数量关系数学运算：剩余定理
2024-08-17
来源：华佗小知识
公务员考试行测试题题型包括多种题型，本文解析剩余定理解析方法：
例1、一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？
解析：题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。
为了使20被3除余1，用20×2=40；
使15被4除余1，用15×3=45；
使12被5除余1，用12×3=36。
然后，40×1＋45×2＋36×4=274，
因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。
例2、一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？在1000内符合这样条件的数有几个。？
解析：题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。
为了使56被3除余1，用56×2=112；
使24被7除余1，用24×5=120。
使21被8除余1，用21×5=105；
然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，
因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。
再用（1000-53）/168得5, 所以在1000内符合条件的数有6个。
例3、一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。
解析：题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。
为了使88被5除余1，用88×2=176；
使55被8除余1，用55×7=385；
使40被11除余1，用40×8=320。
然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，
因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。
剩余定理题目其实就是数学运算中的“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。以下是总结剩余定理的余数解题方法：
例4.一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？
解法：题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 。看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7＋4＝46。下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足
“被6除余4，被7除余4”的条件。
46＋42＝88
46＋42＋42＝130
46＋42＋42＋42＝172
例5.在国庆50周年仪仗队的训练营地，某连队一百多个战士在练习不同队形的转换。如果他们排成五列人数相等的横队，只剩下连长在队伍前面喊口令。如果他们排成七列这样的横队，只有连长仍然可以在前面领队，如果他们排成八列，就可以有两个作为领队了。在全营排练时，营长要求他们排成三列横队。
以一哪项是最可以出现的情况？
A.该连队官兵正好排成三列横队。
B.除了连长外，正好排成三列横队。
C.排成了整齐的三列横队，加有两人作为全营的领队。
D.排成了整齐的三列横队，其中有一人是其他连队的
解析：这个数符合除以5余1，除以7余1，除以8余2；
符合除以5余1，除以7余1的最小数为36，那么易知符合除以5余1，除以7余1，除以8余2为106，106÷3=35余1，所以选B。
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