2019-2020学年湖南师大附中高二上学期入学考试数学试题(解析版)
一、单选题
1.若ab , 则下列不等式正确的是( ) A.a2b2 【答案】C
【解析】根据不等式性质,结合特殊值即可比较大小. 【详解】
对于A,当a1,b2,满足ab,但不满足a2b2,所以A错误; 对于B,当ab,c0时,不满足acbc,所以B错误;
对于C,由不等式性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或式子,不等式符号不变”,所以由ab可得acbc,因而C正确;
对于D,当ab,c0时,不满足ac2bc2,所以D错误. 综上可知,C为正确选项, 故选:C. 【点睛】
本题考查了不等式大小比较,不等式性质及特殊值的简单应用,属于基础题. 2.在如图所示的茎叶图中,若甲组数据的众数为11,乙组数据的中位数为9,则xy( )
B.acbc
C.acbc
D.ac2bc2
A.6 【答案】D
B.5 C.4 D.3
【解析】由众数就是出现次数最多的数,可确定x,题中中位数是中间两个数的平均数,这样可计算出y. 【详解】
由甲组数据的众数为11,得x1,乙组数据中间两个数分别为6和10y,所以中位数是
610y9,得到y2,因此xy3. 2第 1 页 共 19 页
故选:D. 【点睛】
本题考查众数和中位数的概念,掌握众数与中位数的定义是解题基础.
3.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A.20 【答案】C
B.24 C.28
D.32
【解析】试题分析:由三视图分析可知,该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和.表面积为
.
,
,所以几何体的
【考点】三视图与表面积.
4.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.若m//,n//,则m//n
B.若//,m,n,则m//n
D.若m,m//n,n,则
C.若Im,n,nm,则n
【答案】D
【解析】根据各选项的条件及结论,可画出图形或想象图形,再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项. 【详解】
选项A错误,同时和一个平面平行的两直线不一定平行,可能相交,可能异面; 选项B错误,两平面平行,两平面内的直线不一定平行,可能异面;
选项C错误,一个平面内垂直于两平面交线的直线,不一定和另一平面垂直,可能斜交;
第 2 页 共 19 页
选项D正确,由m,m//n便得n,又n,,即. 故选:D. 【点睛】
本题考查空间直线位置关系的判定,这种位置关系的判断题,可以举反例或者用定理简单证明, 属于基础题.
rrrrrrr5.已知a1,b6,a(ba)2,则向量a与向量b的夹角是( )
A.
6B.
4C.
3D.
2【答案】C
【解析】试题分析:根据已知可得:a.ba22a.b3,所以
rrrrrrrra.b1rcosa,brr,所以夹角为,故选择C
a.b23【考点】向量的运算
6.已知圆的方程为A. 【答案】C
【解析】试题分析:
,选C.
【考点】直线与圆位置关系
7.设aR,若关于x的不等式x2ax10在区间1,2上有解,则( ) A.a2 【答案】D
【解析】根据题意得不等式对应的二次函数fxxax1开口向上,分别讨论
2,过点
B.1
的该圆的所有弦中,最短弦的长为( ) C.2
D.4
,最短的弦长为
B.a2 C.a5 2D.a5 20,0,0三种情况即可.
【详解】
由题意得:当0a2
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a2或a2V05a2或2a当 5f10或f202a2或a2当02a2 综上所述:a【点睛】
本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围.解这类题通常分三种情况:
5,选D. 20,0,0.有时还需要结合韦达定理进行解决.
8.在ABC中,已知a、b、c分别是角A、B、C的对边,若的形状为 A.等腰三角形 直角三角形 【答案】D 【解析】由
B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或
acosB,则VABCbcosAabsinAsinB,利用正弦定理可得,进而可得sin2A=sin2B,cosBcosAcosBcosA由此可得结论. 【详解】
ab, cosBcosAsinAsinB∴由正弦定理可得 cosBcosA∵
∴sinAcosA=sinBcosB ∴sin2A=sin2B ∴2A=2B或2A+2B=π ∴A=B或A+B=
2∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形 故选D. 【点睛】
判断三角形形状的常见方法是:(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;(3)根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
9.已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn,n1Sn6n18Tn.若
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anZ,则n的取值集合为( ) bnA.{1,2,3} C.{1,2,3,5} 【答案】D
【解析】首先根据n1Sn6n18Tn即可得出即可。 【详解】
B.{1,2,3,4} D.{1,2,3,6}
Snbn,再根据前n项的公式计算出
anTnQn1Sn6n18TnSn6n18 Tnn1na1a2n1a2aS12n1262nn2n16
nb1b2n1T2n1bn2bn2nn2QanZ bnn1,2,3,6,选D.
【点睛】
本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质,属于难题.等差数列的常用性质有:
(1)通项公式的推广:anam(nm)d
(2)若an 为等差数列, pqmnapaqaman;
(3)若an是等差数列,公差为d,ak,akm,ak2m ,则是公差md 的等差数列;
10.已知函数fxsinx0,,其图像相邻的两个对称中心之间的距
2离为
,且有一条对称轴为直线x,则下列判断正确的是 ( )
244A.函数fx的最小正周期为4 B.函数fx的图象关于直线x7对称 24第 5 页 共 19 页
713C.函数fx在区间,上单调递增 24247,0对称 D.函数fx的图像关于点24【答案】C
【解析】本题首先可根据相邻的两个对称中心之间的距离为
来确定的值,然后根4据直线x24是对称轴以及2即可确定的值,解出函数fx的解析式之后,
通过三角函数的性质求出最小正周期、对称轴、单调递增区间以及对称中心,即可得出结果. 【详解】
图像相邻的两个对称中心之间的距离为所以fxsin4x,又x4,得k2得,即函数的周期为2,由T422424是一条对称轴,所以
6k2,kZ,
3,kZ,又2,得,所以fxsin4x.
33最小正周期T2,A项错误; 42,kZ,得对称轴方程为xk,kZ,B选项错误;
32424k5k,,kZ,由2k4x2k,kZ,得单调递增区间为224224232令4xkC项中的区间对应k1,故C正确;
由4xk,0,kZ,D选项错误, k,kZ,得对称中心的坐标为3412综上所述,故选C. 【点睛】
本题考查根据三角函数图像性质来求三角函数解析式以及根据三角函数解析式得出三角函数的相关性质,考查对函数fx=Asinωx+φ+B的相关性质的理解,考查推理能力,是中档题.
x21(x0)211.设函数f(x),若关于x的方程f(x)af(x)20恰有6个不
lgx(x0)()()同的实数解,则实数a的取值范围为( ) A.2,22 【答案】B
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B.22,3
C.3,4
D.22,4
x21(x0)【解析】由已知中函数f(x),若关于x的方程f2(x)af(x)20恰
lgx(x0)有6个不同的实数解,可以根据函数fx的图象分析出实数a的取值范围. 【详解】
x21(x0)函数f(x)的图象如下图所示:
lgx(x0)
关于x的方程f(x)gf(x)20恰有6个不同的实数解,
2令t=f(x),可得t2﹣at+2=0,() 则方程()的两个解在(1,2],
1a2042a20可得,解得a22,3, a1222a80故选:B. 【点睛】
本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,其中根据已知中函数的解析式,画出函数的图象,再利用数形结合是解答本题的关键. 12.在ABC中,AC6,BC7,cosAuuuruuruuurOPxOAyOB,其中0x1,0y1,动点P的轨迹所覆盖的面积为( )
A.
1,O是ABC的内心,若5106 3B.
56 3C.
10 3D.
20 3第 7 页 共 19 页
【答案】A
【解析】由OPxOAyOB且0x1,0y1,易知动点P的轨迹为以OA,OB为邻边的平行四边形的内部(含边界),在VABC中,由AC6,BC7,cosA用余弦定理求得边AB,再由SABCuuuruuruuur1,利51ABACsinA和2SABC1ABACBCr,求得内切圆的半径r,从而得到SAOB,再由动2点P的轨迹所覆盖的面积S2SAOB得解. 【详解】
uuuruuruuur因为OPxOAyOB且0x1,0y1,
根据向量加法的平行四边形运算法则,
所以动点P的轨迹为以OA,OB为邻边的平行四边形的内部(含边界), 因为在VABC中,AC6,BC7,cosA1, 5所以由余弦定理得:BC2AB2AC22ABACcosA , 所以49AB2362AB61, 5即5AB212AB650, 解得:AB5,
sinA1cos2A26 , 5所以SABC1ABACsinA66 . 2设VABC的内切圆的半径为r , 所以SABC1567r66 2所以r26. 3所以SAOB156. ABr23第 8 页 共 19 页
所以动点P的轨迹所覆盖的面积为:S2SAOB故选:A 【点睛】
106. 3本题主要考查了动点轨迹所覆盖的面积的求及正弦定理,余弦定理的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.
二、填空题
13.已知a0,b0,若log4alog6blog9ab,则【答案】a______. b51 2【解析】首先令log4alog6blog9abt,分别把a,b解出来,再利用整体换元的思想即可解决. 【详解】
令log4alog6blog9abta4,b6,ab9
ttt2t2ttttt所以ab946910
33512令xx0,所以x2x10x
32t2a4t251所以t
b632【点睛】
本题主要考查了整体换元的思想以及对数之间的运算和公式法解一元二次方程.整体换元的思想是高中的一个重点,也是高考常考的内容需重点掌握. 14.数列an中,若a12,an12an3,则a10__________. 【答案】2557
【解析】利用数列的递推关系式,推出 【详解】
解:数列an中,,若a12,an12an3,
可得an132an3,即an3是首项为5,公比为2的等比数列.
第 9 页 共 19 页
tn1所以an352,
a1052932557.
故答案为:2557. 【点睛】
本题考查数列的递推式,考查了等比数列的确定,属于中档题.
15.在矩形ABCD中,AB5,AC7,现向该矩形ABCD内随机投一点P,则
APB90的概率为_________.
【答案】
56 96【解析】由已知求出矩形的面积,以及使APB90成立的点P的对应区域面积,利用几何概型求值. 【详解】
解:由题意,ADAC2AB226,
矩形的面积为106,如图,
1525使APB90成立的区域为以AB为直径的半圆,面积为,
228由几何概型公式得到向该矩形ABCD内随机投一点P,则APB90的概率为:
225856.
96106
故答案为:【点睛】
56. 96第 10 页 共 19 页
本题考查几何概型中的面积型及圆的面积公式,属于中档题.
vvvvvvvv16.设向量a,b,c满足a1,|b|2,c3,bc0.若12,则
vvvab(1)c的最大值是________.
【答案】2101
vrrrvvvvnb1cn的模【解析】令,计算出n模的最大值即可,当n与a同向时a最大. 【详解】
vvvvvv2令nb1c,则nb1c132189,因为rrvvvn131892101所以当,max,因此当n与a同向时an12,
的模最大,anmaxan2101 【点睛】
本题主要考查了向量模的计算,以及二次函数在给定区间上的最值.整体换元的思想,属于较的难题,在解二次函数的问题时往往结合图像、开口、对称轴等进行分析.
三、解答题
vvvv2cos2x1417.已知函数fx
sinx2(1)求fx的定义域;
(2)设是第三象限角,且tan【答案】(1)xxk1,求f的值. 2,kZ(2)65 25【解析】(1)由分母不为0可求得排烟阀;
(2)由同角间的三角函数关系求得sin,cos,由两角差的余弦公式展开,再由二倍角公式化为单角的函数,最后代入sin,cos的值可得. 【详解】
(1)由sinx0得xk,kZ,
22所以xk2,kZ,
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xxk,kZfx故的定义域为
2(答案写成“xxk,kZ”也正确) 2(2)因为tan1,且是第三象限角, 2sin2cos21255. 所以由sin1可解得sin,cos55cos22cos21故4 fcos222cos2sin221 2coscos2sin21
cos2cos22sincos cos2cossin【点睛】
65. 5本题考查三角函数的性质,考查同角间的三角函数关系,考查应用两角差的余弦公式和二倍角公式求值.三角函数求值时一般要先化简再求值,这样计算可以更加简便,保证正确.
18.某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表所示. 组号 第1组 分组 频数 5 频率 160,165 165,170 170,175 175,180 0.050 第2组 ① 0.350 ② 第3组 30 第4组 20 0.200 第 12 页 共 19 页
第5组
180,185 10 0.100
(1)请先求出频率分布表中①,②位置的相应数据,再完成频率分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试; (3)在(2)的前提下,学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试,求:第4组至少有一名学生被考官A面试的概率.
【答案】(1)①35人,②0.300,直方图见解析;(2)3人、2人、1人;(3)
3. 5【解析】(1)由频率分布直方图能求出第2组的频数,第3组的频率,从而完成频率分布直方图.
(2)根据第3,4,5组的频数计算频率,利用各层的比例,能求出第3,4,5组分别抽取进入第二轮面试的人数.
(3)设第3组的3位同学为A1,A2,A3,第4组的2位同学为B1,B2,第5组的1位同学为C1,利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数,利用古典概型求得概率. 【详解】
(1)①由题可知,第2组的频数为0.3510035人, ②第3组的频率为
300.300, 100频率分布直方图如图所示,
第 13 页 共 19 页
(2)因为第3,4,5组共有60名学生,
所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试,每组抽取的人数分别为: 第3组: 第4组:第5组:
3063人, 60人,
1061人, 60所以第3,4,5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试.
(3)设第3组的3位同学为A1,A2,A3,第4组的2位同学为B1,B2,第5组的1位同学为C1,
(A1,A3)(A1,B1)(A1,A2)则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法,分别为:,,,(A1,C1)(A2,A3)(A2,B2)(A3,B1)(A3,B2)(A1,B2)(A2,B1)(A2,C1),,,,,,,,(B1,C1)(B2,C1)(A3,C1)(B1,B2),,,,
其中第4组的2位同学B1,B2中至少有一位同学入选的有9种,分别为:
(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),
(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),(B1,C1)(B2,C1),,
∴第4组至少有一名学生被A考官面试的概率为【点睛】
本题考查频率分直方图、分层抽样的应用,考查概率的求法,考查数据处理能力、运算求解能力,是基础题.
19.已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,(1)求角A的大小;
第 14 页 共 19 页
93. 155cosBb2c. cosAaa(2)若a2,ABC的面积为3,求边b,c. 【答案】(1)A3;(2)bc2.
【解析】(1)利用正弦定理化边为角,再依据两角和的正弦公式以及诱导公式,即可求出cosA1,进而求得角A的大小:(2)依第一问结果,先由三角形面积公式求出2bc4,再利用余弦定理求出b2c28,联立即可求解出b,c的值.
【详解】 (1)由
cosBb2c及正弦定理得 cosAaacosBsinB2sinC, cosAsinAsinA整理得,sinAcosBcosAsinB2sinCcosA,
sinAB2sinCcosA,
因为sinABsinCsinC,且sinC0, 所以,cosA1, 2又0A,所以,A3.
(2)因为ABC的面积S所以,bc4 ①
11bcsinAbcsin3, 223由余弦定理得,a2b2c22bccosA,
22b2c22bccos3
所以,b2c28 ② 联立①②解得,bc2. 【点睛】
本题主要考查利用正余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用,涉及利用两角和的正弦公式、诱导公式对三角函数式的恒等变换.
20.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
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(1)求证:PA⊥BD;
(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;
(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)
1 31SVBCDDE即可求解. 3【解析】试题分析:(Ⅰ)要证明线线垂直,一般转化为证明线面垂直;(Ⅱ)要证明面面垂直,一般转化为证明线面垂直、线线垂直;(Ⅲ)由V试题解析:(I)因为PAAB,PABC,所以PA平面ABC, 又因为BD平面ABC,所以PABD.
(II)因为ABBC,D为AC中点,所以BDAC, 由(I)知,PABD,所以BD平面PAC. 所以平面BDE平面PAC.
(III)因为PAP平面BDE,平面PAC平面BDEDE, 所以PAPDE.
因为D为AC的中点,所以DE1PA1,BDDC2. 2由(I)知,PA平面ABC,所以DE平面PAC. 所以三棱锥EBCD的体积V11BDDCDE. 63【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容,而其中证明线面垂直又是重点和热点,要证明线面垂直,根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直,也可根据性质定理转化为证明面面垂直. 21.已知等差数列
,(1)求数列(2)设
. ,
的通项公式;
的前项和. 满足
,
,公比为正数的等比数列
满足
,求数列
第 16 页 共 19 页
【答案】(1);(2).
【解析】(1 )利用等差数列、等比数列的通项公式即可求得; (2)由(1)知,
,利用错位相减法即可得到数列
的
前项和. 【详解】 (1)设等差数列因为所以由
及等比中项的性质,得
.
. ,
的公差为,等比数列
,解得
的公比为,
. .
,所以
又显然必与同号,所以所以所以
(2)由(1)知,
.又公比为正数,解得
.
,
则 ①. ②.
①-②,得
.
所以【点睛】
.
用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
222.已知函数f(x)ax3x4a0.
(1)若yf(x)在区间0,2上的最小值为
5,求a的值; 2第 17 页 共 19 页
(2)若存在实数m,n使得yf(x)在区间m,n上单调且值域为m,n,求a的取值范围. 【答案】(1)
311315;(2),,1. 216416【解析】(1)根据二次函数单调性讨论即可解决.
(2)分两种情况讨论,分别讨论单调递增和单调递减的情况即可解决. 【详解】 (1)若0解得:a若
95333, 2,即a时,yminf42a4a22a43, 23352,即0a时,yminf24a2,
22a49解得:a(舍去).
83„mn, (2)(ⅰ)若yfx在m,n上单调递增,则2aam23m4m则, 2an3n4n即m,n是方程ax24x40的两个不同解,所以1616a0,即0a1, 且当x34时,要有ax24x40, 2a2a21533a即a,可得, 440162a2a所以
15a1; 16(ⅱ)若yfx在m,n上单调递减,则mn3, 2aam23m4n(1)则2, an3n4m(2)两式相减得:mn将m2, a22n代入(2)式,得an22n40, aa22即m,n是方程ax2x40的两个不同解,
a所以44a42300a,即, a4第 18 页 共 19 页
且当x3422时要有ax2x40, 2a2aa211233a即a,可得, 24016a2a2a所以
113a, 164(iii)若对称轴在m,n上,则f(x)不单调,舍弃. 综上,a【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合问题,在解决二次函数问题时需要关注的是单调性、对称轴、最值、开口、等属于中等偏上的题.
11315,,1. 16416第 19 页 共 19 页
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