高一年段数学培优教材第一讲二次函数

一、基础知识：

1． 二次函数的解析式

（1）一般式：f(x)ax2bxc(a0) （2）顶点式：f(x)a(xh)2k，顶点为(h,k) （3）两根式：f(x)a(xx1)(xx2) 2．二次函数的图像和性质

b4acb2（1）f(x)axbxc(a0)的图像是一条抛物线，顶点坐标是(,)，对称轴方程为

2a4a2xb，开口与a有关。 2abb ]上为减函数，在[,)上为增函数；a0时相反。

2a2a（3）奇偶性：当b0时，f(x)为偶函数。

（2）单调性：当a0时，f(x)在(,延伸：若f(ax)f(ax)对xR恒成立，则xa为f(x)的对称轴。

b4acb2（4）最值：当xR时，f(x)的最值为，当x[m,n],[m,n]时，f(x)的最值可从

2a4abb)中选取；当x[m,n],[m,n]时，f(x)的最值可从f(m),f(n)中选取。常依对2a2a称轴与区间[m,n]的位置分类讨论。 f(m),f(n),f(3．三个二次之间的关联及根的分布理论：

二次方程f(x)ax2bxc0(a0)的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。 二、综合应用：

例1：已知二次函数f(x)的图像经过三点A(1,6),B(1,0),C(2.5,0)，求f(x)的解析式。

例2：设f(x)ax2bxc(a0)满足条件：（1）当xR时，f(x4)f(2x)且f(x)x，（2）当

x1x(0,2)时,f(x)， （3）f(x)在R上的最小值为0。①求f(x)的解析式。

22

例3：已知f(x)x2ax3a，若x[2,2]时，f(x)0恒成立，求a的取值范围。

例4：方程x2m1x10 在区间（0，1）内有两个不同实根，求m的取值范围。

例5：已知函数f(x)ax2bxc(a0)，方程f(x)x的两根是x1,x2,且x2x1试比较f(t)与x1的大小。

1，又若0tx1，a三、强化训练：

1．二次函数yf(x)满足f(3x)f(3x)，且f(x)0又两个实根x1,x2，则x1x2等于（ ） A . 0 B 3 C. 6 D. 12

2．已知f(x)(xa)(xb)2(ab)，并且,是方程f(x)0的两根，则实数a,b,,的大小关系可能是（ ）

B. A.abab.Cab.Da

b3．已知函数yx22x3,x[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）

A.[1,)B.[0,2]C.[1,2]D.(,2]

4．设函数f(x)x2xa(a0)，若f(m)0,则f(m1)的值的符号是________________

x(lgm2x)且lng,f(1)5．已知f(x)2f2x,(于)x一2切实数x对

都成立，则

mn______

6．已知f(x)lg(ax22x1)的值域是R，则实数a的取值范围是______________________ 7．函数f(x)log0.3(x2axa)的递增区间为(,13)，则实数a的值是______________ 8．若函数f(x)x2

9．设f(x)ax2bx1(a0),方程f(x)x0的两个根x1,x2，若x12x24，设yf(x)的对称轴为xx0，求证x01

1213在区间[a,b]上的最大值为2b，最小值为2a，求a，b。 210．已知f(x)x2ax,x[0,1],a0，求f(x)的最小值g(a)的表达式，并求g(a)的最大值。

11．是否存在二次函数f(x)，同时满足： （1）f(1)0； （2）对于一切xR都有

xf(x)1(1x2)？若存在，写出满足条件的函数的解析式；若不存在，说明理由。 2a2

参：

例1：f(x)2(x1)(x2.5)

73a(a4)a2g(a)07a2； 其中g(a)3a(4a4)

47a(a4)例2： f(x)min0例3：x(m1)x10,x[0,2]，f(2)0或m1 m-10<-2221例4：（1）由①②得：1f(1)1f(1)1；f(x)(x1)2

41（2）结合图像可以知道：m为方程(xt1)2x的两根，从而t1,m9

41例5：设tsincos,t[1,2]，原不等式化为：(x2t2)2(xat)2恒成立

81记f(x)(x2t)(xat)，则f(x)min ，

8222(ab)2(2t2at)2 ab,f(x)2222351(2t2at)22t22at30或2t22at50， at或at

2t2t821t2,(t357)min6;(t)max2t2t2a6或a72

例6：提示：f(t)x1f(t)f(x1)at2btcax12bx1ca(tx1)[a(tx1)b] f(t)x1

例7：方法同例6，本题使97年全国高考理可题。 强化训练：

1．C 2. A 3. C 4. 正 5. 110 6. [0,1] 7. a2 8. [1,9] 9．分析对称轴：（1）ba0132b（3）a0b2f(a)2af(a)2bf(a)2aa1,b3， （2）ab0无解

f(b)2af(b)2b13132b2a217,b 4f(b)2ag(2)0可以推出结论。

g(4)010．构造g(x)f(x)xax2(b1)x1,11．同例2解法 12．f(x)1211xx 4241111f(1)abcf(1)abc444411b313．f(0)cf()f(1)f(0)

244411b11bf()acf()ac24224211b4f()f(1)3f(0)|b|4|f()||f(1)|3|f(0)|8，所以A的最小值为8

2214．略