1.
已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD的长.
时间：2021.03.04
A 创作：欧阳地 B
D
C
解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC
在△ACD和△BDE中 AD=DE
∠BDE=∠ADC BD=DC
∴△ACD≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE中 AB-BE＜AE＜AB+BE ∵AB=4
即4-2＜2AD＜4+2 1＜AD＜3
欧阳地创编
欧阳地创编
∴AD=2
2.
已知：BC=ED，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2
证明：连接BF和EF
∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE
在三角形BEF中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF。 ∵∠ABC=∠AED。 ∴∠ABE=∠AEB。 ∴ AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中 AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形
ABF
和三角形
AEF
全等∴∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
3.
已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
欧阳地创编
。欧阳地创编
A 1 2 F C D E B 过C作CG∥EF交AD的延长线于点G
，
可
得＝
＝
∠GDC
（
对
顶
角
，
∠EFD
＝
CGD DC ）
CG∥EFDE∠FDE
∴△EFD≌△CGD EF∠CGD又∴∠1=∠2 ∴∠CGD∴△AGCAC又∴EF＝AC
4.
＝＝，
，
∠EFD
＝
CG ∠EFD EF∥AB ∠1
＝
为
等
腰＝
EF
＝三
角
形
∠2 ， CG CG
已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C
A
欧阳地创编
欧阳地创编
证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD
∴△AED≌△ACD （SAS） ∴∠E＝∠C ∵AC＝AB+BD ∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E
∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C
5.
已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
证明：
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF ∵CE⊥AB
欧阳地创编
欧阳地创编
∴∠CEB＝∠CEF＝90° ∵EB＝EF，CE＝CE， ∴△CEB≌△CEF(SAS) ∴∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° ∴∠D＝∠CFA ∵AC平分∠BAD ∴∠DAC＝∠FAC ∵AC＝AC
∴△ADC≌△AFC（SAS） ∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
6. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 在BC上截取BF=AB，连接EF ∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD
欧阳地创编
欧阳地创编
∴∠A+∠D=180º
∵∠BFE+∠CFE=180º
∴∠D=∠CFE
又∵∠DCE=∠FCE , CE平分∠BCD ,CE=CE ∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS） ∴CD=CF
∴BC=BF+CF=AB+CD
7.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C 证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，则：△AED是等腰三角形。 ∴AE=DE 而AB=CD ∴BE=CE
∴△BEC是等腰三角形 ∴∠B=∠C.
8.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求PB 取点 使AE＝AB∵AE ＝ABAP ＝AP∠EAP ＝ ∴△EAP≌△BAP 欧阳地创编 证：E PC-，。， ∠BAE 欧阳地创编 ∴PEPC∴PC ＜ ＜（ ＝ ECAC － PB ＋AE ） ＋ 。 PE PB ∴PC－PB＜AC－AB。 9.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE 证明：延长 BE 交 AC 于点 F,可证 △ABE≌△AFE∴∠ABE=∠AFE,AB=AF,BE=FE∴AC – AB =FC,FB=2BE ∵∠ABC=3∠C ∴∠ABE+∠FBC=3∠C∴∠AFB+∠FBC=3∠C ∵∠AFB=∠C+∠FBC ∴∠C+∠FBC+∠FBC=3∠C ∴∠FBC=2∠C 即∠FBC=∠C ∴FB=FC ∴AC-AB=FB=2BE 10．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC 欧阳地创编 ． 欧阳地创编 解：延长 AD∴△BDC 至是 BC等 于腰 三 点角 E, 形 ∵BD=DC ∴∠DBC=∠DCB 又 即 ∴△ABC ∴AB=AC 在 ｛ ∠1=∠2 BD=DC ∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边） ∴∠BAD=∠CAD ∴AE 是 △ABC 的 中 垂 线 △ABD 和 △ACD 中 AB=AC 是 等 腰 三 ∵∠1=∠2 ∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2 ∠ABC=∠ACB 角 形 ∴AE⊥BC ∴AD⊥BC 11．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N． 求证：∠OAB=∠OBA 证明： ∵OM平分∠POQ 欧阳地创编 欧阳地创编 ∴∠POM＝∠QOM ∵MA⊥OP，MB⊥OQ ∴∠MAO＝∠MBO＝90 ∵OM＝OM ∴△AOM≌△BOM （AAS） ∴OA＝OB ∵ON＝ON ∴△AON≌△BON （SAS） ∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB＝180 ∴∠ONA＝∠ONB＝90 ∴OM⊥AB 12.如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 做BE的延长线，与AP相交于F点， ∵PA//BC ∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线 ∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形 在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线 ∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 欧阳地创编 欧阳地创编 在三角形DEF与三角形BEC中， ∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB， ∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC 13.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B 延 长 AC 到 E 使AE=AC 连接 ED ∵ AB=AC+CD ∴ 可得∠B=∠E △CDE∠ACB=2∠B 14．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点， （1）求证：△AED≌△EBC． （2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： 证明： 为 等 腰 CD=CE 欧阳地创编 欧阳地创编 ∵DC∥AB ∴∠CDE＝∠AED ∵DE＝DE，DC＝AE ∴△AED≌△EDC ∵E为AB中点 ∴AE＝BE ∴BE＝DC ∵DC∥AB ∴∠DCE＝∠BEC ∵CE＝CE ∴△EBC≌△EDC ∴△AED≌△EBC 15.如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证： BD=2CE． 证 ∵∠CEB=∠CAB=90° 明 ： 欧阳地创编 欧阳地创编 ∴ABCE四点共元 ∵∠ABE=∠CBE ∴AE=CE ∴∠ECA=∠EAC 取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG ∴∠GAB=∠ABG 而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等） ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而：AC=AB ∴△AEC≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE 16、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。 证明：∵DF=CE，∴DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在△AED和△BFC 中，∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF （ SAS ） ∴△AED≌△BFC 17.如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。 求证：AM是△ABC的中线。 欧阳地创编 欧阳地创编 证明： ∵BE‖CF ∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM ∴AM是△ABC的中线. 18.如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。 ∵△ABD 和 △BCD 的 三 条 边 都 相 等 ∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD ∴∠ADB=∠CDB=90°∴BD⊥AC 19.AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF 在△ABD与△ACD中 AB=AC BD=DC AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC 欧阳地创编 欧阳地创编 ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF ∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC 20.如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。 ∵AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB ∴△ABE=△CDF ∵∠DCB=∠ABF AB=DC BF=CE △ABF=△CDE ∴AF=DE 21.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上. 欧阳地创编 欧阳地创编 证∵AB∥CD 明：连接EF ∴∠B=∠C ∵M∴BM=CM 在BE=CF ∠B=∠C BM=CM ∴△BEM≌△CFM∴CF=BE 22．已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF． ∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵DF//BE,∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等）∵BE=DF∴：△ABE≌△CDF（SAS） 23.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。 D E A F B C是BC中点 △BEM和△CFM中 （SAS） 欧阳地创编 欧阳地创编 连 ∵AB=ADBC=D 接BD； ∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;两角相加，∠ADC=∠ABC； ∵BC=DCE\\F∴DE=BF∵AB=ADDE=BF ∠ADC=∠ABC ∴AE=AF。 24．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6． 证明： 在△ADC，△ABC中 ∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA ∴△ADC≌△ABC（两角加一边） ∵AB=AD，BC=CD 在△DEC与△BEC中 ∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD ∴△DEC≌△BEC（两边夹一角） ∴∠DEC=∠BEC 25．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF． 欧阳地创编 是中点 ； 欧阳地创编 ∵AD=DF ∴AC=DF ∵AB//DE ∴∠A=∠EDF 又 ∴∠F=∠BCA ∴△ABC≌△DEF（ASA） 26．已知：如图，AB=AC，BDAC，CE AB，垂足分别为 D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD． C D F E A 证明∵BD⊥AC ∴∠BDC=90° ∵CE⊥AB ∴∠BEC=90° ∴∠BDC=∠BEC=90° ∵AB=AC ∴∠DCB=∠EBC ∴BC=BC ∴Rt△BDC≌Rt△BEC（∴BE=CD 欧阳地创编 ∵BC//EF：AAS) 欧阳地创编 27.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。 求证：DE=DF． A E F B D C 证∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠EAD=∠FAD ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BFD=∠CFD=90° ∴∠AED与∠AFD=90° 在△AED与△AFD中 ∠EAD=∠FAD AD=AD ∠AED=∠AFD ∴△AED≌△AFD（AAS） ∴AE=AF 在△AEO与△AFO中 ∠EAO=∠FAO AO=AO 欧阳地创编 ： 明欧阳地创编 AE=AF ∴△AEO≌△AFO∴∠AOE=∠AOF=90° ∴AD⊥EF 28.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC=AE．若AB=5 ,求AD的长？ A D （SAS） E B C ∵AD⊥AB ∴∠BAC=∠ADE 又 ∵AC⊥BC 于 C ， DE⊥AC 于 E 根据三角形角度之和等于180度 ∴∠ABC=∠DAE ∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA）∴AD=AB=5 29．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC 证∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵ME⊥AB，MF⊥AC 明 ： 欧阳地创编 欧阳地创编 ∴∠BEM=∠CFM=90° 在△BME和△CMF中 ∵∠B=∠C ∠BEM=∠CFM=90° ME=MF ∴△BME≌△CMF（AAS） ∴MB=MC． 30．在△ABC中，，且 于， ， ，直线 经过点绕点 ； 于.(1)当直线 ≌ 旋转到图1的位置时，求证： ①②(2)当直线 ； 绕点旋 转到图2的位还成立吗？若不成立，说明 置时，（1）中的结论成立，请给出证明；若理由. （ 1 ） ①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°， ∴∠CAD+∠ACD=90°∠ACD+∠BCE=90°． ∴∠CAD=∠BCE． ∵AC=BC， ∴△ADC≌△CEB． ②∵△ADC≌△CEB， ， ∠BCE+∠CBE=90° ， 欧阳地创编 欧阳地创编 ∴CE=AD，CD=BE． ∴DE=CE+CD=AD+BE． （2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠CBE． 又∵AC=BC， ∴△ACD≌△CBE． ∴CE=AD，CD=BE． ∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE 31．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF F E A M B C （1）∵AE⊥AB，AF⊥AC， ∴∠BAE=∠CAF=90°， ∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC， 即∠EAC=∠BAF， 在△ABF和△AEC中， ∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC， ∴△ABF≌△AEC（SAS）， 欧阳地创编 AE=AB，AF=AC。欧阳地创编 ∴EC=BF； （2）如图，根据（1），△ABF≌△AEC， ∴∠AEC=∠ABF， ∵AE⊥AB， ∴∠BAE=90°， ∴∠AEC+∠ADE=90°， ∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等）， ∴∠ABF+∠BDM=90°， 在△BDM90°=90°， ∴EC⊥BF． 32．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。 证明： （1） ∵BE⊥AC，CF⊥AB ∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90° ∴∠ABM=∠ACN ∵BM=AC，CN=AB ∴△ABM≌△NAC ∴AM=AN 中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°- 欧阳地创编 欧阳地创编 （2） ∵△ABM≌△NAC ∴∠BAM=∠N ∵∠N+∠BAN=90° ∴∠BAM+∠BAN=90° 即∠MAN=90° ∴AM⊥AN 33．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.证:BC∥EF 在△ABF和△CDE中 ,AB=DE ∠A=∠D AF=CD ∴△ABF≡△CDE（边角边） ∴FB=CE 在四边形BCEF中 FB=CE BC=EF ∴四边形BCEF是平行四边形 ∴BC‖EF 34．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB欧阳地创编 求和 欧阳地创编 ∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由 在AB上取点N ,使得AN=AC ∵∠CAE=∠EAN ∴AE ∴△CAE≌△EAN ∴∠ANE=∠ACE 又∵AC平行BD ∴∠ACE+∠BDE=180 而∠ANE+∠ENB=180 ∴∠ENB=∠BDE ∠NBE=∠EBN ∵BE 为 公 共 边 为 公 共 , ∴△EBN≌△EBD ∴BD=BN ∴AB=AN+BN=AC+BD 35.如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF． 证 明 ： ∵AD是△ABC的中线 BD=CD ∵DF=DE（已知） ∠BDE=∠FDC ∴△BDE≌△FDC 则∠EBD=∠FCD ∴BE∥CF 欧阳地创编 欧阳地创编 （内错角相等，两直线平行）。 36.已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，． 求证： ． D C F E A B 证明： ∵DE⊥AC，BF⊥AC ∴∠CED=∠AFB=90º 又∵AB=CD，BF=DE ∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL） ∴AF=CE ∠BAF=∠DCE ∴AB//CD 37.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：∵,∠3=∠4 ∴OB=OC 在△AOB和△DOC中 ∠1=∠2 OB=OC 欧阳地创编 AB=CD 欧阳地创编 ∠AOB=∠DOC △AOB≌△DOC ∴AO=DO AO+OC=DO+OB AC=DB 在△ACB和△DBC中 AC=DB ,∠3=∠4 BC=CB △ACB≌△DBC ∴AB=CD 38.如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论. C D CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。 A E B 证明： 过D作AE平行线与AC交于F，连 接FB 由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。 RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90° ∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90° △DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180°-∠FDB)/2>45° 欧阳地创编 欧阳地创编 RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF <45° ∠AFB=90°-∠FBA>45° ∴AB>AF ∵AB=CE AF=DE ∴CE>DE 39.(10A 分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求D 证：AE＝DE. ∵AB=DC,AC=DB，BC=BC B E C ∴△ABC≌△DCB， ∴∠ABC=∠DCB 又∵BE=CE，AB=DC ∴△ABE≌△DCE ∴AE=DE 40．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE． C F A 图9 E D B 作则 CG⊥AB,交AD于H, ∠ACH=45º,∠BCH=45º∵∠CAH=90º-∠CDA, 欧阳地创编 欧阳地创编 ∠BCE=90º-∠CDA ∴∠CAH=∠BCE又∵AC=CB, 又 ∠ACH=∠B=45º∴△ACH≌△CBE, ∵∠DCH=∠B=45º, CD=DB∴△CFD≌△BED∴∠ADC=∠BDE 时间：2021.03.04 ∴CH=BE 创作：欧阳地 欧阳地创编 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容