数学模型实验报告

模型⼀

数学建模之⾬中⾏⾛问题模型摘要：

考虑到降⾬⽅向的变化，在全部距离上尽⼒地快跑不⼀定是最好的策略。试建⽴数学模型来探讨如何在⾬中⾏⾛才能减少淋⾬的程度。若⾬是迎着你前进的⽅向向你落下，这时的策略很简单，应以最⼤的速度向前跑；若⾬是从你的背后落下，你应控制你在⾬中的⾏⾛速度，让它刚好等于落⾬速度的⽔平分量。① 当αsin r v <时,淋在背上的⾬量为[]v vh rh pwD -αsin ,⾬⽔总量()[]v v r h dr pwD C -+=ααsin cos .

② 当αsin r v =时,此时02=C .⾬⽔总量αcos vpwDdr C =,如030=α,升24.0=C

这表明⼈体仅仅被头顶部位的⾬⽔淋湿.实际上这意味着⼈体刚好跟着⾬滴向前⾛,⾝体前后将不被淋⾬.

③ 当αsin r v >时,即⼈体⾏⾛的快于⾬滴的⽔平运动速度αsin r .此时将不断地赶上⾬滴.⾬⽔将淋胸前（⾝后没有）,胸前淋⾬量()r v pwDh C αsin 2-=

关键词：淋⾬量， 降⾬的⼤⼩，降⾬的⽅向（风），路程的远近，⾏⾛的速度1.问题的重述

⼈们外出⾏⾛,途中遇⾬,未带⾬伞势必淋⾬,⾃然就会想到,⾛多快才会少淋⾬呢？⼀个简单的情形是只考虑⼈在⾬中沿直线从⼀处向另⼀处进⾏时,⾬的速度（⼤⼩和⽅向）已知,问⾏⼈⾛的速度多⼤才能使淋⾬量最少？2.问题的分析.

由于没带伞⽽淋⾬的情况时时都有，这时候⼤多⼈都选择跑，⼀个似乎很简单的事情是你应该在⾬中尽可能地快⾛，以减少⾬淋的时间。但如果考虑到降⾬⽅向的变化，在全部距离上尽⼒地快跑不⼀定是最好的策略。，

⼀、我们先不考虑⾬的⽅向，设定⾬淋遍全⾝，以最⼤速度跑的话，估计总的淋⾬量； ⼆、再考虑⾬从迎⾯吹来，⾬线与跑步⽅向在同⼀平⾯内，且与⼈体的夹⾓为θ，如图1，建⽴总淋⾬量与速度v 及参数a , b , c , d , u , w , θ之间的关系，问速度v 多⼤，总淋⾬量最少，计算0θ=，90θ=?时的总淋⾬量；

三、再是⾬从背⾯吹来，⾬线⽅向与跑步⽅向在同⼀平⾯内，且与⼈体的夹⾓为α，如图2.，建⽴总淋⾬量与速度v及参数a ,b,c, d , u,w ,α之间的关系，问速度多⼤，总淋⾬量最少；

四、以总淋⾬量为纵轴，对（三）作图，并解释结果的实际意义；

五、若⾬线⽅向不在同⼀平⾯内，模型会有什么变化；按照这五个步骤，我们可以进⾏研究了。

3.模型的假设与符号说明2.1模型的假设

1. 设⾬滴下落的速度为u（⽶/秒）,降⽔强度（单位时间平⾯上的降⽔厚度）为w（厘⽶/时）,且u,w为常量.2. 设⾬中⾏⾛的速度为v（⽶/秒）,（固定不变）.⾬中⾏⾛的距离为d（⽶）.3. 设降⾬的⾓度（⾬滴下落的反⽅向与⼈前进的⽅向之间的夹⾓）为θ4. 视⼈体为⼀个长⽅体,其⾝⾼为a（⽶）,⾝宽为b（⽶）,厚度为c（⽶）3.2符号说明

a:代表⼈颈部以下的⾼度b:⼈⾝体的宽度c:⼈⾝体的厚度d:起跑点到终点的距离v:跑步的最⼤速度m

u :⾬的速度 w :降⾬量 v :跑步速度θ:⾬线⽅向与⼈体夹⾓S

:⼈的全⾝⾯积md

t v =:⾬中⾏⾛的时间4.模型的建⽴与求解（1）不考虑⾬的⽅向

⾸先讨论最简单的情形，即不考虑降⾬⾓度的影响。⾬将淋遍全⾝，淋⾬的⾯积2s=2ab+2ac+bc=2.2m ，淋⾬的时间200mdt s v ==,降⾬量()410

218w cm h m s -==,

所以总的淋⾬量 2.4Q stw L =≈。（2）⾬从迎⾯吹来

⾬从迎⾯吹来，⾬线与跑步⽅向在同⼀平⾯内，且与⼈体的⾓度为 。如图1。建⽴总淋⾬量与速度v 及参数a , b , c , d , u , w ,之间的关系，问速度v 多⼤，总淋⾬量最少。计算0θ=，30θ=?时的总降⾬量。

⾬滴落下的速度为4u m s =，降⾬量2w cm h =。因为考虑了降⾬的⽅向，淋湿的部位只有顶部和前部。分两部分计算淋⾬量.顶部的淋⾬量1cos bcdw Q vθ

=；⾬速⽔平分量sin u θ，风向与v 相反。合速度sin u v θ+，迎⾯单位时间、单位⾯积的淋⾬量()

sin w u v uθ+，迎⾯淋⾬量

()

2sin abdw u v Q uvθ+=

，所以总淋⾬量12cos (sin )bdw cu a u v Q Q Q u vθθ++=+=

m v v =时Q 最⼩。0θ=时， 1.2Q L =；30θ=?， 1.6Q L ≈。

(3)考虑降⾬⽅向的模型（⾬从背⾯吹来）

⾬从背⾯吹来，⾬线⽅向与跑步⽅向在同⼀平⾯内，且与⼈体的夹⾓为a ，如图2。建⽴总淋⾬量与速度v 及参数,,,,,a b c d uw 之间的关系，问速度v 多⼤，总淋⾬量最少。 计算30θ=?的总淋⾬量。

⾬滴落下的速度为4u m s =，降⾬量2w cm h =，因为考虑了降⾬的⽅向，淋湿的部位只有顶部和背部。分两部分计算淋⾬量。

顶部的淋⾬量1cos bcdwQ v

θ=；⾬速⽔平分量sin u θ，风向与v 相反。合速度sin u v α-，迎⾯单位时间、单位⾯积的淋⾬量()sin w u v uθ-，迎⾯淋⾬量()2s i na b d w u vQ uvθ-=

，所以总淋⾬量：

2cos (sin )(cos sin ),sin cos (sin )(cos sin ),sin bdw cu a u a v bdw u a a a avv u a u v u v

Q Q bdw cu a v u a bdw u a a a av v u a uv u v +-+-??=?≤??==?+--+??=?>??

若cos sin c a αα-<0,即tan c a α>，则sin u v α=时Q 最⼩，否则，m v v =时Q 最

⼩，当030α=，0.2tan 1.5α>，2v m s =，0.24Q L ≈最⼩，可与m v v =，0.93Q L ≈相⽐。

(4)以总淋⾬量为纵轴，速度v 为横轴，对三作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义⾬从背⾯吹来，只要不太⼩，满⾜tan c a

α>（ 1.5,0.2a m c m ==时，> 即可），

sin v u α=，Q 最⼩，此时⼈体背⾯不淋⾬，只有顶部淋⾬。

(5)若⾬线⽅向与跑步⽅向不在同⼀平⾯内，模型会有什么变化再⽤⼀个⾓度表⽰⾬的⽅向，应计算侧⾯的淋⾬量，问题本质上没有变化。5.模型的评价

（1）在不考虑风向情况下：

此时，你的前后左右和上⽅都将淋⾬。⼈在⾏⾛中的淋⾬量最⼤的⼤约为2.44升。结论表明:淋⾬量是速度的减函数，当速度尽可能⼤时淋⾬量达到最⼩ （2）在考虑风向及⾬量的情况下:

当sin v u θ=时，Q 取到最⼩.表明：当⾏⾛速度等于⾬滴下落的⽔平速度时，淋⾬量最⼩，仅仅被头顶上的⾬⽔淋湿了。当sin v u θ>，你不断地追赶⾬滴，⾬⽔将淋湿你的胸膛。6.模型的结果分析

综合上⾯的分析，我们得到的结论是：

1．如果⾬是迎着你前进的⽅向落下，这时的最优⾏⾛策略是以尽可能⼤的速度向前跑。

2．如果⾬是从你的背后落下，这时你应该控制在⾬中⾏的。⾛的速度，使得它恰好等于⾬滴下落速度的⽔平分量。

根据⼀般常识，我们所得到的结果是合理的且与我们的⽇常⽣活经验是⼀致的。运⽤简单的数学⼯具，我们对⽇常⽣活中司空见惯的问题给予了定量的分析。但同时必须指出的是，这⾥建⽴的简单数学模型与⾬中⾏⾛的实际过程尚有距离，因为在建⽴数学模型的过程中我们忽略了⼀些相对次要的因素。关于模型的检验，请⼤家观察、体会并验证。⾬中⾏⾛问题的建模过程⼜⼀次使我们看到模型假设的重要性，模型的阶段适应性。参考⽂献

[1] 姜启源 谢⾦星 叶俊，数学模型（第三版），北京：⾼等教育出版社，2008.模型⼆

储蓄所服务员雇佣模型摘要

⽬前，众多经营机构都想取得经营的最优化，也就是是取得利益最⼤化，储蓄所服务员雇佣优化问题主要是如何在经营管理中科学选择全时、半时服务员的数量从⽽使⾃⼰的经营成本达到最低。

就第⼀问⽽⾔，我们对同时雇佣全时和半时两类服务员时⼯作时间段和服务员数量数据进⾏分析。在第⼆问中，半时服务员数量为零，通过第⼀问的分析基础，计算此时储蓄所雇佣服务员的每天总费⽤达到最⼤。我们认为如果条件允许下储蓄所应该多雇佣半时服务员。在第三问中，半时服务员数量没有，我们通过计算发现在这种情况下储蓄所雇佣服务员的每天总费⽤达到最低。

关键字：雇佣总费⽤最低，功能函数⼀．问题的提出

某储蓄所每天的营业时间是上午9：00到下午5：00.根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下：

储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9：00到下午5：00⼯作，但中午12：00到下午2：00之间必须安排⼀⼩时的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续⼯作4⼩时，报酬40元。

（1）问该储蓄所应该如何雇佣全时和半时两类服务员?（2）如果不能雇佣半时服务员，每天⾄少增加多少费⽤？

（3）如果雇佣半时服务员的数量没有，每天可以减少多少费⽤？⼆．问题分析

第⼀问：因为全时⼯数越少，越省钱，半时⼯数量受，所以我们可以看出，因为下午最后两⼩时要求⼈数最多，所以这时要⽤半时⼯，还有中午的时候，

由于全时⼯要休息⼀⼩时，并且12-1点要6⼈⼤于1-2点所需⼈数。所以可以认为部分半时⼯从12点开始⼯作。第⼆问：不⽤半时⼯时，全时⼯要满⾜中午两个⼩时⼈数够，⽽且下午最后⼀⼩时⼈数够。第三问:半时⼯⼈数不，则全部雇佣半时⼯最省钱。三．模型假设

1.假设储蓄所可以随时雇佣⾜够的服务员，不会出现供不应求的情况；2.假设所有被雇佣的服务⼈员没有迟到、早退及旷班现象。3.假设所有半时服务员每天都从整点开始连续⼯作4⼩时。4.假设每天各时间段所需服务员数量不变。5.假设所有的服务员都积极配合，服从调配。四．符号说明

A ： 表⽰全时服务员的上班⼈数

1a ： 表⽰在12：00am-1:00pm 全时服务员还上班⼈数 2a ： 表⽰在1：00pm-2:00pm 全时服务员还上班⼈数 1b ： 表⽰在9：00am-1:00pm 半时服务员的上班⼈数

2b ： 表⽰在10：00am-2:00pm 半时服务员的上班⼈数 3b ： 表⽰在11：00am-3:00pm 半时服务员的上班⼈数 4b :： 表⽰在12：00am-4:00pm 半时服务员的上班⼈数 5b ： 表⽰在1：00pm-5:00pm 半时服务员的上班⼈数c ： 功能函数（表⽰储蓄所雇佣服务员的总费⽤）五．模型分析

设A 是全时服务员数量，设15b b 分别是从9：00am-5:00pm 每隔四⼩时半时服务员数量，故()12345min 10040c b b b b b =A+++++ ,c 为储蓄所雇佣服务员的每天总费⽤的功能函数。 功能函数计算公式:1.在全时和半时服务员同时雇佣的情况 ：

雇⽤总费⽤，全时服务员数量与半时服务员数量满⾜下列函数关系：()1234510040c b b b b b =A+++++ ；123453b b b b b ++++≤；

14b A +≥； 123b b A ++≥； 1234b b b A+++≥； 112346a b b b b ++++≥； 223455a b b b b ++++≥； 12a a +=A ； 3456b b bA+++≥；

458b b A ++≥； 58b A +≥；

12345,,,,,b b b b b A ⼤于零且都为整数。 2.不能雇佣半时服务员时的情况：雇⽤总费⽤，全时服务员数量与半时服务员数量满⾜下列函数关系：100c =A ； 4A ≥；3A ≥； 4A ≥；

16a ≥； 25a ≥； 12a a +=A ；8A ≥；

3.半时服务员数量没有时的情况：

雇⽤总费⽤，全时服务员数量与半时服务员数量满⾜下列函数关系：()1234510040c b b b b b =A+++++ ；

14b A +≥；

123b b A ++≥； 1234b b b A+++≥； 112346a b b b b ++++≥； 223455a b b b b ++++≥； 12a a +=A ；六．模型建⽴与求解

储蓄所服务员雇佣优化模型 1.模型

设A 是全时服务员数量，设15b b 分别是从9：00am-5:00pm 每隔四⼩时半时服务员数量,c 为储蓄所雇佣服务员的每天总费⽤的功能函数。

（1）全时和半时服务员同时雇佣模型()12345min 10040c b b b b b =A +++++ ； （2）不能雇佣半时服务员模型[]min100c =A ；

（3）半时服务员数量没有模型()12345m i n 10040c b b b b b =A +++++ ；c 表⽰储蓄所雇佣服务员的每天总费⽤的功能函数。3.计算求解

（1）对问题所给之对数据，在全时和半时服务员同时雇佣的情况下计算显⽰如下：

结果说明：在全时服务员数量A=7,半时服务员总数为3(b1+b2+b3+b4+B5

=3)时，储蓄

所雇佣服务员的每天总费⽤c最少为820元。

结果评价：此时储蓄所雇佣服务员的每天总费⽤c还⽐较⾼，在条件允许的情况下应该多雇佣半时服务员。（2）对问题所给之对数据，在不能雇佣半时服务员时的情况计算显⽰如下：

结果说明：不能雇佣半时服务员时，全时服务员A=11, 此时储蓄所雇佣服务员的每天总费⽤c最少为1100元。

结果评价：储蓄所雇佣服务员的每天总费⽤偏⾼，较第⼀种情况每天⾄少增加280元。（3）对问题所给之对数据，在半时服务员数量没有时的情况显⽰如下：

结果说明：半时服务员数量没有时，半时服务员总数为14，全时服务员A=0,此时储蓄所雇佣服务员的总费⽤c最少为560元，较第⼀种情况储蓄所总费⽤每天减少260元，较第⼆种情况储蓄所总费⽤每天减少540元结果评价：在这三种⽅法中，储蓄所雇佣服务员的每天总费⽤达到最低。七．模型的优缺点

1.模型的优点

（1）通过处理数据，巧妙地应⽤了优化模型，对A与b1，b2，b3，b4，b5

的变化过程

⾏实时跟踪处理和合理解释。

（2）运⽤功能强⼤、对⾮线性问题很好LINGO优化软件处理数据，快捷⾼效，所得结果较为可靠。（4）根据题⽬信息将半时服务员分为五种，不仅简化了求解过程，⽽且使问题考虑的更加全⾯。2.模型的缺点

（1）求解雇佣总费⽤是⼀个优化过程，并不能在图表直观描述每天服务员数量的变化趋势。（2）雇佣总费⽤以天为单位，数据量不够，误差可能⽐较⼤。

（3）我们只考虑⼀天不同时间段所需服务员数量，⽽没有考虑较长时间内服务员数量。⼋．参考⽂献

[1].姜启源、谢⾦星、叶俊.，数学模型，.⾼等教育出版社[2].魏巍，MATLAB应⽤数学⼯具箱技术⼿册，国防⼯业出版社[3].百度⽂库相关资料九．附表

1.全时和半时服务员同时雇佣时LINGO代码：model:

min=100*A+40*(b1+b2+b3+b4+b5);b 1+b2+b3+b4+b5<=3;

A+b1>=4;A+b1+b2>=3;A+b1+b2+b3>=4;11234a 2+b2+b3+b4+b5>=5;a 1+a2=A;A+b3+b4+b5>=6;A+b4+b5

>=8;A+b5>=8;@gin(a1);@gin(a2);@gin(b1);@gin(b2);@gin(b3);@gin(b4);@gin(b5);end

2.不能雇佣半时服务员时LINGO代码：model:min=100*A;A>=4;A>=3;A>=4;a1>=6;a2>=5;a 1+a2=A;A>=8;

@gin(a1);@gin(a2);end

3.半时服务员数量没有时LINGO代码：model:min=100*A+40*(b1+b2+b3+b4+b5);b 1+b2+b3+b4+b5<=3;A+b1>=4;A+b1+b2>=3;A+b1+b2+b3>=4;

11234a 2+b2+b3+b4+b5>=5;a 1+a2=A;A+b3+b4+b5>=6;A+b4+b5>=8;A+b5>=8;@gin(a1);@gin(a2);@gin(b1);@gin(b2);@gin(b3

);@gin(b4);@gin(b5); end