第6讲 数学计算的技巧

数学计算不仅要遵守四则运算法则，更重要的是要运用机智寻找到一种巧妙合理的算法.机智来自细心的观察和大胆的探索，因此在学习数学中要努力学会观察和分析，培养积极探索的精神. 1．倒过来写

例1 求和1+2+3+„+999.

分析 在高速计算机上解决这个问题太容易了，但人不是计算机！你能找到一种巧妙

的算法吗 ？观察

公式:

s1n(n1) 2例2 试证不等式

1111.3435100111记S,那么34351001111112S34351001009934.111113413413411. 100343410035991003435993599677r67r6767r26767,2S1341341342,67676767676767个即S1.

2.添加括号

例3 计算S=1-2+3-4+„+1n1n

分析 不难看出这个算式的规律——任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将1、2项，3、4项，„，分别编组的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯而取“加括号”之法得 S=（1-2）+（3-4）+„+1n1n.

n(n为偶数)2n1(n为奇数) 2比“加括号”更一般的思想方法是“分组求和”.

例4 在七数-1，-2，-3，1，2，3，4中任选一个数、两个数手只、三个数的积、„、七个

数的积，试求它们的和. 解（1）任选一个数的和：

1+（-1）+2+（-2）+3×(-3)+4=4.

(2)任选二个数的积(由于4×(-3)与4×3,„成对出现,这些积的和为0)的和为: 1×(-1)+2×(-2)+3×(-3)=-14.

（3）.任选三个数的积(由于4×(-3)×(-2)与4×3×(-2),„成对出现，这些积的和

为0)的和为：4×1×（-1）+4×2×（-2）+4×3×（-3）=-56. （4）任选四、五、六、七个数的积的和分别为：

1×（-1）×2×（-2）+2×（-2）×3 ×（-3）+1×（-1）×3×（-3）=49；

1×（-1）×2×（-2）×4+2×（-2）×3×（-3）×4+（-1）×3×（-3）×4×1=196 1×2×3×（-1）×（-2）×（-3）=-36； 1×2×3×（-1）×（-2）×（-3）×4=144. 所以，所求的和为-1. 3.一分为二

例5 （1978年上海中学生数学竞赛题）比较

Sn1234nn248162（n为任意

自然数）与2的大小.

分析 关键是将Sn写成宜于与2比较的简单的式子（直接的计算几乎不可能）.现依次

称Sn的各项分别为第1项，第2项，„，第n项，对第k项变形

k2(k1)(k2)k1k2k1k,2k2k22这说明Sn中每一项都可以\"裂\"为正负两项,这时33445n1n2n2Sn(2)()()(n1n)2n,

22448222自然有Sn2.4.画一个图

为了求和 S＇=1+2+„+10，

可作一个阶梯形（如图1-1中阴影部分），图中每个小方格为一个面积单位，可见S＇为阶梯形的面积，将两个同样的阶梯形拼在一起得一个11×10的矩形，此矩形面积的一半即S＇.仿此可以求例1中的S，画图的好处由此可见一斑.

例6（第19届国际数学竞赛题）有限个实数（可以重复）按一定顺序排成一

列， 任意连续七个数之和为负，任意连续十一个数之和为正，确定这些实数最多有几个，分析文字信息有使人坠入五里雾中之感，将这有限个实数依次编号为①、②，„，如图1-2所示.把图中的数字同时向前挪一位，挪二位，„，便可以看出，从第12个数起，任意连续三数之和为负；从第15个数起，每一个数都为正，因编号为15、16、17的三个正数之和不可能是负的，故这些实数最多有16个，例如可以验证（）

5，5，-13，5，5，5，-13，5， 5，-13，5，5，5，-13，5，5

这一列数满足题设条件，表可以看成是一种特殊的图.

例7，对于 n个连续的自然数1，2，3，„，n，作出其一切可能的和数（被加数的个数从1

1n(n1)到n），证明得到的和数中至少有2个两两互不相同，

11n(n1)n(n1)分析 从2联想到例1的推广了的结论，即2=1+2+„+n，

触发猜想：所述和数至少可以分成n批，第一批一个，第二批两个，„，第n批n个，

则问题获得解决，

注意到1＜2＜3＜„＜n-1＜n，取出若干和数列成下表：

1n(n1)此表中恰有2个和数，显然它们两两互不相等.

练 习： 1.填空题

（1）1+2-3+4+5-6+7+8-9+„+97+98-99等于_______. （2）1至100所有不能被9整除的自然数的和等于_______.

（3）计算：（123499100101等于_____.

2222222（4）计算：

1121231234 2334445555258591等于______.606060602.选择题 (1)乘积1122111121212等于( ). 3910(A)

51117 (B) (C) (D) 1222010(2)(第36届美国中学数学竞赛题)从和式

111111中,必须除去( ),才能使余下的项的和等于1 2468101211111111(A)和 (B)和(C)和(D)和

412812610810111111143(3)设a、b、c为互相等的整数，满足的数组（a、b、c）有（ ）个.

abC210（A）2 （B）无数多 （C）1 （D）3 （4）分母是1001的最简真分数共有（ ）个.

（A）720 （B）693 （C）692 （D）721 3.求和S=1·1+2·2·1+3·3·2·1+„n·n(n-1)„·2·1. 4.一串数：

1211232112343211;,,;,,,,,,,,,,,;中， 222333334444444（1）

7是第几个分数？ 10（2）第400个分数是几分之几？

5.（1）8个乒乓球队员进行循环赛，需要比赛多少场？

（2）从全班50名学生中，选出三人分别担任班长、学习委员、文娱委员的选法有多少种？ 6.已知(x1)(y2)0, 求

221111的值. xy(x1)(y1)(x2)(y2)(x1989)(y1989)7.从1到100这100个自然数中取10个，使它们倒数和等于1.

8.（第5届美国数学邀请赛）非负整数有序数对（m,n），若在求和m+n时无需进位（十进制下），则称它为“简单”的，求所有和为1492的简单的非负整数有序数对的个数. 9.（“华罗庚金杯”全国第二届少年数学邀请赛（决赛）题）用1分，2分和5分的硬币凑成一元钱，共有多少种不同的凑法？

10.数字3可以有四种表示为一个或多个正整数之和，即3，1+2，2+1，1+1+1，数n有多少

种这样的表示法？