法律分析:正确的程序是:
用人单位提前一个月通知合同到期人员,征询他们是否愿意续签劳动合同,如果愿意,则签订新的劳动合同。如果不愿意,旧的劳动合同的期限到期时,合同自然终止。老员工也可以在劳动合同到期前,与用人单位协商续签劳动合同。
法律依据:《中华人民共和国劳动合同法》
第三条 订立劳动合同,应当遵循合法、公平、平等自愿、协商一致、诚实信用的原则。依法订立的劳动合同具有约束力,用人单位与劳动者应当履行劳动合同约定的义务。
第十条 建立劳动关系,应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系,未同时订立书面劳动合同的,应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。用人单位与劳动者在用工前订立劳动合同的,劳动关系自用工之日起建立。
第三十六条 用人单位与劳动者协商一致,可以解除劳动合同。