2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n
这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。
推导过程
关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法(第一数学归纳法或反向归纳法)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：
(注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。)
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
引理：设A≥0，B≥0，则，且仅当B=0时取等号。
注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)(或用二项展开公式更为简便)。
原题等价于：
当且仅当时取等号。
当n=2时易证;
假设当n=k时命题成立，即 , 当且仅当时取等号。那么当n=k+1时，不妨设是中最大者，则
设
根据引理
当且仅当且时，即时取等号。
利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等等方法。