专题01 抽象问题有形化,破解抽象函数难题(原卷版)

第一篇 函数与导数

专题01 抽象问题有形化，破解抽象函数难题

一．方法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征式子的一类函数．由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，使多数学生感觉无从下手，望而生畏．事实上，解决此类问题时，只要准确掌握函数的基本性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题，问题就迎刃而解了．具体的可概括为函数性质法、赋值法和构造函数法.

二．解题策略

类型一 函数性质法

【例1】【2020届重庆一高一模】已知定义在R上的函数fx满足fx3偶函数，若fx在0,3内单调递减，则下面结论正确的是（ ） A．f4.5＜f3.5＜f12.5 C．f12.5＜f3.5＜f4.5

【指点迷津】

1.先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质，这样函数就不再抽象了，而是变得相对具体，我们就可以画出符合性质的草图来解题. 2.解决抽象函数问题常用的结论 (1)函数y＝f(x)关于x＝

B．f3.5＜f4.5＜f12.5 D．f3.5＜f12.5＜f4.5

1，且yfx3为fxab对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)． 2特例：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；

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函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．

(2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b. 特例：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0； 函数y＝f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．

(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于(a,0)对称．

(4)对于函数f(x)定义域内任一自变量的值x： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； ②若f(x＋a)＝

1，则T＝2a； f(x)1，则T＝2a；(a>0) f(x)③若f(x＋a)＝－

④若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，则T＝|a－b|；

⑤若f(2a－x)＝f(x)且f(2b－x)＝f(x)(a≠b)，则T＝2|b－a|.

（5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．

【举一反三】【2020届湖北荆门一中一模】f(x)是定义在实数集R上的奇函数，xR，f(1x)f(1x)，若f（1）1，则f（1）22f（2）32f（3）102f(10) ．

类型二 赋值法

【例2】【2020届洛阳一高一模】若函数fx满足对其定义域内任意

x1，x2，都有fx1x2fx1fx21成立.

（1）求h1的值； （2）求h1111hLhhh1h2h3Lh2018的值.

2018201732【指点迷津】

根据对题目给出的抽象的函数性质的理解，将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，我们找到一个符合题意的具体函数或给变量赋值，把抽象函数问题化为具体的数学问题，从而问题得解.

2020届山西运城一中期末】【举一反三】【定义在R上的函数fx满足f00，且当x0时，fx1，

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对任意a，bR，均有fabfafb． （1）求证：对任意xR，恒有fx0； （2）求证：fx是R上的增函数；

2（3）若fxf2xx1，求x的取值范围．

类型三 构造函数法

【例3】【2020届湖南株洲一高一模】已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，对任意x(0,)，

有f(x)sinxf(x)cosx，且f(x)f(x)0.设a2f,b2f,cf，则642（ ） A．abc 【指点迷津】

导数、不等式、函数相结合的问题,往往考查函数的单调性、大小比较、解不等式等,问题的关键点在于利用好已知条件中含有原函数和它的导函数的式子,考虑用构造函数法，通过构造函数,使抽象函数问题具体化.如本题从f(x)+f'(x)<0出发，联想构造函数

单调性，进一步达到比较大小的目的. 一般：（1）条件含有

，就构造

，（3）

，就构造

,从而可以用上已知条件来判断函数，就构造

，（4）

,（2）若就构造

B．bca

C．acb

D．cba

，等便于给出导数时联想构造函数.

【举一反三】【2020届福建泉州一中期末】已知定义在R上的连续函数fx满足fxf4x，且

f20，fx为函数fx的导函数，当x2时，有fxfx0，则不等式xfx0的

解集为（ ） A．0,6 C．,2

B．2,0

D．,2U0,6

三．强化训练

1．【2020届安徽庐山阳一中期末】已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(x)f(2x)，则f（1）f（2）f（3）f(20)( )

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A．20 B．0 C．2 D．20

2.【2020届重庆广益中学校月考】已知函数fx是定义在R上的偶函数，且在0,上是增函数，若对任意x1,，都有fxaf2x1恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．2,0

B．,8 C．2, D．,0 3.【2020届广东惠州中学模拟】已知定义在R上的偶函数fx满足f1xf1x，且当0x2时，

fxx3x，则在区间0,6上函数yfx的图象与x轴的交点的个数为（ ）

A．6

B．7

C．8

D．9

4．【2020届浙江高三专练】已知函数yfx是定义域为R的偶函数，且fx在0,上单调递增，则不等式f2x1fx2的解集为（ ） A．1,1 C．1,

B．,1U1, D．0,1

5.【2020届河北高三月考】定义在R上的偶函数f(x)满足f(x3)f(x)，对x1,x2[0,3]且x1x2，

f(x1)f(x2)0，则有（ ） 都有

x1x2A．f(49)f(64)f(81) B．f(49)f(81)f(64) C．f(64)f(49)f(81) D．f(64)f(81)f(49)

6.【2020届江西抚州二中期末】已知对任意实数x都有fx3efx，f01，若不等式

xfxax2（其中a1）的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是（ ）

A．41, 3e2B．4,1 3eC．74, 24e3eD．71, 24e27.【2020江西南临川二中一模】已知f(x)是定义域为(,)的奇函数，满足f(1x)f(1x)，若f（1）

2，则f（1）f（2）f（3）f(2020)( )

A．50

B．2

C．0

D．50

8.【2020届甘肃甘南一中期末】定义在实数集R上的不恒为零的偶函数f(x)满足xf(x2)(x2)f(x)，则f[f(2019)] ．

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9．【2020届江苏盐城一中期末】）已知定义在(0,)上的函数f(x)的导函数为f(x)，且xf(x)f(x)0，

则

(x1)f(x1)f(3)的解集为________.

310.【山西大学附属中学2019届9月诊断】已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，当且仅当0(1)f(x)为奇函数；

(2)f(x)在(－1，1)上单调递减

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