新洲一中、红安一中、麻城一中三校协作体2009年3月月考
高二3月月考
数 学 试 题
命题: 新洲一中 王吉良 满分150分 时间120
分钟
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1、ABCD是一个四面体，在四个面中最多有几个是直角三角形（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
2、设，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“⊥α”是“⊥m且⊥n”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 3、已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：
①若mα、n∥β，则m∥n ②若m∥α、n∥β，则α∥β ③若α∩β=n、m∥n，则m∥α且m∥β ④若m⊥α、m⊥β，则α∥β 其中真命题的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3 4、在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为（ ）
A、
3333 B、 C、 D、3
4425、一条直线与平面所成的角为（0角中最大角是（ ）
A、
2），则此直线与这个平面内任意一条直线所成的
B、 C、 D、 26、下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（ ）
x2y21的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使左7、椭圆43端点A1在平面B1A2B2上的射影恰好是该椭圆的右焦点，则此二面角的大小为（ ）
A、
5 B、 C、 D、 3128、对于任意的直线与平面α,在平面α内必有直线m,使得直线m与直线( )
A、垂直 B、平行 C、相交 D、互为异面直线
9、如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直.以上四个命题中，不正确命题的序号是（ ） ．．．
A、①②③ B、①② C、③④ D、①②④
10、△ABC的AB边在平面α内，C在平面α外，AC和BC分别与面α成30°和45°的角，且平面ABC与平面α成60°的二面角，那么sin∠ACB的值为（ ）
A、1 B、
2211 C、 D、1或
333新洲一中、红安一中、麻城一中三校协作体3月份月考
高二3月月考
数 学 答 卷
一、选择题答案填在表中
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11、正方体的一条对角线与正方体的棱可以组成 对异面直线.
12、把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，使A、C的距离等于a，则异面直线AC和BD的距离为 .
13、两个棱长均为a的正三棱锥底面重合构成一个六面体，两个棱长均为a的正四棱锥底面重合构成一个八面体.
（1）（文科做）六面体与八面体的体积之比为 （2）（理科做）六面体与八面体的内切球的半径之比为
14、已知平面α∥平面β，P是平面α、β外的一点，过P点的两条直线PA、PB分别交平面α于A、B，交平面β于C、D，且PA=6，AC=9，AB=8，则CD的长为 15、如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α、CD⊥α垂足分别为B、D， 若增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有：①AC⊥β； ②AC与α、β所成的角相等；③AC与CD在β内的射 影在同一条直线上；④AC∥EF.那么上述几个条件中 E 能成为增加条件的是 （填上你认为正确 的所有答案序号）
B D A C 三、解答题：（共6小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16、（本小题满分12分）已知：三个平面两两相交，有三条交线，且其中两条交线交于一点.求证：这三条交线交于一点.
F 17、（本小题满分12分）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=直线.
（1）求证：BC∥；
（2）试判断MN与平面PAD是否平行？并证明你的结论.
18、（本小题满分12分）如图，已知空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，AN⊥BC于N，且PA=1，AN=BN=CN=2
（1）求证：PB⊥AC； （2）求点A到平面PBC的距离.
B
P
A C N
19、（本小题满分12分）如图（1）在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，现将△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD如图（2）
（1）求二面角G-EF-D的大小；
（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明过程.
P
P
E
F
D E F D C
G C G
A
(1)
B A
(2)
B 20、（本小题满分13分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面B1ED交A1D1于F，（1）指出F在A1D1上的位置，并说明理由；（2）求直线A1C与DE所
成的角的余弦值；（3）设P为侧面BCC1B1上的动点，且AP=
23，试指出动点P的轨迹，3A1 并求出其轨迹所表示的曲线的长度.
B1
D1 C1
A B D E
C
21、（本小题满分14分）如图，长方体AC1中，AB=2，BC=AA1=1，E、F、G 分别为棱DD1、D1C1、BC的中点，
（1）试在底面A1B1C1D1上找一点H，使EH∥平面FGB1；
D1 F （2）求四面体EFGB1的体积.
A1
E
D
A
C1
B1 C G B
新洲一中、红安一中、麻城一中三校协作体2009年3月月考
高二数学答案
题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 B 5 A 6 D 7 C 8 A 9 B 10 D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11、正方体的一条对角线与正方体的棱可以组成 6 对异面直线.
12、把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，使A、C的距离等于a，则异面直线AC和BD的距离为 . 213、两个棱长均为a的正三棱锥底面重合构成一个六面体，两个棱长均为a的正四棱锥底面重合构成一个八面体.
（1）（文科做）六面体与八面体的体积之比为 1:2 （2）（理科做）六面体与八面体的内切球的半径之比为 2:3
14、已知平面α∥平面β，P是平面α、β外的一点，过P点的两条直线PAC、PBD分别交平面α于A、B，交平面β于C、D，且PA=6，AC=9，AB=8，则CD的长为20或4
15、如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α、CD⊥α垂足分别为B、D， 若增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有：①AC⊥β； ②AC与α、β所成的角相等；③AC与CD在β内的射 影在同一条直线上；④AC∥EF.那么上述几个条件中 E 能成为增加条件的是 ① ③ （填上你认为正确 的所有答案序号）
aB D
A C
F
三、解答题：（共6小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16、（本小题满分12分）已知：三个平面两两相交，有三条交线，且其中两条交线交于一点.求证：这三条交线交于一点.
已知：（如图）α∩β=a，β∩r=b，r∩α=c，a∩b=A 求证：a、b、c交于一 点 证明：α∩β=a
A∈α
r c b A a α β a∩b=A A∈a
同理可证 A∈r
A∈c a∩b=A a、b、c三线交于一点A 17、（本小题满分12分）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=直线. （1）求证：BC∥；
（2）试判断MN与平面PAD是否平行？并证明你的结论. （1）证明：由已知 BC//AD AD平面PAD BC// （2）平行
平面PAD∩平面PBC= BC//平面PAD P N D A M B C
Q 延长CM，DA交于Q，连接PQ，易证M为CQ的中点，又N为PC的中点， ∴MN//PQ ∴MN//平面PAD （两小题各6分）
18、（本小题满分12分）如图，已知空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，AN⊥BC于N，且PA=1，AN=BN=CN=2
（1）求证：PB⊥AC； （2）求点A到平面PBC的距离.
（1）略
（2）由体积变换可求得A到平面PBC的距离为（两小题各6分）
P 6 3A N
C B
19、（本小题满分12分）如图（1）在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，现将△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD如图（2）
（1）求二面角G-EF-D的大小；
（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明过程. P P （1）解：设平面FEG交于AD于H点易知 F H为AD的中点，∠DFH为二面角G-EF-D的 平面角，可求得∠DFH=45°
（2）取PB的中点Q，易证PC⊥平面ADEQ （两小题各6分）
E F C
D E C G D G H Q A (1)
B A
(2)
B 20、（本小题满分13分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面B1ED交A1D1于F，（1）指出F在A1D1上的位置，并说明理由；（2）求直线A1C与DE所
23成的角的余弦值；（3）设P为侧面BCC1B1上的动点，且AP= ，试指出动点P的轨迹，并
3求出其轨迹所表示的曲线的长度. （1）略，F为A1D1的中点
（2）建立空间直角坐标系可求得其余弦值为
A1 B1
D1 C1 15 15（3）由AP=AB+BP
222 31BP= BP=
332
A B D E
C
∴P点轨迹为以B为圆心，
31为半径的圆，在侧面BCC1B1内的部分，即圆的的一段弧，34其长度L=
331 ×23[（1）（2）两小题各4分，第（3）小题5分]
21、（本小题满分14分）如图，长方体AC1中，AB=2，BC=AA1=1，E、F、G 分别为棱DD1、D1C1、BC的中点，
（1）试在底面A1B1C1D1上找一点H，使EH∥平面FGB1；
（2）求四面体EFGB1的体积. D1 F
N H
A1
E （1）解：取AD的中点M 连A1M，MG
D 易知A1M∥B1G
M 取A1D1的中点N， A 易知DN∥A1M
再取ND1的中点H，
易证HE∥DN，所以HE∥B1G 故EH∥平面FGB1
所以H为A1D1的四等分点，且HD11=4 （2）
VE-B1
FG=VH—B1
FG=VG-HB1
F
=
13·S△HFB1·AA1 =1358524 （每小题7分）
C1
B1 C G B