以每股5.50元的价格全部卖出,共盈利多少? 解:直接成本:5×1000=5000(元); 印花税:(5000+5.50×1000)×0.1%=10.50(元); 过户费:(5000+5.50×1000)×0.1%=10.50(元); ∵总支出:31.50>55000+10.50+10.50+31.50=5052.50,∴佣金为31、50元、

(元) 总收入:5.50×1000=5500(元) 问题:

(1)小王对此很感兴趣,以每股5、00元的价格买入以上股票100股,以每股5、50元的价格全部卖出,则他盈利为 _________ 元;

(2)小张以每股a(a≥5)元的价格买入以上股票1000股,股市波动大,他准备在不亏不盈时卖出、请你帮他计算出卖出的价格每股是 _________ 元(用a的代数式表示),由此可得卖出价格与买入价格相比至少要上涨 _________ %才不亏(结果保留三个有效数字);

(3)小张再以每股5、00元的价格买入以上股票1000股,准备盈利1000元时才卖出,请你帮他计算卖出的价格每股是多少元.(精确到0.01元) 考点:一元一次方程的应用。 分析:(1)当佣金小于等于5时,盈亏=股票卖价×股票数量﹣股票买价×股票数量﹣(总成本+总收入)×0.1%﹣(总成本+总收入)×0.1%﹣(总成本+总收入)×0.1%﹣5,把相关数值代入即可求解;

(2)易得佣金大于5,0=股票卖价×股票数量﹣股票买价×股票数量﹣(总成本+总收入)×0.1%﹣(总成本+总收入)×0.1%﹣(总成本+总收入)×0.1%﹣(总成本+总收入)×0.3%,把相关数值代入即可求解;

(现价﹣原价)÷原价即为所求的百分比;

(3)当佣金大于5时,盈亏=股票卖价×股票数量﹣股票买价×股票数量﹣(总成本+总收入)×0.1%﹣(总成本+总收入)×0.1%﹣(总成本+总收入)×0.1%﹣(总成本+总收入)×0.3% 解答:解:(1)∵5×100×0..3%=1.5<5,∴佣金为5元,

5.5×100﹣5×100﹣(5.5×100+5×100)×0.1%﹣(5.5×100+5×100)×0.1%﹣5=42.9;

97

(2)∵a≥5,

∴5×1000×0..3%=15>5,所以,可以直接用公式计算佣金. 设卖价为x. 1000x﹣1000×a﹣(1000x+1000a)×0.1%﹣(1000x+1000a)×0.1%﹣(1000x+1000a)×0.3%=0,解得x=

a,

增长的百分率为(a﹣a)÷a≈1.01%;

(设卖出的价格每股是3)∵5×1000×0..3%=15x元,依题意得>5,∴可以直接用公式计算佣金,

1000x﹣1000×5.00﹣(1000x+1000×5.00)×0.1%﹣(1000x+1000×5.00)×0.1%﹣(1000x+1000×5.00)×0.3%=1000, 解之得:x≈6.05(元)

答:卖出的价格是每股6.05元.

点评:找到佣金小于或等于5以及大于5时盈亏的等量关系是解决本题的关键.

98

数据与图表

条形统计图与折线统计图 类型一:折线统计图

1.某市股票在七个月之内增长率的变化状况如图所示.从图上看出,下列结论不正确的是( ) A.2~6月份股票月增长率逐渐减少

B.7月份股票的月增长率开始回升 C.这七个月中,每月的股票不断上涨 D.这七个月中,股票有涨有跌 考点:折线统计图。

分析:解决本题需要从统计图获取信息,由此关键是

明确图表中数据的来源及所表示的意义,依据所示的实际意义获取正确的信息.

解答:解:由折线统计图可知2~6月份股票月增长率逐渐减少,7月份股票的月增长率开始回升,这七个月中,股票的增长率始终是正数,则每月的股票不断上涨,所以A、B、C都正确,错误的只有D. 故选D.

点评:本题考查折线统计图的运用,折线统计图表示的是事物的变化情况,注意在图形中纵轴表示的是增长率,只有增长率是负数,才表示股票下跌.

类型二:条形统计图

2.某公司对职员的文化素质考核成绩进行统计分析,各分数段的人数如图所示,考核采用10分制(分数为整数),若得分在5分以上算合格,那么这次考核该公司职员合格的百分率是 76% . 考点:条形统计图。

分析:总人数:4+8+10+16+12=50,合格人数:10+16+12=38,再计算合格率. 解答:解:合格率为:

×100%=76%.

点评:求出总人数,合格人数,是求合格率的关键.

扇形统计图 类型一:扇形统计图

1.根据下面的两个统计图,下列说法正确的是( ) A.一中的学生喜欢运动,三中的学生喜欢学习

B.一中喜欢足球的人数与三中喜欢数学的人数相等

99

C.三中喜欢自然的学生与一中喜欢排球的人数相等 D.以上答案都不正确 考点:扇形统计图。 专题:图表型。

分析:扇形统计图能反映各部分所占的比例,而两个图形中事件的总体不同,不能确定具体每组的人数,据此即可作出判断.

解答:解:因为两个扇形统计图的总体未知,所以A、B、C都错误. 故选D.

点评:本题考查的是扇形图的定义.在扇形统计图中,各部分占总体的百分比之和为1,每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比.

变式:

2.某出版局2004年在图书、杂志和报纸出版物中,杂志数目占总数目的10%;而在2003年,该出版局三类刊物出版印数如图.关于2004年杂志数与2003年的杂志数相比,下列说法正确的是( ) A.扩大 B.减少 C.相等 D.不能判定 考点:扇形统计图。

分析:因为各自总体的未知性,所以无法作出判断.

解答:解:因为2004年出版物的总数目与2003年出版物的总数目不一定相同,所以也无法判断2004年杂志数与2003年的杂志数的增减,故选D.

点评:扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小,在比较各部分的大小时,必须在总体相同的情况下才能做比较.

3.甲、乙两户居民家庭全年支出的费用都设计成扇形统计图.且知甲、乙两户食品支出费用分别占全年支出费用的31%、34%,下面对食品支出费用判断正确的是( ) A.甲户比乙户多 B.乙户比甲户多 C.甲、乙两户一样多 D.无法确定哪一户多 考点:扇形统计图。

分析:由分析可知:扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小,如果甲、乙两家全年支出的费用相等,则乙户比甲户多;如果甲、乙两家全年支出的费用不确定,则无法确定哪一户多.

解答:解:由分析可知:扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小, 如果甲、乙两家全年支出的费用相等,则乙户比甲户多;

如果甲、乙两家全年支出的费用不确定,则无法确定哪一户多. 故选(D).

点评:本题考查的是扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.但其不反映具体的数量.

100

图形的初步认识

几何图形 类型一:认识立体图形

1.将一个小立方块作为基本单元,将10个基本单元排成“长条”,再用10个“长条”叠加起来组成一个长方体,最后用10个长方体构成一个“正方体”,则10个这样的“正方体”共有小正方块( )

A.102个 B.103个 C.104个 D.105个 考点:认识立体图形。

分析:根据题意,知每一个“长条”有10个小正方块,则10个“长条”叠加起来组成一个长方体时,有10×10个小正方块,用10个长方体构成一个“正方体”时,有10×10×10个小正方块,10个这样的“正方体”共有小正方块10×10×10×10个. 解答:解:根据题意,得

10个这样的“正方体”共有小正方块10×10×10×10=104个. 故选C.

点评:此题要逐步求出每个立体图形所需要的小正方块的个数.

变式:

2.有一个正方体,将它的各个面上分别标上字母a,b,c,d,e,f.有甲,乙,丙三个同学站在不同的角度观察,结果如图.问这个正方体各个面上的字母各是什么字母?即: a对面是 e ; b对面是 d ; c对面是 f ; d对面是 b ; e对面是 a ; f对面是 c .

考点:认识立体图形。

分析:从前2个图形看,和a相邻的有f,d,b,c,那么和它相对的就是e,按照相邻和所给图形得到其他即可.

解答:解:根据三个图形的数字,可推断出来,a对面是e;b对面是d;c对面是f;d对面是b;e对面是a;f对面是c.

点评:本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力,也可动手操作得到.

类型二:点、线、面、体

1.观察下图,把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的立体图形是( )

101

A. B. C. D.

考点:点、线、面、体。

分析:根据面动成体的原理以及空间想象力即可解.

解答:解:由图形可以看出,左边的长方形的竖直的两个边与已知的直线平行,因而这两条边旋转形成两个柱形表面,因而旋转一周后可能形成的立体图形是一个管状的物体. 故选D.

点评:命题立意:考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题,解决问题的能力.

线段、射线和直线 类型一:直线、射线、线段 1.如图,共有线段( )

A.3条 B.4条 C.5条 D.6条 考点:直线、射线、线段。

分析:根据在一直线上有n点,一共能组成线段的条数的公式:,代入可直接

选出答案.

解答:解:线段AB、AC、AD、BC、BD、CD共六条,也可以根据公式计算,=6,

故选D.

点评:在线段的计数时,应注重分类讨论的方法计数,做到不遗漏,不重复.

2.平面内有三条直线,它们的交点个数可能有( )种情形. A.2 B.3 C.4 D.5 考点:直线、射线、线段。

分析:直线的位置关系不明确,应分情况讨论. 解答:解:当三条直线平行时,交点个数为0; 当三条直线相交于1点时,交点个数为1;

当三条直线中,有两条平行,另一条分别与他们相交时,交点个数为2; 当三条直线互相不平衡时,交点个数为3; 所以,它们的交点个数有4种情形.故选C.

点评:本题涉及直线相交的相关知识,难度中等.

102

3.平面上有三个点,若过两点画直线,则可以画出直线的条数为 1或3 条. 考点:直线、射线、线段。 专题:分类讨论。 分析:分平面内的三点可能在一条直线上,也可能不在一条直线上,分几种情况进行讨论. 解答:解:当三点在同一条直线上时,可以画1条直线; 当三点不在同一直线上时,可以画3条.

故平面上有三个点,若过两点画直线,则可以画出直线的条数为1或3条. 点评:能够注意到分情况进行讨论是解题的关键.

4.平面内有A、B、C、D四个点,可以画 1或4或6 条直线. 考点:直线、射线、线段。 专题:分类讨论。

分析:根据直线的定义分析即可得出答案.

解答:解:若A、B、C、D共线,则可画1条直线

若四点中至多只有2点在同一条直线上,则可画6条线段

根据题意,平面内有A、B、C、D四个点,故可组成直线AB,直线BC,直线CD,直线BD,直线AC,直线AD六条直线.

若四点中有三点共线,则同理,可作4条线段; 故答案为:1或4或6.

点评:本题比较简单,主要是考查直线的相关基本知识.

5.如图,能用图中字母表示的射线有 5 条.

考点:直线、射线、线段。

分析:结合图形,根据射线的概念和表示方法进行分析.

解答:解:图中可以表示的射线有AC、CB、CD,DB,BD5条. 点评:此题考查了射线的概念和射线的表示方法.

线段的长短比较 填空题

1.如果线段AB=5cm,BC=3cm,且A,B,C三点在同一条直线上,那么A,C两点之间的距离是 8cm或2cm .

103

考点:两点间的距离。

专题:计算题;分类讨论。

分析:本题没有给出图形,在画图时,应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能,再根据正确画出的图形解题.当点C在AB之间时,AC=AB﹣BC;当点C在点B的右侧时,AC=AB+BC.

解答:解:当点C在AB之间时,AC=AB﹣BC=5﹣3=2cm; 当点C在点B的右侧时,AC=AB+BC=5+3=8cm.故填8或2.

点评:在未画图类问题中,正确画图很重要.本题渗透了分类讨论的思想,体现了思维的严密性.在今后解决类似的问题时,要防止漏解. 2.(株洲)已知A、B、C三点在同一条直线上,M、N分别为线段AB、BC的中点,且AB=60,BC=40,则MN的长为 10或50 . 考点:比较线段的长短。 专题:分类讨论。

分析:画出图形后结合图形求解. 解答:解:(1)当C在线段AB延长线上时, ∵M、N分别为AB、BC的中点, ∴BM=AB=30,BN=BC=20;

MN=50. (2)当C在AB上时,同理可知BM=30,BN=20, ∴所以MN=10MN=50;

或10.

点评:本题考查线段中点的定义,比较简单,注意有两种可能的情况;解答这类题目,应考虑周全,避免漏掉其中一种情况. 3.(2006•哈尔滨)已知点O在直线AB上,且线段OA的长度为4cm,线段OB的长度为6cm,E、F分别为线段OA、OB的中点,则线段EF的长度为 1或5 cm. 考点:比较线段的长短。 专题:分类讨论。

分析:根据题意,画出图形,此题分两种情况:

104

(1)点O在点A和点B之间(如图①),则EF=OA+OB; (2)点O在点A和点B外(如图②),则EF=OB﹣OA. 解答:解:如图,(1)点O在点A和点B之间,如图①, 则EF=OA+OB=5cm;

(2)点O在点A和点B外,如图②, 则EF=OB﹣OA=1cm.

∴点评:线段EF此题考查线段中点的定义及线段长的求法.利用中点性质转化线段之间的倍分关系的长度为1cm或5cm.

是解题的关键.

4.已知点B在直线AC上,线段AB=8cm,AC=18cm,p、Q分别是线段AB、AC的中点,则线段PQ= 13cm或5cm . 考点:比较线段的长短。 专题:分类讨论。

分析:本题没有给出图形,在画图时,应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能,再根据正确画出的图形解题.

解答:解:当点C在点A左侧时,AP=AC=9,AQ=AB=4,

∴PQ=AQ+AP=9+4=13cm.

当点C在点B右侧时,AP=AB=4cm,BC=AC﹣AB=10cm,AQ=,AC=9,PQ=AQ﹣AP=9﹣4=5cm.

故答案为13cm或5cm.

点评:在未画图类问题中,正确画图很重要,本题渗透了分类讨论的思想,体现了思维的严密性.在今后解决类似的问题时,要防止漏解.

5.若线段AB=10cm,在直线AB上有一个点C,且BC=4cm,M是线段AC的中点,则AM= 3或7 cm.

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考点:比较线段的长短。 专题:分类讨论。

分析:本题没有给出图形,在画图时,应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能,再根据正确画出的图形解题.同时利用中点性质转化线段之间的倍分关系. 解答:解:

当点C在AB中间时,如上图,AC=AB﹣BC=10﹣4=6,AM=AC=3cm, 当点C在AB的外部时,AC=AB+BC=10+4=14,AM=AC=7cm.

故答案为5或7cm.

点评:在未画图类问题中,正确画图很重要,本题渗透了分类讨论的思想,体现了思维的严密性.在今后解决类似的问题时,要防止漏解.

6.如图,若CB=4cm,DB=7cm,且D是AC的中点,则AC= 6 cm.

考点:比较线段的长短。 专题:计算题。

分析:理解线段的中点这一概念,灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系进行解题.

解答:解:CD=DB﹣BC=7﹣4=3cm,AC=2CD=2×3=6cm. 故答案为6.

点评:灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点.

7.已知线段AB=9厘米,在直线AB上画线段BC,使它等于3厘米,则线段AC= 6厘米或12厘米 .

考点:比较线段的长短。 专题:计算题;分类讨论。

分析:由于点C的位置不确定,所以要分情况讨论: (1)当C在线段AB上时,AC=AB﹣BC; (2)当C在AB的延长线上时,AC=AB+BC. 解答:

解:(1)当C在线段AB上时,AC=AB﹣BC=9﹣3=6(厘米); (2)当C在AB的延长线上时,AC=AB+BC=9+3=12(厘米). 则线段AC=6厘米或12厘米.

106

故答案为:6厘米或12厘米.

点评:注意此类题要分情况画出正确的图形.灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系十分关键.

8.如图,点C、D是线段AB上的两点,若AC=4,CD=5,DB=3,则图中所有线段的和是 41 .

考点:比较线段的长短。 专题:计算题。

分析:图中所有线段有:AC、AD、AB、CD、CB、DB,由已知条件分别求出线段的长度,再相加即可.

解答:解:AD=AC+CD=9, AB=AC+CD+DB=12, CB=CD+DB=8,

故所有线段的和=AC+AD+AB+CD+CB+DB=41.

点评:找出图中所有线段是解题的关键,注意不要遗漏,也不要增加.

9.若线段MN=10cm,Q是直线MN上一点,且线段NQ=5cm,则线段MQ长是 5或15 cm.

考点:比较线段的长短。

分析:数形结合,先画图,结合图形,应分两种情况,进行分类讨论. 解答:解:当点Q在线段MN的内部时,MQ=10﹣5=5cm,

当点Q在线段MN的外部时,MQ=10+5=15cm.

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点评:此类题目很简单,但容易漏解,应结合题意画出图形,进行分类讨论.

10.已知A,B,C三点在同一条直线上,若AB=60cm,BC=40cm,则AC的长为 100cm或20cm .

考点:比较线段的长短。 专题:分类讨论。

分析:根据题意,分两种情况讨论: (1)C在AB内,则AC=AB﹣BC; (2)C在AB外,则AC=AB+BC. 解答:

解:(1)C在AB内,则AC=AB﹣BC=20cm; (2)C在AB外,则AC=AB+BC=100cm.

107

∴点评:AC的长为本题渗透了分类讨论的思想,体现了思维的严密性.灵活运用线段的和、差转化线100cm或20cm.

段之间的数量关系.在今后解决类似的问题时,要防止漏解. 11.M,N是线段AB的三等分点,P是NB的中点,若AB=12厘米,则PA= 10或8 厘米.

考点:比较线段的长短。 专题:分类讨论。

分析:由已知条件可知,此题要分两种情况讨论:

①当N在靠近B的一端时,又P是NB的中点,所以PA=AB﹣PB可求;

②当N在靠近A的一端时,又P是NB的中点,所以P与M重合,所以PA可求. 解答:

新-课- 标- 第-一-网

解:如图,因为M,N是线段AB的三等分点,所以NB=AB=4cm,

①当N在靠近B的一端时,又P是NB的中点,所以PB=NB=2,所以PA=12﹣2=10cm;②当N在靠近A的一端时,又P是NB的中点,所以P与M重合,所以PA=12﹣4=8cm.∴点评:PA=10cm理解线段的三等分点的概念,或8cm. 还要注意点的位置不同导致有不同的情况.结合图形,正确求解.

12.线段AB=8cm.在直线AB上另取一点C,使AC=2cm,P、Q分别是AB、AC的中点,则线段PQ的长度为 3或5 cm. 考点:比较线段的长短。 专题:分类讨论。

分析:根据题意可得点C的位置有两种,一种是在AB之间,另一种是在AB之外并且在射线BA上.根据不同的情况分别讨论,然后得出PQ的长度.

解答:解:当点C在AB之间时,P、Q分别是AB、AC的中点,所以AQ=AC,AP=AB,PQ=AP﹣AQ=AB﹣AC=3cm.

当点C在AB之外时,P、Q分别是AB、AC的中点,所以AQ=AC,AP=AB,PQ=AP+AQ=4+1=5cm.

故线段PQ的长为3cm或5cm.

点评:本题难点是找出题中点C的位置,根据分析可得,点C有两个两种情况满足要求,则根据不同的情况分析各线段之间的关系,然后分别得出PQ的长度.

108

13.已知直线l上有三点A,B,C,线段AB=10cm,BC=6cm,点M是线段BC的中点,则AM= 7cm或13cm . 考点:比较线段的长短。 专题:分类讨论。

分析:此题画图会出现两种情况,即C在AB内,C在AB外,所以要分两种情况计算.BC=6cm,点M是线段BC的中点,则BM=3.

第一种情况:C在AB内,则AM=AB﹣BM;第二种情况:C在AB外,则AM=AB+BM. 解答:解:BC=6cm,点M是线段BC的中点,则BM=3, 第一种情况:C在AB内,则AM=AB﹣BM=10﹣3=7; 第二种情况:C在AB外,则AM=AB+BM=10+3=13.

点评:在未画图类问题中,正确画图很重要.本题渗透了分类讨论的思想,体现了思维的严密性.在今后解决类似的问题时,要防止漏解.

14.已知线段AB=6cm,在直线AB上画线段AC=2cm,则BC的长是 4或8 cm. 考点:比较线段的长短。 专题:分类讨论。

分析:要求学生分情况讨论A,B,C三点的位置关系,考查学生对图形的理解与运用. 解答:解:线段AB=6cm,AC=2cm,

若A、B在C的同侧,则BC的长是6﹣2=4cm;

若A、B在C的两侧,则BC的是6+2=8cm;BC的长是8cm或4cm. 故答案为4或8.

点评:利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键,在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法,有利于解题的简洁性.同时,灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点.

15.已知线段AC和BC在同一直线上,若AC=20,BC=18,线段AC的中点为M,线段BC的中点为N,则线段MN 19或1 . 考点:比较线段的长短。 专题:分类讨论。

分析:要求学生分情况讨论A,B,C三点的位置关系,考查学生对图形的理解与运用.要考虑点B在线段AC上时和点B在线段AC的延长线上时.

解答:解:①当点B在线段AC上时,根据线段的中点的概念,知:MN=AM﹣AN=AC﹣AB=10﹣9=1;

②当点B在线段AC的延长线上时,根据线段的中点的概念,知:MN=AM+AN=AC+AB=10+9=19. 故答案为19或1.

109

点评:此类题要分情况讨论点的不同位置,还要结合中点的概念进行计算.

16.点A、B、C在同一条直线上,线段AB=6cm,线段BC=4cm,则线段AC= 10cm或2cm .

考点:比较线段的长短。 专题:计算题;分类讨论。

分析:本题没有给出图形,在画图时,应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能,再根据题意画出的图形进行解答. 解答:解:本题有两种情形:

(1)当点C在线段AB上时,如图,AC=AB﹣BC, 又∵AB=6cm,BC=4cm,∴AC=6﹣4=2cm;

(2)当点C在线段AB的延长线上时,如图,AC=AB+BC, 又∵AB=6cm,BC=4cm,∴AC=6+4=10cm.

故线段AC=10cm或2cm.

点评:在未画图类问题中,正确画图很重要,本题渗透了分类讨论的思想,体现了思维的严密性,在今后解决类似的问题时,要防止漏解.

17.长度12cm的线段AB的中点为M,C点将线段MB分成MC:CB=1:2,则线段AC的长度为 8cm .

考点:比较线段的长短。 专题:计算题。

分析:先由中点的定义求出AM,BM的长,再根据MC:CB=1:2的关系,求MC的长,最后利用AC=AM+MC得其长度. 解答:解:∵线段AB的中点为M, ∴设AM=BM=6cm

MC=x,则CB=2x, ∴即x+2x=6MC=2cm,解得.

x=2 ∴点评:AC=AM+MC=6+2=8cm利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键,. 同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点.

18.如图,已知线段AB=9厘米,C是直线AB上的一点,且BC=3厘米,则线段AC的长是 12或6 厘米.

110

考点:比较线段的长短。 专题:分类讨论。

分析:本题没有给出C点位置故应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能. 解答:解:当点C在AB中间时有,AC=AB﹣BC=9﹣3=6cm; 当点在AB的延长线上时,有AC=AB+BC=9+3=12cm. 故答案为12或6.

点评:在未画图类问题中,正确画图很重要,本题渗透了分类讨论的思想,体现了思维的严密性,在今后解决类似的问题时,要防止漏解.

19.已知点B在直线AC上,AC=18cm,AB=8cm,则BC= 10cm或26cm . 考点:比较线段的长短。 专题:分类讨论。

分析:要求学生分情况讨论A,B,C三点的位置关系,考查学生对图形的理解与运用.本题可分为B在AC内和B在AC外.

解答:解:第一种情况:B在AC内,则BC=AC﹣AB=10, 第二种情况:B在AC外,则BC=AC+AB=26. 故答案为10或26.

点评:在未画图类问题中,正确画图很重要.本题渗透了分类讨论的思想,体现了思维的严密性.在今后解决类似的问题时,要防止漏解. 20.已知线段AB=10cm,直线AB上有一点C,且BC=6cm,AC的长为 4cm或16cm .考点:比较线段的长短。 专题:分类讨论。

分析:由已知条件不能确定点C在直线AB上的位置,故要分情况讨论:当C在线段AB上时,AC=AB﹣BC;当C要线段AB的延长线上时,AC=AB+BC.然后代入数值计算即可得到答案,注意不要漏掉单位. 解答:解:本题有两种情况:

(1)当点C在线段AB上时,如图,AC=AB﹣BC,又∵AB=10cm,BC=6cm∴AC=10﹣6=4cm;

(2)当点C在线段AB的延长线上时,如图,AC=AB+BC,又∵AB=10cm,BC=6cm,∴故答案填AC=10+6=16cm4cm或.16cm

. 点评:本题渗透了分情况讨论的思想,体现了思维的严密性,解决类似的问题要防止漏解,并注意不要漏掉单位.

111

解答题

21.如图所示,已知C点分线段AB为3:2,D点分线段AC为1:2,DC的长为12cm,求AB的长.

考点:比较线段的长短。

分析:由D点分线段AC为1:2,DC的长为12cm,可求得AC=12=18cm,又因为C

点分线段AB为3:2,可得AB=18÷=30cm.

解答:解:∵D点分线段AC为1:2,DC的长为12cm, ∴AC=12=18cm, 又∵C点分线段AB为3:2, ∴AB=18÷=30cm.

点评:此题主要是由部分求整体,可让部分÷所占比例即可求得整体.

22.A、B是线段EF上两点,已知EA:AB:BF=1:2:3,M、N分别为EA、BF的中点,且MN=8cm,求EF的长. 考点:比较线段的长短。

分析:如图,由于EA:AB:BF=1:2:3,可以设EA=x,AB=2x,BF=3x,而M、N分别为EA、BF的中点,那么线段MN可以用x表示,而MN=8cm,由此即可得到关于x的方程,解方程即可求出线段EF的长度. 解答:可以设解:EA=x∵EA,AB=2x:AB:,BF=1BF=3x:,2: 3, 而M、N分别为EA、BF的中点, ∴MA=EA,NB=BF,

∴MN=MA+AB+BN=x+2x+x=4x, 而MN=8cm,

∴4x=8, ∴x=2,

∴EF=EA+AB+BF=6x=12, ∴EF的长为12cm.

点评:利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键,在不同的情况下灵活选用它

112

的不同表示方法,有利于解题的简洁性.同时,灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点.

23.如图,B,C两点把线段MN分成三部分,其比为MB:BC:CN=2:3:4,P是MN的中点,PC=2cm,求MN的长.

考点:比较线段的长短。

分析:在一条直线或线段上的线段的加减运算和倍数运算,首先明确线段间的相互关系,根据题目中的几何图形,再根据题意进行计算.

解答:解:B,C两点把线段MN分成三部分,其比为MB:BC:CN=2:3:4, 设MB=2x,则BC=3x,CN=4x,即MC=4.5x, 故PC=MC﹣MP=5x﹣4.5x=0.5x=2cm,故x=4cm, 则MN=9x=36cm. 答:MN=36cm.

点评:利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键,在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法,有利于解题的简洁性.同时,灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点.

7.4角与角的度量 类型一:角的概念

1.在下列说法中,正确的是( )

①两条射线组成的图形叫做角;②角的大小与边的长短无关;

③角的两边可以一样长,也可以一长一短;④角的两边是两条射线. A.①② B.②④ C.②③ D.③④ 考点:角的概念。

分析:根据角的概念,对选项进行一一分析,排除错误答案.

解答:解:①、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,故错误; ②、角的大小与边的长短无关,故正确;

③、角的两边是两条射线,射线不能度量,所以不能说长或短,故错误; ④、角的两边是两条射线,故正确. ②④正确,故选B.

点评:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,注意不要忽略“公共端点”.还应注意角的大小与边的长短无关,与度数的大小一致.

113

变式:

2.如图中共有( )个角.

A.5 B.6 C.7

D.8 考点:角的概念。

分析:根据角的定义即可选择. 解答:解:

图中的角有:∠DAC,∠BAC,∠DAB,∠B,∠D,∠ACB,∠ACD,∠BCD共有8个,点评:故选D.本题主要考查了角的定义以及表示法,是需要熟记的内容.

3.下列说法中正确的是( ) A.角是两条射线组成的图形 B.延长一个角的两边

C.周角是一条射线 D.反向延长射线OM得到一个平角 考点:角的概念。

分析:根据角的定义一一进行分析,然后排除错误的答案.

解答:解:A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,如果两条射线的端点不同,这样的两条射线组成的图形不是角.故错误;

B、角的两条边是射线,只能反向延长,故错误; C、角应该有一个顶点,两条射线组成,不正确;

D、反向延长射线OM,O成为平角的顶点,得到一个以O为顶点的平角,故正确. 故选D.

点评:平时学习中,掌握好角的概念,才能对题目有深刻的理解.

类型二:度分秒的换算

1.下列各式中,正确的角度互化是( ) A.63.5°=63°50′ B.23°12′36″=25.48°

C.18°18′18″=3.33° D.22.25°=22°15′ 考点:度分秒的换算。 专题:计算题。

分析:两个度数相加,度与度,分与分对应相加,分的结果若满60,则转化为度.度、分、秒的换算是60进位制.

解答:解:A、63.5°=63°+0.5°×60=63°30′,错误; B、23°12′36″=23°+12′÷60+36″÷3600=23.21°,错误; C、18°18′18″=18°+18′÷60+18″÷3600=18.315°,错误;

114

D、22.25°=22°+0.25°×60=22°15′,正确. 故选D.

点评:此类题是进行度、分、秒的加法、减法计算,相对比较简单,注意以60为进制即可.

变式:

2.36°18′= 36.3 °. 考点:度分秒的换算。 专题:计算题。

分析:此类题是进行度、分、秒的转化运算,相对比较简单,注意以60为进制. 解答:解:36°18′=36.3°.故答案为36.3.

点评:进行度、分、秒的转化运算,注意以60为进制.

3.计算:20°15′24'″×3= 60°46′12″ . 考点:度分秒的换算。 专题:计算题。

分析:计算乘法时,秒满60时转化为分,分满60时转化为度. 解答:解:20°15′24'″×3=60°46′12″.

点评:本题是角的计算,注意角的进制是60进制的.易错点是角的进制当成百进制的.

类型三:钟面角

1.下列时刻,时针与分针的夹角为直角的是( )

A.3时30分

B.9时30分

C.8时55分

D.6时

考点:钟面角。 专题:计算题。

分析:画出图形,利用钟表表盘的特征解答.分别计算出四个选项中时针和分针的夹角,选出90°的角即可.

解答:解:A、3时30分时,时针与分针间有2.5个大格,其夹角为30°×2.5=75°,故3时30分时时针与分针的夹角不为直角,错误;

B、9时30分时,时针与分针间有3.5个大格,其夹角为30°×3.5=105°,故9时30分时时针与分针的夹角不为直角,错误; C、8时55分时,时针与分针间有2个大格,其夹角为30°×2

=82.5°,故8时55分时

时针与分针的夹角不为直角,错误; D、6时

分时,时针与分针的夹角为(

)×30°﹣

=90°,故6时

分时时针与分针的夹角为直角,正确; 故选D.

115

点评:本题考查钟表时针与分针的夹角.在钟表问题中,常利用两个相邻数字间的夹角为30°,每个小格夹角为6°,并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形.

变式:

2.时钟在2点正时,其时针和分针所成的角的大小为 60 °. 考点:钟面角。 专题:计算题。

分析:画出图形,利用钟表表盘的特征解答. 解答:钟表12解:个数字,每相邻两个数字之间的夹角为∵2点整,时针指向2,分针指向12.30 °,

∴点评:2点整分针与时针的夹角正好是本题考查钟表时针与分针的夹角.在钟表问题中,常利用时针与分针转动的度数关60度.

系:分针每转动1°时针转动(

)°,并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的

图形.

3.2.42°= 2 ° 25 ′ 12 ″;2点30分时,时钟与分钟所成的角为 105 度. 考点:度分秒的换算;钟面角。 专题:计算题。

分析:①0.42°=0.42×60′=25.2′,而0.2′=0.2′×60″=12″. ②2点30分时,时针与分针的夹角是105°. 解答:而0.2′=0.2解:′×①60″∵=120.42″.°=0.42

×60′=25.2′, ∴②2.42钟表中整点直接的夹角是°=2°25′12″.

360°÷12=30°,

2点30分时,分针在6上,时针在2与3的中间, 所以时针与分针的夹角是105°. 点评:①由度化为度、分、秒时,要先把度的小数部分化成分,再把分的小数部分化成秒,用公式1°=60′,1′=60″.

②此题极易出错,做题时容易想成是90°或120°.

116

7.5角的大小比较 类型一:角平分线的定义

1.如图,∠AOB=130°,射线OC是∠AOB内部任意一条射线,OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线,下列叙述正确的是( )

A.∠DOE的度数不能确定 B.∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=65°

C.∠BOE=2∠COD D.∠AOD=

考点:角平分线的定义。

分析:本题是对角的平分线的性质的考查,角平分线将角分成相等的两部分.结合选项得出正确结论.

解答:解:∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线, ∴∠AOD=∠COD、∠EOC=∠BOE,

又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD=∠AOB=130°, ∴∠故选AOD+B.

∠BOE=∠EOC+∠COD=∠DOE=65°. 点评:本题是对角平分线的性质的考查.然后根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解.

变式:

2.已知∠AOB=60°,其角平分线为OM,∠BOC=20°,其角平分线为ON,则∠MON的 大小为(A.20 ° B). 40° C.20°或40° D.30°或10° 考点:角平分线的定义。 专题:分类讨论。

分析:根据题意,画出图形,分两种情况讨论:∠BOC在∠AOB内部和外部.

解答:

解:∠BOC在∠AOB内部

117

∵∠AOB=60°,其角平分线为OM ∴∠MOB=30°

∵∠BOC=20°,其角平分线为ON ∴∠BON=10°

∴∠MON=∠MOB﹣∠BON=30°﹣10°=20°; ∠BOC在∠AOB外部

∵∠AOB=60°,其角平分线为OM ∴∠MOB=30°

∵∠BOC=20°,其角平分线为ON ∴∠BON=10°

∴∠故选MON=C.

∠MOB+∠BON=30°+10°=40°. 点评:本题主要考查平分线的性质,知道∠BOC在∠AOB内部和外部两种情况是解题的 关键.

类型二:角的计算

1 .已知A.∠90AOC=2° B.∠30BOC° C,若.90∠°BOC=30或30° D°.,120∠AOB°或等于(30° ) 考点:角的计算。

专题:计算题;分类讨论。

分析:本题是角的计算中的多解问题,出现多解的原因是射线OB与OC的位置问题,所以本题可分两种情况讨论.

解答:解:当射线OB在∠AOC中时, ∵∠AOC=2∠BOC,∠BOC=30°, ∴∠AOC=60°, ∴∠AOB=30°,

当射线OC在∠AOB中时,

∵∠AOC=2∠BOC,∠BOC=30°, ∴∠AOC=60°, ∴∠故选AOB=90C.

°. 点评:本题是角的加减运算,计算时易错点是漏解.

变式1:

2 .若A∠.AOB=6030° B.°,90∠°AOC=30 C.30°°,则或90∠°BOC D.不确定为( ) 考点:角的计算。

专题:计算题;分类讨论。

118

分析:本题是角的计算的多解问题,求解时要注意分情况讨论.

解答:解:当OC在∠AOB内部,因为∠AOB=60°,∠AOC=30°,所以∠BOC为30°; 当OC在∠AOB外部,因为∠AOB=60°,∠AOC=30°,所以∠BOC为90°; 所以故选∠CBOC.

为30°或90°. 点评:根据题意列出不同情况是解决此类问题的关键.

3考点.∠:角的计算。AOB=30°,∠BOC=50

°,则∠AOC= 80°或20° . 专题:计算题;分类讨论。

分析:∠AOB=30°,∠BOC=50°,则∠AOC可能存在两种情况,即∠BOC在∠AOB内部或外部.解答:解:当

∠BOC在∠AOB内部时,∠AOC=∠BOC﹣∠AOB=50°﹣30°=20°, 当∠BOC在∠AOB外部时,∠AOC=∠BOC+∠AOB=50°+30°=80°. 故点评:∠AOC=80两角有公共边度或20度.OB,另两边的位置需要讨论,注意到讨论是解本题的关键.

变式2:

4.已知∠AOB=40°,过点O引射线OC,若∠AOC:∠COB=2:3,且OD平分∠AOB.求考点∠专题COD:角平分线的定义;角的计算。 :分类讨论。的度数.

分析:分射线OC在∠AOB的内部、射线OC在∠AOB的外部两种情况进行解答,当射线OC在∠AOB的内部时,设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x,计算出x的值,进而计算出∠AOC、∠AOD的度数,从而得出结论.当射线OC在∠AOB的外部时,∠AOC、解答:解:如图(1)射线OC在∠AOB的内部,(2)射线OC在∠AOB的外部

∠COB的度数分别为2x、3x,则∠AOB=x,得x的值,进而计算出∠AOC与∠AOD的度数,然后得出结论.

(1)设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x,则2x+3x=40° ∴x=8°,∠AOC=2x=16°,∠AOD=×40°=20° ∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=20°﹣16°=4°;

119

(2)设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x,则∠AOB=3x﹣2x=x=40°, ∴∠AOC=2x=80° ∠AOD=20°

∴∠故答案为COD=∠4AOC+°或100∠°AOD=80.

°+20°=100°. 点评:

本题分射线OC在∠AOB的内部、射线OC在∠AOB的外部两种情况,不能漏解. 变式3:

5.如图1是一副三角尺拼成的图案

(1)则∠EBC的度数为 150 度;

(2)将图1中的三角尺ABC绕点B旋转α度(0°<α<90°)能否使∠ABE=2∠DBC?若能,则求出∠EBC的度数;若不能,说明理由.(图2、图3供参考)

考点:角的计算。

分析:(1)∠EBC是由一个直角和一个60°的角组成的;

(2)分不同方向旋转,求得α,等量关系为∠ABE=2∠DBC,应用α表示出这个等量关系.进而求解.解答:(2)第一种情况:解:(1) ∠EBC=

∠ABC+∠EBD=60°+90°=150°.(2分) 若逆时针旋转α度,如图2: 据题意得90°﹣α=2(60°﹣α)(4分) 得α=30°(5分), ∴∠第二种情况:若顺时针旋转EBC=(90°﹣30°)+30°+(α60度,如图°﹣30°)3=120, °(6分) 据题意得90°+α=2(60°+α)(8分),得α=﹣30°

∵0<α<90°,α=﹣30°不合题意,舍去.(9分) 故点评:∠EBC=解决本题的关键是用必须的量表示出题中的等量关系,把所求的角进行合理分割.∠120°.(10分)

120

余角和补角 类型一:余角和补角ww w.x k b1 .co m

1.如图所示,∠α>∠β,且∠β与(∠α﹣∠β)关系为( )

A.互补 B.互余 C.和为45° D.和为22.5° 考点:角的计算;余角和补角。 专题:计算题。

分析:利用图中所示的∠α和∠β的互补关系进行运算. 解答:解:∠α﹣∠β+∠β=(∠α+∠β)=×180°=90度. 故选B.

点评:

此题只要找到图中所示∠α和∠β互补的关系,就便于解答了. 2 .∠Aα=13.76°46°54′,则′ ∠Bα.的补角为(166°14′ C . 76)°14 ′ D.166°54′

考点:余角和补角。 专题:计算题。

分析:本题考查角互余的概念:和为180度的两个角互为补角.用180°减去∠α的度数就解答:等于点评:∠α解:根据补角的定义,知此题属于基础题,较简单,主要记住互为补角的两个角的和为的补角的度数. ∠α的补角是180°﹣13°46′=166°14′.

180度.

3.一个角的补角大于余角的3倍,这个角是( ) A.大于45°的锐角 B.45° C.90° D.135° 考点:余角和补角。

分析:先设这个角是x,根据“一个角的补角大于余角的3倍”列不等式可求得x的下限,再根据这个角有余角可知它是个锐角,从而确定答案. 解答:解:设这个角是x,则 180°﹣x>3(90°﹣x) x>45°

又因为x<90°

所以这个角是大于45°的锐角. 故选A.

点评:要掌握余角和补角的定义.如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角.如果两个角的和是一个平角,那么这两个角叫互为补角.其中一个角叫做另一个角的

121

补角. 4.(1)如图,图中互补的角有 2 对.

(2)如果∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,则图中互补的角有 6 对.

考点:余角和补角。

分析:若两个角的和等于180°,则这两个角互补.根据已知条件和互补的定义确定各自的对数.

解答:解:(1)∵点A,O,B在同一直线上,

∴图中互补的角有2对,∠AOC与∠COB,BOD与∠AOD. (2)∵∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,

∴图中互补的角有6对,∠AOC与∠COB,∠AOC与∠AOD,∠AOD与∠COD,∠BOC点评:与此题考查补角,在找互补的两角时,可先确定较小(或较大)角的度数,最大)角的补角开始找,能做到不重合、不遗漏.∠COD,∠BOD与∠AOD,∠BOD与∠COB. 从最小(或

相交线 选择题

1.两条相交直线所成的角中( ) A.必有一个钝角 B.必有一个锐角 C.必有一个不是钝角 D.必有两个锐角 考点:角的计算;相交线。

分析:本题涉及相交线知识考点,要注意垂直是相交的一种特殊情形.

解答:解:当两条直线互相垂直时所成的角都是直角,所以A、B、D都不对. 若都是钝角,则圆周角超过360°, 故选C.

点评:本题的关键是注意垂直相交,可以用排除法解决.

2.如图,OA⊥OC,OB⊥OD,4位同学观察图形后分别说了自己的观点.甲:∠AOB=∠COD;乙:∠BOC+∠AOD=180°;丙:∠AOB+∠COD=90°;丁:图中小于平角的角有5个.其中正确的结论是( )

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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点:角的计算;对顶角、邻补角。

分析:根据同角的余角相等、垂直的定义求解并作答.

解答:解:根据同角的余角相等可得,∠AOB=∠COD,而不会得出∠AOB+∠COD=90°,故甲正确,丙错误;∠BOC+∠AOD=∠BOC+

∠AOB+∠BOD=∠AOC+∠BOD=90°+90°=180°,故乙正确; 图中小于平角的角有∠COD,∠BOD,∠AOD,∠BOC,∠AOC,∠AOB六个,故丁错正确的有两个,故选误. B.

点评:此题主要考查余角的性质、垂线的定义,注意数角时,要做到不重不漏.

3.在一个平面内,任意四条直线相交,交点的个数最多有( ) A.7个 B.6个 C.5个 D.4个 考点:相交线。 专题:分类讨论。

分析:在平面上画出4条直线,当这4条直线经过同一个点时,有1个交点;当3条直线经过同一个点,第4条不经过该点时,有4个交点;当4条直线不经过同一点时,有6个交点.故可得出答案. 解答:解:如图所示:

①当4条直线经过同一个点时,

有1个交点;

②当3条直线经过同一个点,第4条不经过该点时,

有4个交点;

③当4条直线不经过同一点时,

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有6个交点.

综上所述,4条直线相交最多有6个交点. 故选B.

点评:此题在相交线的基础上,着重培养学生的观察、实验能力.

4.如图两条非平行的直线AB,CD被第三条直线EF所截,交点为PQ,那么这3条直线将所在平面分成( )

A.5个部分 B.6个部分 C.7个部分 D.8个部分 考点:相交线。

分析:从图中看出,EF把它所在的位置左边分成3部分,而右边分成4部分,因为AB,CD为两条非平行的直线,所以还有一个封闭的部分,因此共有7部分. 解答:解:因为直线是向两方无限延伸的所以应是7部分; 故选C.

点评:本题主要考查一条直线可以把平面分成两部分的特点,但是3条直线就可以有一个封闭部分.

5.三条直线两两相交于同一点时,对顶角有m对;交于不同三点时,对顶角有n对,则m与n的关系是( ) A.m=n B.m>n C.m<n D.m+n=10 考点:对顶角、邻补角。

分析:三条直线两两相交,每对相交的直线就会形成2对对顶角,这三条直线每两条都相交,相交直线的对数,与是否交于同一点无关,因而m=n.

解答:解:因为三条直线两两相交与是否交于同一点无关,所以m=n,故选A. 点评:直线相交形成的对顶角的对数,只与有多少对直线相交有关.

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6.下列图形中∠1与∠2是对顶角的是( )

A. B. C.

D.

考点:对顶角、邻补角。

分析:根据对顶角的定义进行判断.

解答:解:根据对顶角的定义,两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做对顶角.符合条件的只有B, 故选B.

点评:本题考查对顶角的概念,一定要紧扣概念中的关键词语,如:两条直线相交,有一个公共顶点.反向延长线等.

7.(2009•贺州)在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当 ∠考点AOC=30A.60:垂线。°°时, B.

∠BOD120° 的度数是(C.60°或90 ° D.)60 °或120° 专题:计算题;分类讨论。

分析:此题可分两种情况,即OC,OD在AB的一边时和在AB的两边,分别求解. 解答:解:①当OC、OD在AB的一旁时, ∵OC⊥OD,∠COD=90°,∠AOC=30°, ∴∠②当BOD=180OC、OD°﹣在∠CODAB的两旁时,﹣∠AOC=60 °; ∵OC⊥OD,∠AOC=30°, ∴∠AOD=60°,

∴∠故选BOD=180D.

°﹣∠AOD=120°.

点评:此题主要考查了直角、平角的定义,注意分两种情况分析.

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8.(2005•南通)用3根火柴棒最多能拼出( ) A.4个直角 B.8个直角 C.12个直角 D.16个直角 考点:垂线。 专题:操作型。

分析:当3根火柴棒有公共交点且两两垂直时,可拼出“三线十二角”,十二个角都是直角. 解答:解:如图所示,当3根火柴棒有公共交点且两两垂直时, 可构成12个直角. 故选C.

点评:注意:本题容易忽略空间中的情况,是易错题.本题锻炼了学生思维的严密性和动手操作能力.

9 .已知,A.30OA° ⊥B.OC150,且° C∠.AOB30°或:∠150AOC=2° :D.3,则90° ∠BOC的度数为( ) 考点:垂线。

专题:计算题;分类讨论。

分析:根据垂直关系知∠AOC=90°,由∠AOB:∠AOC=2:3,可求∠AOB,根据∠AOB解答:与∠AOC解:的位置关系,分类求解.∵OA⊥OC, ∴∠AOC=90°,

∵∠AOB:∠AOC=2:3, ∴∠AOB=60°.

因为∠AOB的位置有两种:一种是在∠AOC内,一种是在∠AOC外. ①当在∠AOC内时,∠BOC=90°﹣60°=30°; ②故选当在C.∠

AOC外时,∠BOC=90°+60°=150°.

点评:此题主要考查了垂线的定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,

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即两条直线互相垂直.同时做这类题时一定要结合图形.

10.如图,直角的个数为( )

A.4 B.6 C.8 D.10 考点:垂线。

分析:四对对顶角都是直角,就是8个,再加上两个,共10个,应从四个顶点处,分别记数.

解答:解:左下角和右上角的两条互相垂直的直线,就有8个直角,加上右下角和左上角的两个直角,共10个,故选D.

点评:本题的关键是思维细密,找全不可遗漏.

11.如图,在△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB,则图中能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )

A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 考点:点到直线的距离。

分析:本题图形中共有6条线段,即:AC、BC、CD、AD、BD、AB,其中线段AB的两个端点处没有垂足,不能表示点到直线的距离,其它都可以. 解答:解:表示点C到直线AB的距离的线段为CD; 表示点B到直线AC的距离的线段为BC; 表示点A到直线BC的距离的线段为AC; 表示点A到直线DC的距离的线段为AD; 表示点B到直线DC的距离的线段为BD. 故选D.

点评:利用点到直线的距离的概念求解.

12.如图,在平面内,两条直线l1,l2相交于点O,对于平面内任意一点M,若p,q分别是点M到直线l1,l2的距离,则称(p,q)为点M的“距离坐标”.根据上述规定,“距离坐标”是(2,1)的点共有( )个.

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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点:点到直线的距离。 专题:新定义。

分析:到l1距离为2的直线有2条,到l2距离为3的直线有2条,这4条直线有4个交点,这4个交点就是“距离坐标”是(2,1)的点.

解答:解:因为两条直线相交有四个角,因此每一个角内就有一个距离坐标是(2,1)的点,共4个. 故选D.

点评:本题用到的知识点为:到一条已知直线距离为定值的直线有两条. 13.若点A到直线l的距离为7cm,点B到直线l的距离为3cm,则线段AB的长度为( ) A.10cm B.4cm C.10cm或4cm D.至少4cm 考点:点到直线的距离。 专题:计算题。

分析:应结合题意,分类画图.根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短,可得线段AB的长度至少为4cm.

解答:解:从点A作直线l的垂线,垂足为C点,当A、B、C三点共线时,线段AB的长为7﹣3=4cm,其它情况下大于4cm,故选D.

点评:此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短.

14.如图,∠ABC=90°,BD⊥AC,垂足为D,则能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )

A.1条 B.2条 C.4条 D.5条 考点:点到直线的距离。

分析:根据点到直线的距离是指点到这条直线的垂线段的长度作答. 解答:解:AB表示点A到直线BC的距离;

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DB表示点B到直线AC的距离; CB表示点C到直线AB的距离; AD表示点A到直线BD的距离; CD表示点C到直线BD的距离;

故表示点到直线(或线段)的距离的线段有5条. 故选D.

点评:要注意领会点到直线距离的定义及其运用.

填空题

15.图中有 12 对对顶角.

考点:对顶角、邻补角。 专题:几何图形问题。

分析:根据图形,先找出单个的角组成的对顶角是4对,再找出两个角组成一个角而组成的对顶角是4对,三个角组成一个角组成的对顶角是4对,最后加在一起即可. 解答:解:如图,单个角组成的对顶角有4对, 两个角看做一个角组成的对顶角有4对, 三个角看做一个角组成的对顶角有4对, 所以对顶角共有4×3=12对. 故应填12.

点评:本题是规律探寻题,按顺序找出各自情况的对顶角的对数是正确解题的关键.

16.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC、OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,考点∠专题BOD:垂线。:分类讨论。的度数是

60°或120° . 分析:先根据题意可得OC分在AB同侧和异侧两种情况讨论,并画出图,然后根据OC⊥OD解答:与∠AOC=30解:当°,计算OC、OD∠BOD在直线的度数.AB同侧时,如图: ∵OC⊥OD,∠AOC=30°;

∴∠

BOD=180°﹣∠COD﹣∠AOC=180°﹣90°﹣30°=60°;

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当OC、OD在直线AB异侧时,如图:

∵OC⊥OD,∠AOC=30°;

∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣(∠DOC﹣∠AOC)=180°﹣(90°﹣30°)=120°.

点评:解答此类问题时,要注意对不同的情况进行讨论,避免出现漏解.

17.如图:A、O、B在同一直线上,AB⊥OE,OC⊥OD,则图中互余的角共有 4

对.考点:垂线。

分析:互余的角满足条件是两个角之和等于90°,结合图形找出符合条件的角. 解答:解:由已知条件得,∠AOE=∠BOE=∠DOC=90°,

∴∠BOD+∠DOE=90°,∠DOE+∠COE=90°,∠COE+∠AOC=90°, ∴∠DOE=∠AOC, ∴∠BOD+∠AOC=90°, ∴点评:互余的角共有四对.相邻的三对比较好找,第四对要利用同角的余角相等求出,注意不要遗漏.

18考点.已知直线:垂线。AB

⊥CD于点O,且AO=5cm,BO=3cm,则线段AB的长为 2cm或8cm . 专题:计算题;分类讨论。

分析:考虑点O在线段AB内、外两种情况进行解答.

解答:解:当点O在线段AB内时,AB=AO+BO=5cm+3cm=8cm, 当点O在线段AB外时,AB=AO﹣BO=5cm﹣3cm=2cm.

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点评:一定要考虑点O与线段AB的位置关系,防止产生漏解.

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