近世代数练习题题库

2020-02-11 来源：华佗小知识

§1 第一章基础知识 1 判断题：

1.1 设A与B都是非空集合，那么ABxxA且xB。（） 1.2 A×B = B×A （）

1.3 只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f1.4 如果是A到A的一一映射,则[(a)]=a。( ) 1.5 集合A到B的可逆映射一定是A到B的双射。（）

1.6 设A、B、D都是非空集合，则AB到D的每个映射都叫作二元运算。（） 1.7 在整数集Z上，定义“”：ab=ab(a,b∈Z)，则“”是Z的一个二元运算。（） 1.8 整数的整除关系是Z的一个等价关系。( ) 2

1。（）

填空题：

3.1 若A={0,1} , 则AA= __________________________________。 3.2 设A = {1，2}，B = {a，b}，则A×B =_________________。 3.3 设={1,2,3} B={a,b},则AB=_______。

3.4 设A={1,2}, 则AA=_____________________。

）

1,2，则有BA 。3.5 设集合A1,0,1；B

3.6 如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f1fa 。

3.7 设A =｛a1, a2,…a8｝，则A上不同的二元运算共有个。

3.8 设A、B是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。

3.9 设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有____________个.

3.10 ^ 3.11 设A={a,b,c}，则A到A的一一映射共有__________个. 3.12 设A={a,b,c,d,e}，则A的一一变换共有______个.

3.13 集合A的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。

3.14 设A =｛a, b, c｝，那么A的所有不同的等价关系的个数为______________。

3.15 设～是集合A的元间的一个等价关系，它决定A的一个分类：a,b是两个等价类。则ab______________。

3.16 设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果AiAj，那么

AiAj______________。

3.17 设A =｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝，规定A的等价关系～如下：a ～ b2|a-b，那么A的

所有不同的等价类是______________ 。

3.18 设M是实数域R上的全体对称矩阵的集合，～是M上的合同关系，则由～给出M的所有不同的等价类的个数是______________。

3.19 在数域F上的所有n阶方阵的集合Mn（F）中，规定等价关系~:A~B秩(A)=秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有________个。

3.20 设M100 (F)是数域F上的所有100阶方阵的集合,在M100 (F)中规定等价关系~如下：A~B秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。 3.21 - 3.22 若 M={有理数域上的所有3级方阵},A,B的等价类有_____________________个。

4 证明题：

M,定义A~B秩(A)=秩(B),则由”~”确定

4.1 设是集合A到B的一个映射，对于a,bA，规定关系“~”：

a~b(a)(b)．证明：“~”是A的一个等价关系．

4.2 在复数集C中规定关系“~”：a~b|a||b|．证明：“~”是C的一个等价关系． 4.3 在n阶矩阵的集合

Mn(F)中规定关系“~”：A~B|A||B|．证明：“~”是

Mn(F)的一个等价关系．

4.4 设“~”是集合A的一个关系，且满足：（1）对任意aA，有a~a；（2）对任意a,b,cA，若a~b,a~c,就有b~c．证明：“~”是A的一个等价关系．

1bgag．gGa~b4.5 设G是一个群，在G中规定关系“~”：存在于，使得证

明：“~”是G的一个等价关系．

【

第二章群论 1 判断题：

§ 群的定义.

1.1 设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条：

(A) G对于这个乘法运算都是封闭的； (B)a,b,cG，都有(ab)c=a(bc)成立； (C) 存在G，使得aG，都有ea=a成立； (D)aG，都存在aG，使得aa=e成立。

则G关于这个乘法运算构成一个群。 ( )

1.2 设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条： A）G对于这个乘法运算是封闭的； B）a,b,cG，都有（ab）c=a(bc)成立； C）存在erG，使得aG，都有aer=a成立； D）aG，都存在a

1G，使得a1a=er成立。

则G关于这个乘法运算构成一个群。（）

1.3 设G是一个非空集合,在G中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G对乘法运算是封闭的(2)G对乘法适合结合律(3)G对乘法适合消去律,则G构成群。 ( )

1.4 设G是一个有限非空集合,G中定义了一个代数运算称为乘法,如果(1). G对乘法运算是封闭的;(2). 乘法适合结合律与消去律,则G对所给的乘法构成一个群。( )

1.5 实数集R关于数的乘法成群。（）

1.6 ] 1.7 若G是一个n阶群,aG,|a|表示a的阶,则|a|。( ) 1.8 若 |a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。

1.9 设Q为有理数集，在Q上定义二元运算“”，ab=a+b+ab(a,bQ,则(Q,))构成一个群。（）

§ 变换群、置换群、循环群

1.10 一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。（） 1.11 一个集合A的所有变换作成一个变换群G.( ) 1.12 集合A的所有的一一变换作成一个变换群。（） 1.13 素数阶群都是交换群。（） 1.14 p（p为质数）阶群G是循环群．（） 1.15 素数阶的群G一定是循环群.( )

1.16 %

1.17

3次对称群

S3是循环群。（）

1.18 任意群都同构于一个变换群．（）

1.19 有限群都同构于一个置换群。( ) 1.20 任何一个有限群都与一个循环群同构。（） 1.21 在5次对称群

S5中，(15)(234)的阶是6.( )

1.22 在4次对称群S4中，（12）（324）的阶为6。（） 1.23 在

S5中，(12)(345)的阶是3。 ( )

1.24 任意有限群都与一个交换群同构。（）

1.25 因为22阶群是交换群，所以62阶群也为交换群。（）

1.26 6阶群是交换群。（）。

1.27 # 1.28 4阶群一定是交换群。（） 1.29 4阶群一定是循环群。（） 1.30 循环群一定是交换群。（）

1.31 设G是群，a, b∈G, |a|=2, |b|=3, 则|ab|=6。（） 1.32 14阶交换群一定是循环群。（）

1.33 如果循环群Ga中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。（） 1.34 有理数加群Q是循环群。（）

1.35 若一个循环群G的生成元的个数为2，则G为无限循环群。（） § 子群、不变子群。

1.36 若H是群G的一个非空子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一个子群。（）

1.37 ）

1.38

若H是群G的一个非空有限子集，且a,bH都有abH成立，则H是G的一

个子群。（）

1.39 循环群的子群也是循环群。（）

1.40 如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（） 1.41 一个阶是11的群只有两个子群。（） 1.42 有限群G中每个元素a的阶都整除群G的阶。（）

1.43 设G是一个n阶群，m|n，则G中一定有m阶子群存在。（） 1.44 若G是60阶群,则G有14阶子群。( )

1.45 设G是60 阶群，则G有40阶子群。（） 1.46 阶为100的群一定含25阶元。（） 1.47 阶为100的群一定含25阶子群。（） 1.48 | 1.49 阶为81的群G中，一定含有3阶元。（） 1.50 设H是群G的一个非空子集，则HGHH1H。（）

1HGHHH。（） 1.51 设H是群G的一个非空子集，则

1gG,hH;gHgH。（）GH1.52 群的子群是不变子群的充要条件为

1.53 群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集aH的个数相等. （） 1.54 指数为2的子群不是不变子群。（） 1.55 若NH,HG，则NG。( )

1.56 若N是群G的不变子群,N是群N的不变子群,则N是G的不变子群。( )

1.57 设H≤G，K≤G，则HK≤G。（） 1.58 若NN，HG那么NHG。（）

§ 商群、群的同态定理。

1.59 群之间的同态关系是等价关系。（） 1.60 循环群的商群是循环群。（）

1.61 设f：GG是群G到群G的同态满射，a∈G，则a与f (a)的阶相同。（） 1.62 设G是有限群，H≤G，则|GH||G|。（） |H|1.63 若

是群G到G的同态满射，N是G的一个不变子群，则（N）是G的不变

GG子群，且

N(N) 。 ( )

1.64 设f 是群G到群G的同态映射，HG，则 f(H) G。（） 1.65 设f 是群G到群G的同态映射， H≤G 则 f(H)≤G。（） 1.66 若是群G到的一个同态满射,N是G的一个不变子群,则(N)是的不变子群,且~。 1.67 )

1.68

若是群G到的同态满射,是的一个不变子群,()表示N的原象,则()是G不变子群,且

。( )

(N)，则NG,且G/NG/N。

1.69 设G和G都是群，GG, NG, N=

1

（） 2 填空题：

－

2.1 在群G中，a，b∈G，a 2 = e，a1ba = b2，则|b| =_________________。

－

2.2 在交换群G中，a，b∈G，|a| = 8，|b| = 3，则|a2 b | =_________________。 2.3 设a是群G的元,a的阶为6，则a4的阶为___________________。 2.4 设a是群G中的一个8阶元,则a的阶为________。

2.5 设G是交换群，a、bG, |a|=5, |b|=7,则|ab|=_____________。 2.6 群AG中有_____个1阶元。

2.7 在S5中，4阶元的个数为_____________。

2.8 ） 2.9 在S4中，3阶元的个数为_____________。 2.10 设G为群，aG，若

a12，则

a8_______________。

2.11 设群G=｛e，a1，a2，…，an-1｝，运算为乘法，e为G的单位元，则a1n =___. 2.12 若a,b是交换群G中的5阶元和72阶元, 则ab的阶为____________。 2.13 在整数加群Z中，<4>∩<6> =_________________。

2.14 10阶交换群G的所有子群的个数是_________________。

2.15 阶数最小的非交换群的阶数是_________。一个有限非可换群至少含有____________个元素.

2.16 任意群G一定同构于G的一个_____________。 2.17 n次对称群Sn的阶是_______。

2.18 9-置换123456789分解为互不相交的循环之积是_______。 5439618272.19 <

2.20 n阶有限群G一定_____________置换群。

2.21 每一个有限群都与一个__________群同构。

S31254为5上的元素，则1＝__________。 2.22 已知

2.23 给出一个5-循环置换(31425)，那么112345_________________。

2.24 在4次对称群S4中，(134)2(312)-1=______.

－

2.25 在4次对称群S4中，（24）（231）＝_____________ ，（4321）1＝_____________，（132）的阶为_____________。

2.26 在6次对称群S中,(1235)(36)=____________。

2.27 (2431)

1=__________。

2.28 设群G的元a的阶是n，则ak的阶是________.

2.29 设群G中元素a的阶为m，如果ae，那么m与n存在整除关系为______。 2.30 ：

2.31

n 已知群G中的元素a的阶等于50，则a的阶等于_____________。

42.32 设G(a)为循环群，那么（1）若a的阶为无限，则G同构于___________，（2）若a的阶为n，则G同构于____________。

2.33 若群G是一个6阶循环群,则G与（模6剩余类同构）____________________同构。 2.34 设G=a是循环群，则G与模n的剩余类加群同构的充要条件是_____________。 2.35 整数加群(Z,+)的两个生成元是___+1和-1________。 2.36 整数加群Z有__________个生成元.

2.37 整数加群(Z, +)的生成元是____________。

2.38 无限循环群G=(a)的生成元为_a的逆___________。

2.39 无限循环群G中能作为G的生成元的元素共有 _____________ 个。

2.40 若G=(a)是一个无限循环的乘法群,则G的另一个生成元是______a的逆元____。 2.41 、 2.42 剩余类加群Z共有__4_____个元可作为它的生成元。

2.43 16阶循环群G中能作为G的生成元的元素的个数为___8______。 2.44 模10<1379>剩余类加群(Z,+)中能作为Z的生成元的元素有__________。

2.45 设G=a是12阶循环群，则G的生成元是_____________。

2.46 设G是一个p阶群，其中p是一个素数，m是一个正整数，则G的真子群的一切可能的阶数是_____________。

2.47 设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有____________个. 2.48 剩余类加群Z12有_________个生成元.

2.49 设H是群G的非空子集,则H是G的子群的充要条件是________________。 2.50 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群有________________。

2.51 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为________________，子群H=< a3>的在G中的指数是________________ 。

2.52 *

2.53

设

A1,A2为群G的子群，则A1A2是群G的子群的充分必要条件为___________。

2.54 设H是群G的子群，a,bG，则HaHb________________。

2.55 在3次对称群S3中，H＝{(1)，(12)}是S3的一个子群，则H (23)＝______．

2.56 在3次对称群S3中，H = {（1），（23）}，则S3对H的右陪集分解式是____________。 2.57 S3的子群H1,123,132的一切右陪集_________________。 2.58 G=(a)是21阶群，H＝(a)．则[G:H]=________________。

2.59 凯莱定理说：任一个子群都同一个________________ 同构。 2.60 凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。

2.61 设G是群，N是G的非空子集，则N△G的充要条件是_________________。 2.62 6阶循环群有_________个子群.

2.63 ，

－

2.64 设G是由a生成的30阶循环群，H = ，则G/H =_________________。 2.65 设G＝(a)是10阶群，H＝(a),则

33GH＝________。

1((S))________。 SAA，2.66 设：A，则

2.67 16阶循环群G中能作为G的生成元的元素的个数为____________。

1((a))＝________。

2.68 设：AA，aA，则

2.69 模10的剩余类加群Z10的生成元为________________。

15a2.70 设a 是群G中的一个6阶元，则的阶为________________。

2.71 一个6 阶的非交换群G中的非单位元的阶一定是________________ 。 2.72 剩余类加群(Z12,)中能作为它的生成元的元素有________________。 2.73 设G是群，a, b∈G, |a|=12, 则|ba10b-1| =_________________。 2.74 ：

2.75

设G是一个20阶的交换群，a∈G, |a|=2, 则 G/ ≌_________________。

2.76 在整数加群Z中，HZ,

H1，则H_________________。

2.77 在整数加群Z中，H4则[G：H] =_________________。 2.78 在12阶循环群G中，G=，H=，则H=_________________。 2.79 在4次对称群S4中，S=｛(123)｝,则~~=_________________。 2.80 在S5中，=(235)(13)(24),则~~

~~G=_________________。~~

~~2.81 21阶群G中，7阶子群的个数为_________________。 2.82 设NG，商群~~

~~GN中的单位元是_________________。~~

~~Z24HZ8,则[a]= _________________。~~

~~2.83 在Z24中，HZ24,H=<[a]>,~~

~~ZZ3Z2.84 在整数加群Z中，H=,H则a =______________。~~

~~2.85 %~~