２０１６年３月 吕梁教育学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｖｌｉａｎｇ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ Ｍａｒ．２０１６ 第３３卷第１期（总第９５期） Ｖｏ１．３３ ＮＯ．１（Ｓｕｍ．Ｎｏ．９５） 【教学改革】 均值不等式的探讨 潘伟云 （吕梁学院离石师范分校，山西吕梁０３３０００） 摘要：均值不等式在初高等数学及其他学科中都有重要的应用价值，而均值不等式的证明 目前已有很多种不同的证明方法，本文主要介绍均值不等式几种典型的，简洁的证明，以及在初高 等数学相关问题中的应用。 关键词：均值不等式；极限；应用 中图分类号：Ｇ６３３．６ 文献标识码：Ａ 一文章编号：１６７２—２０８６（２０１６）０１—００９６—０２ 、引言 ｐ 口＋ ＝１， 则当１＜Ｐ＜∞时，成立Ｉ ａｂ Ｉ≤去Ｉ， ｏ ｌ ＋ ≤ １１ ｑ 均值不等式在不等式理论中处于核 （ｎ，ｂ≥０）心地位，在初等数学中有着重要的应用价 值。中学数学中，基本不等式是：当且仅当ａ＝ｂ时， 等号成立。（１．１） 设ａ＝（ａｌ，ａ２，…，ａ ），口 ≥０，１≤ｋ≤ｎ为ｎ １ ｌｂｌ ；当０＜ｐ＜１时，ｌ ａｂ ｌ≥古 ＋Ｊｑ－Ｉ ｂ ｌ ｑ，仅 二、均值不等式的证明 １ １ 当ｌ ｂｌ＝ｌａＩ 时等号成立。 早在公元前５００多年的毕达哥拉斯时代，就有 正数ａ ，ａ 的算术平均Ａ：（ａ）和几何平均Ｇ２（ａ）等 的概念，而Ｇ （ａ）≤Ａ：（ａ）是欧几里得证明的。 元数组，则Ａ （口）＝÷∑ｎ 称为口 ，。 ，…，０ 的算 术平均值，Ｇ （０）≤Ｊａｌａ……０ 称为０ ，口２，…，口 的几何平均值．则有Ｇ （ａ）≤Ａ （ａ） 即—ａｔａ２＂—＂ａｎ １８２１年Ｃａｕｃｈｙ对（１．２）式用反向归纳法给出了一 个精彩的证明＿５］。此后，对ＡＧ不等式寻求各种不 同的证法，一直是人们研究的一个热点。事实上至 今已有很多种不同的证明方法，下面只介绍几种典 型的证明方法。 ＃ ，当且仅当ａ１ ＝口 ＝…＝ａ 时等号成立．（１．２） 称（１．２）为均值不等式 利用（１．２），可将和的形式缩小为积的形式，或 将积的形式放大为和的形式，因而可以叙述成两个 等价的共轭命题： 为了叙述方便，下面将（１．２）式简记为Ｇ ≤Ａ ， 并设ａ ，ａ ，…，ａ 是不全相等的正数，（因为ａ ＝ａ： …＝ａ 时等号成立），（１．２）式中两种特殊的形式 是： （１）其和为ｓ的 个正数之积，在这些数都相 等时为最大，最大值为（ｓ／ｎ） ； （２）其积为 的ｎ个正数之和，在这些数都相 等时为最小，最小值为ｎ ｉ． 引理１．１［１１ Ｙｏｕｎｇ不等式（ｐ—ｑ）：设Ｐ，ｑ＞０， 收稿日期：２０１５—０９～２５ 若Ｈ口 ＝１，则∑口 ≥ｎ；若∑０ ＝１，则 ｉｔ （ ㈦方法１ 当ｎ＝２时，归结为（ 一 ） ≥０． 关键是如何从Ｇ ≤Ａ 推出Ｇ川≤Ａ川？这里有几 作者简介：潘伟云（１９８２一），女，山西河津人，吕梁学院离石师范分校数学系讲师，研究方向：基础数学。 ９６ 种不同的技巧，例如： １）用反向归纳法：１８２１年Ｃａｕｃｈｙ巧妙的分为 两步：第一步，从ｒｔ＝ｋ时（１．２）式成立容易推出 ｎ＝ ２后时该式也成立： ±竺兰±：：：± 丝一 ２ 一 （ ｝ ＋ ≥ ÷［（ａ１口２…０ ） ＋（Ⅱ …０２ ） ］≥ ［（ａ１ｎ２…ａ ）ｉｌｋ（ａ …ａ２ ） ］ ＝ （ａ１Ⅱ２…ｎ ａ ＋１…Ⅱ２ ）ｌ／２ｋ． 由此推出凡＝２ 时（１．２）式成立。 第二步设１１，≠２ ，则必存在ｒ∈Ｎ，使得ｎ＋ｒ＝ ２ｍ Ａ ＝ （ｎ＋ｒ）ａ ｎ＋ｒ （ａｌ＋ａ２＋…＋ａ ）＋（Ａ ＋…Ａ ） ｉｒｌ，＋ｒ ≥ａｌａｚ．．．ａ，Ａ …Ａ ］ ：（ｃ：Ａ：） １ 即Ａ：”≥Ｇ：Ａ：，从而Ａ ≥Ｇ ． 另一思路是从Ａ ≥Ｇ 推出Ａ ≥Ｇ 成立，事 实上 Ａ ＝ 以 ＋Ａ ａ１＋…＋ａ ＋Ａ １７，＋ｌ ｎ＋１ ≥ １ （ａ１ａ２…ａｎＡ ） 即 ：＋１≥。ｌ…口 ，从而Ａ：≥以１…ａ ＝Ｇ：即Ａ ≥Ｇ ． 方法２令６ ＝ Ｌ，则ｂ ・６：…６ ＋ ＝１。由 Ｌ，ｎ＋１ 于｛ａ ｝不全相等，所以 ｂ ｝也不全相等，不妨设ｂ。 ＜１，６ ＞１。记ｃ＝ ａｌａｎ＋ｌ ，则由Ｇ ≤Ａ 得到ｎ＝ｎ （ Ｃ ） ≤毒＋６２＋．．Ⅲ 两边各加上ｂ。＋ｂ ＋。一 ＿，得到 ∑ｂ ≥ｎ＋ｂ。＋ｂ川一 ＝ ｎ＋１＋（１一ｂ１）（ｂ ＋ｌ一１）＞／＇ｔ＋１ 且ｐ Ｇ ＋１＜Ａ ＋１ 方法３利用Ｙｏｕｎｇ不等式： ａｌ／ｐｂ ≤（１／ｐ）ａ＋（１／ｑ）ｂ， １／ｐ＋１／ｑ＝１．１＜Ｐ＜。。． 令 ： ， ：１一＿１＝＿，口ａｎ＋１，ｂ：Ａ 得到口 ｌ／ｎ Ｐ ｎ ｑ ｎ ‘ Ａ １－＋ｌ１ ≤（１／ｎ）口 ＋ｌ＋（１—１／ｎ）Ａ ＋ｌ 记Ｇ＝０ ｌ／＋ｎ１ Ａ １＋－１ ，Ａ＝（１／ｎ）ａ ＋ｌ＋（１—１／ｎ） Ａ ＋１ Ａ ＋ｌ＝（Ａ ＋Ａ）／２≥（ＡｎＡ） ／２≥（Ｇ Ｇ） ／２＝ Ｇ：： Ａ：：：） 即Ａ ≥Ｇ ＋ 方法４ 从Ｇ ≤Ａ 证Ｇ ＋。≤ 即要证 口ｌ＋０２＋…＋ａ ＋ａｎ＋１≥ ｌ （凡＋１）（ａ１ａ２－．．ａ ａ川） 由Ｇ ≤Ａ ，只要证 （ａ１…ａ ） ＋ａ ≥ （ｎ＋１）（ａ１…ａ ） 上式可改写成： ｌ ｎ（ ） … ａ１…ｎ０ｎ＋ｌ ｎ＋１ ＋ｌ 令 二 ： 咖＋１），则上式变成？／ｎ＋ｌ＋１≥（ｎ＋１） ａｎ＋１ 令 ）＝ ＋１一（ｎ＋１） 贝Ⅱ厂（ ）＝ｎ （ｎ＋１） 一（ｒｔ＋１）眦 一 ＝ｒｔ（ｎ＋１） 一 （ 一１） 于是当 ＞１时／（ｘ）＞０，当 ＜１时厂（ ）＜０． 所以当 ＞０时ｆ（１）是最小值，即ｆ（ ）≥，（１） ＝０． 此即ｒｔｘ ＋１≥（ｎ＋１） ，而当 ＝０时肼” ＋１≥（ｎ＋１） 显然成立．所以Ｇ ≤Ａ ． 三、均值不等式的应用 例：设ｎ，ｂ，ｃ为各不相等的正数，求证：ｂｃ＋ａｃ， Ⅱ ￡， ＋—ａｂ—＞０＋ｂ＋ｃ Ｃ 分析：所证不等式两边均为三项的和，且 ｂｃ ａＣ ＋ ＞ ＝２ａ， ｂｃ ａｂ ＋——＞ ＝２ｂ Ⅱ Ｃ 以上三个不等式两边分别相加即得证。 参考文献： ［１］冉凯．均值不等式在数学分析中的应用［Ｊ］．青海师专 学报，１９９７（４）：３５—３８． ［２］李记东．均值不等式的几种运用技巧［Ｊ］．中学数学月 刊，２００８（２）：９７—９９． ［３］匡继昌．常用不等式［Ｍ］．济南：山东科学技术出版社， ２００４：２９—３４，１３６—１３７． ［４］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出 版社，２００１：２６５—２６７．