、 一元二次方程根与系数关系提高题
一、填空题：
1、如果关于的方程的两根之差为2，那么
2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则 。
3、已知关于的方程的两根为，且，则 。
4、已知
；
是方程 ；
。
的两个根，那么：
5、已知关于的一元二次方程 ；
。
的两根为和，且，则
6、如果关于的一元二次方程是 ，的值为 。
的一个根是，那么另一个根
7、已知是的一根，则另一根为 ，的值为 。
8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为： 。
二、求值题：
1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
3、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
4、已知关于x的方程程的两个根。
的两根满足关系式，求的值及方
5、已知方程的根。
和有一个相同的根，求的值及这个相同
三、能力提升题：
1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？
2、已知关于的一元二次方程
（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
（2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。
3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。
4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，
如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。
5、实数、分别满足方程和，求代数式
的值。
6、已知关于的方程（1）方程（2）
有两个不相等的实数根，且关于的
没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？
8、不解方程，判别方程两根的符号。
10、已知方程21，求的值。
有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大
11、已知、是关于的一元二次方程和
的两个非零实数根，问
能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，
12、已知、是方程的两个实数根，求的值。
13已知两方程和至少有一个相同的实数根，
求这两个方程的四个实数根的乘积。
参考答案
一、填空题：
1、提示：
，解得：
，，，∴，∴
2、提示：代入
，由韦达定理得：检验，有意义，∴
。
，，∴，解得：，
3、提示：由于韦达定理得：，，∵，
∴，∴，解得：。
4、提示：由韦达定理得：，，
；
可判定方程的两根异号。有两种情况：①设
＞0，
＜0，则
；由，
；②设＜0，＞0，则。
5、提示：由韦达定理得：，∴
。
，，∵，∴，，∴
6、提示：设得：
，
，由韦达定理得：
，即
。
，，∴，解
7、提示：设∴
，由韦达定理得：
，，∴，∴，
8、提示：设所求的一元二次方程为
，即
二、求值题：
；
，那么，，∴
；∴设所求的一元二次方程为：
1、提示：由韦达定理得：
，，∴
2、提示：由韦达定理得：，
，∴
3、提示：由韦达定理得：，，
∴
4、提示：设这两个数为
的两根，即，
，于是有，
，，因此可看作方程
，解得：
，所以可得方程：，
。
，所以所求的两个数分别是
5、提示：由韦达定理得，，∵，∴，
∴，∴
；以下分两种情况：
，化简得：；解得：，
①当程组得：
时，；②当
时，
，，组成方程组：，
，组成方程组：
；解这个方
；
解这个方程组得：
6、提示：设和
；①②得：
相同的根为，解这个方程得：；（2）当
，于是可得方程组：
；以下分。
两种情况：（1）当时，代入①得时，代入①得
所以，
。
和相同的根为，的值分别为
三、能力提升题：
1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：①判别式△≥0；②＞0，
＞0；于是可得不等式组： 解得：＞1
2、提示：（1）的判别式△
＞0，所以无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的
实数根。（2）利用韦达定理，并根据已知条件可得：
解这个关于
，所以可得
的方程组，可得到：
，解这个方程，可得：
，，
，由于；
3、提示：可利用韦达定理得出①＞0，②＞0；于是得到不等式组：
求得不等式组的解，且兼顾得：
；即可得到＞
，＞
，再由，得到
，即：
＝4
可
，接下去即可根据
4、答案：存在。
提示：因为，所以可设（）；由韦达定理得：
，
组得：①当
时，
；②当
；于是可得方程组：时，
；所以的值有两个：
解这个方程；
；
5、提示：由韦达定理得：，，则
，即，解得：
6、提示：利用求根公式可分别表示出方程和的根：
，，
∴，∴，∴，
又∵，变形得：，∴
，∴
7、解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴
解得； ∵方程（2）没有实数根，∴
解得； 于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是
其中，的整数值有或
当时，方程（1）为，无整数根； 当时，方程（1）为
。
，
有整数根。解得： 所以，使方程（1）有整数根的的整数值是
8、解：∵根。设方程的两个根为
，∴△＝， ∵
—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数
＜0∴原方程有两个异号的实数根。
9、解法一：把
当
∴方程
代入原方程，得：
时，原方程均可化为：
的另一个根为4，的值为3或—1。
即，解得：
解得
解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：
，
∵，∴把代入，可得：
∴把代入，可得：，
即解得
∴方程的另一个根为4，的值为3或—1。
10、解：∵方程有两个实数根，
∴△ 解这个不等式，得≤0
设方程两根为 则，
∵∴
∴整理得：
解得：又∵，∴
11、解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，
∴则有∴
又∵、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数假设
、
同号，则有两种可能：（1）
的关系，可得：
（2）
若， 则有： ；即有：
解这个不等式组，得∵时方程才有实树根，∴此种情况不成立。
若 ， 则有：即有：
解这个不等式组，得；又∵，∴当时，两根能同号
12、解法一：由于是方程的实数根，所以
设，与相加，得：
）
（变形目的是构造和）
根据根与系数的关系，有：
∴
=0
，于是，得：
解法二：由于、是方程的实数根，
∴∴
13、解：设两方程的相同根为， 根据根的意义，
有
两式相减，得
当时， ，方程的判别式
方程无实数解
当时， 有实数解
代入原方程，得，
所以
于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为
说明：（1）本题的易错点为忽略对认
的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默
的错误，甚至还会得出并不存在的解：
当时，，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：；
（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件：
且
另外还应注意：求得的的值必须满足这两个不等式才有意义。
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容