数量关系数学运算：数的拆分
2024-08-17
来源：华佗小知识
中数的拆分问题是公务员考试常考的题型之一，考察对数的基本特性的掌握，通常此类问题都比较灵活。一般来说此类问题整体难度不大，但常用的代入法等将不再实用，故掌握方法就变得特别重要。专家为您介绍几种解析方法：
1.分解因式型：就是把一个合数分解成若干个质数相乘的形式。运用此方法解题首先要熟练掌握如何分解质因数，还要灵活组合这些质因数来达到解题的目的。
【例】20^n是2001*2000*1999*1998*……*3*2*1的因数，自然数n最大可能是多少？
A.499 B.500 C.498 D.501
【解析】20^n=5*2*2的N次方，显然2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中，能分解出来的2个个数要远远大于5的个数，所以2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中最多能分解多少个5也就是N的最大值，由此计算所求应为【2001÷5】+【2001÷25】+【2001÷125】+【2001÷625】=400+80+16+3=499。
2.已知某几个数的和，求积的最大值型：基本原理：a2+b2≧2ab，（a，b都大于0，当且仅当a=b时取得等号）推 论：a+b=K（常数），且a，b都大于0，那么ab≦（（a+b）/2）2，当且仅当a=b时取得等号。此结论可以推广到多个数的和为定值的情况。
【例】3个自然数之和为14，它们的的乘积的最大值为（ ）
A.42 B.84 C.100 D.120
【解析】若使乘积最大，应把14拆分为5+5+4，则积的最大值为5×5×4=100。也就是说，当不能满足拆分的数相等的情况下，就要求拆分的数之间的差异应该尽量的小，这样它们的乘积才能最大，这是做此类问题的指导思想。下面再举一列大家可以自己体会。
3. 排列组合型： 运用排列组合知识解决数的分解问题。要求对排列组合有较深刻的理解，才能达到灵活运用的目的。
【例】 学校准备了1152块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？
A.1152 B.384 C.28 D.12
【解析】本题实际上是想把1152分解成两个数的积。1152=1×1152=2×576=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×96=16×72=18×64=24×48=32×36，故有12种不同的拼法。
解法二：（用排列组合知识求解）
由1152=27×32，那么现在我们要做的就是把这7个2和2个3分成两部分，当分配好时，那么长方形的长和宽也就固定了。
具体地： 1）当2个3在一起的时候，有8种分配方法（从后面有0个2一直到7个2）； 2）当两个3不在一起时，有4种分配方法，分别是一个3后有0，1，2，3个2。故共有8+4=12种。
解法三：若1152=27×32，那么1152的所有乘积为1152因数的个数为（7+1）×（2+1）=24个，每两个一组，故共有24÷2=12组。
下面谈谈如何利用确定“中间数”法解将一个整数分拆成若干个连续数的问题。
那么什么是“中间数”呢？其实这里的“中间数”也就是平均数。有的“中间数”是答数中的一个，如：1、2、3、4、5中的“3”便是；也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的，并不是答数中的一个，如：4、5、6、7这四个数的“中间数”即为“5.5”。由此我们可知，奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数，而偶数个连续自然数的“中间数”则为小数，并且是某个数的一半。
把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题
【例】把2000分成25个连续偶数的和，这25个数分别什么？
【解析】这道题如果一个一个地试，岂不是很麻烦，我们先求中间数：2000÷25=80，那么80的左边有12个数，右边也有12个数，再加上80本身，正好是25个数，我们又知相邻两个偶数相差2，那么这25个偶数中最小的便为：80—12×2=56，最大的为：80+12×2=104，故所求的这25个数为：56、58、……、80、……、102、104。
把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式
【例】84分拆成2个或2个以上连续自然数的和，有几种？分别是多少？
【解析】我们先把84分解质因数，84=2×2×3×7由分解式可以看出，84的不同质因数有2、3、7，这就说明能把84分拆成2、3、7的倍数个不同连续自然数的和，但是我们必须明确，有的个数是不符合要求的，例如把84分拆成2个连续自然数的和，无论如何是办不到的，那么我们不妨把其分拆为3、7、8（2×2×2）个连续自然数的和。
分拆为3个连续自然数的和：（2×2×3×7）÷3=28 ，确定了“中间数”28，再依据例2的方法确定其它数，所以这三个数是27、28、29。
同理，分拆为7个连续自然数的和：（2×2×3×7）÷7=12 ，它们是9、10、11、12、13、14、15。
分拆为8（2×2×2）个连续自然数的和：（2×2×3×7）÷8=10.5 ，它们是7、8、9、10、（10.5）、11、12、13、14。其它情况均不符合要求。
再将此题引伸一步，怎样判断究竟有几种分拆方式呢？就84而言，它有三种分拆方法，下面我们看84的约数有：1、2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84。其中大于1的奇约数恰有三个。于是可以得此结论：若一个整数（0除外）有n个大于1的奇约数，那么这个整数就有n种分拆成2个或2个以上连续自然数的和的方法。
450=2*3*3*5*5，大于1的奇约数为3，5，9，15，25，45，75，225一共8个，则共有8种拆分方法。
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