基础模拟(四)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2i2
1．(导学号：50604207)已知复数z＝，则z＝( )
1＋i
A．1＋i B．1－i C．2i D．－2i
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝35，则a4的值为( ) A．2 B．5 C．10 D．15
3．下列关于函数y＝ln|x|的叙述正确的是( ) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
πxx4．(导学号：50604208)已知命题p：∀x∈R,2<3，命题q：∃x0∈(0，)，sin x0＝
2
cos x0.则下列命题中，真命题为( )
A．(綈p)∧q B．p∧q
C．p∨(綈q) D．(綈p)∧(綈q)
x≥3－y，
5．已知实数x，y满足y≤x＋1，
2x－y－3≤0，
A．17 B．19 C．48 D．49
则z＝4x＋6y＋3的最大值为( )
y2x2
6．(导学号：50604209)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与直线x＝4
ab所围成的三角形的面积为4，则双曲线C的离心率为( )
A.15 B.
1715 C.17 D. 22
7．如图所示的程序框图所描述的算法是辗转相除法，若输入m＝231，n＝88，则输出的m值为( )
A．0 B．11
C．22 D．88
8．某校8名同学参加学校组织的社会实践活动，在某一活动中，要派出3名同学先后．．参与，并且完成任务．已知该活动中A，B，C三人至多一人参与，若A参加，则D也会参加，且A必须最先完成任务，则不同的安排方案有( )
A．70 B．168 C．188 D．228
9．(导学号：50604210)已知函数f(x)＝2cos(ωx－φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分图
π3π
象如下图所示，若A(，2)，B(，2)，则下列说法错误的是( ) ．22
3π
A．φ＝
4
15π
B．函数f(x)的一条对称轴为x＝
8
π
C．为了得到函数y＝f(x)的图象，只需将函数y＝2sin 2x的图象向右平移个单位
8
9π13π
D．函数f(x)的一个单调减区间为[，] 88
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．12＋42＋213 B．12＋82＋213 C．12＋42＋226 D．12＋82＋226
2
11．(导学号：50604211)抛物线C：y＝4x的焦点为F，斜率为k的直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与x轴交点的横坐标为a(a>0)，n＝|MF|＋|NF|，则2a－n＝( )
A．2 B．3 C．4 D．5 12．(导学号：50604212)已知O为原点，曲线f(x)＝aln(x＋1)－x－b上存在一点P(x0，y0)(x0∈(0，e－1))，满足：
①直线OP为曲线f(x)的切线；
x②直线OP与曲线g(x)＝e的一条过原点的切线l垂直． 则实数b的取值范围为( )
111
A．(1－，1) B．(0，) C．(0,1－) D．(0,1)
eee
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知a＝(－2,1)，b＝(m,3)，若a⊥(a＋b)，则|a－b|＝________.
14．(导学号：50604213)观察下列式子：f1(x，y)＝
x3x，f2(x，y)＝2，f3(x，3y＋39y＋7
5x7x*
，f4(x，y)＝4，…，根据以上事实，由归纳推理可得，当n∈N时，fn(x，3
27y＋1381y＋23y)＝________.
15．已知一个圆锥内接于球O(圆锥的底面圆周及顶点均在球面上)，若球的半径R＝5，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为________．
3an＋6－ann16．已知数列{an}满足a1＝，若≥3≥an＋2－an，则a2017＝________.
1
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(导学号：50604214)(12分)
1
在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos 2C＝－.
4
(Ⅰ)若a＋b＝5，求△ABC面积的最大值；
22
(Ⅱ)若a＝2,2sinA＋sin Asin C＝sinC，求b及c的长．
18.(导学号：50604215)(12分)
甲、乙两家快餐店对某日7个时段光顾的客人人数进行统计并绘制茎叶图如图所示(下面简称甲数据、乙数据)，且乙数据的众数为17，甲数据的平均数比乙数据平均数少2.
y)＝
(Ⅰ)求a，b的值，并计算乙数据的方差； (Ⅱ)现从甲、乙两组数据中随机各选一个数分别记为m，n，并进行对比分析，有放回的选取2次，记m＞n的次数为X，求X的数学期望E(X)．
19. (导学号：50604216)(12分)
已知三棱柱ABC－A1B1C1如下图所示，其中CA⊥平面ABB1A1，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1
＝60°，且AB＝2AC，E为BB1的中点，F为CB1的中点．
(Ⅰ)证明：平面AEF⊥平面CAA1C1； (Ⅱ)求二面角E－AF－B1的余弦值．
20.(导学号：50604217)(12分)
x2y2
已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为22，其上下顶点分别为C1，C2，点A(1,0)，
abB(3,2)，AC1⊥AC2.
(Ⅰ)求椭圆E的方程以及离心率；
(Ⅱ)点P的坐标为(m，n)(m≠3)．过点A任意作直线l与椭圆E相交于M，N两点，设直线MB，BP，NB的斜率依次成等差数列，探究m，n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m，n的关系式，并证明；若不是，请说明理由．
21.(导学号：50604218)(12分)
ex已知x∈(1，＋∞)，函数f(x)＝e＋2ax(a∈R)，函数g(x)＝|－ln x|＋ln x，其中
xe为自然对数的底数．
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；
(Ⅱ)证明：当a∈(2，＋∞)时，f′(x－1)>g(x)＋a.
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(导学号：50604219)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
π
以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知A(2，π)，B(2，)，圆C2
2
的极坐标方程为ρ－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0.F为圆C上的任意一点．
(Ⅰ)写出圆C的参数方程； (Ⅱ)求△ABF的面积的最大值．
23．(导学号：50604220)[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|. (Ⅰ)解不等式：f(x)<2；
72
(Ⅱ)若∀x∈R，f(x)≥t－t恒成立，求实数t的取值范围．
2
基础模拟(四)
2i－
1．C 依题意，＝＝1＋i，
1＋i＋－
22
故z＝(1＋i)＝2i.
a1＋a7a1＋a7
2．B ∵×7＝35，∴a4＝＝5.
22
3．D 函数y＝ln|x|是偶函数，当x＞0时，y＝ln|x|＝ln x，函数y＝ln x在(0，＋
∞)上是增函数．
ππ200
4．A 取x＝0，则2＝3＝1，故命题p为假；sin＝cos＝，故命题q为真，故
442
(綈p)∧q为真．
5．D 6．C 7．B
12
8．C 若A参加，则共有C4A2＝8种不同的方案；若A不参加，B，C中一人参加，则有1233
C2C5A3＝120种不同的方案；若A，B，C均不参加，则有A5＝60种不同的安排方案．故共有188种不同的方案．
2π
9．D 由图可知T＝π，故ω＝＝2，
Tπ
故f(x)＝2cos(2x－φ)，将A(，2)代入可知2cos(π－φ)＝2，故cos(π－φ)
223π
，因为φ∈[0，π]，故φ＝，故A正确； 24
15π3π将x＝代入f(x)＝2cos(2x－)中，
8415π15π3ππ故f()＝2cos(－)＝－2，故B正确；将函数y＝2sin 2x的图象向右平移
8448
π
个单位，得到y＝2sin(2x－)的函数图象，
43ππππ
因为f(x)＝2cos(2x－)＝2cos(2x－－)＝2sin(2x－)，故C正确；函数f(x)
4424
9π13π在[，]上先增后减，故D错误．
88＝
10．D 作出该几何体的三视图对应的几何体在正方体中的直观图，如图所示，观察可11178
知，S△ABD＝S△BCD＝×3×4＝6，S△ABC＝×42×4＝82，S△ADC＝×43×5×＝226.
22215
11．A 设直线MN：y＝kx＋b，联立
y＝kx＋b，
y＝4x，
2
得kx＋(2kb－4)x＋b＝0，
222
4－2kb设M(x1，y1)，N(x2，y2)，故x1＋x2＝，故由抛物线定义可知 2
kn＝|MF|＋|NF|＝x1＋x2＋2＝4－2kb2－kb2
＋2，线段MN的中点为(2，)， 2
kkk故线段MN的垂直平分线的方程为
212－kby－＝－(x－2)，令y＝0，
kkk2－kb解得x＝2＋2＝a，所以2a－n＝2.
k12．C 依题意可设l的方程为y＝kx，切点为(x1，y1)，则y1＝ex1，k＝g′(x1)＝ex1y111
＝，∴x1＝1，y1＝e，k＝e，∴直线OP的斜率k0＝－，直线OP的方程为y＝－x，∴k0
x1ee
＝
1y011
－1＝－＝，∴y0＝－x0，a＝(1－)(x0＋1)； x0＋1ex0ee又y0＝aln(x0＋1)－x0－b，
11
∴－x0＝(1－)(x0＋1)ln(x0＋1)－x0－b，
ee
1
即b＝(1－)[(x0＋1)ln(x0＋1)－x0]，
e
x0∈(0，e－1)，
令m(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－x，x∈(0，e－1)，
∵m′(x)＝ln(x＋1)>0，∴m(x)在(0，e－1)上单调递增，∴m(x)∈(0,1)
1
即实数b的取值范围为(0,1－)．
e13．210 14.
an－xn3y＋n－1＋23·xnn 因为f1(x，y)＝
x1·x＝11
3y＋33·y＋＋2
，f2(x，y)＝
3·y＋
22
＋2
2
，
f3(x，y)＝
5·xn－x，…，由归纳推理可知，fn(x，y)＝nn. 3n3y＋＋23y＋n－1＋2
33
128
15.π 设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝2r.由题意知球心在圆锥内，
3
222
如图所示，得OA＝2r－5，由勾股定理可得5＝r＋(2r－5)，解之得r＝4或r＝0(舍
1211282
去)，从而r＝4，h＝8，则V圆锥＝πrh＝π×4×8＝π.
333
20173an＋6－annnn16. ≥3≥an＋2－an⇔an＋2≤an＋3且an＋6≥an＋91·3，
1
n由an＋2≤an＋3得
3
a2017≤32015＋a2015≤32015＋32013＋a2013≤…≤32015＋32013＋…＋31＋a1＝(91008－1)＋a1，
8
n由an＋6≥an＋91·3得
a2017≥91·32011＋a2011≥91·(32011＋32005)＋a2005≥…≥91(32011＋32005＋…＋31)＋a1
2017
3100831008310083＝(9－1)＋a1，故a2017＝(9－1)＋a1＝·9＝. 8888
1102
17．解：(Ⅰ)因为cos 2C＝1－2sinC＝－，且04411010a＋b故S△ABC＝absin C＝ab≤·2884
2
25105
＝，当且仅当a＝b＝时，取“＝”，
322
2510
即△ABC面积的最大值为.4分
32
22
(Ⅱ)2sinA＋sin Asin C＝sinC，
22
故2sinA＋sin Asin C－sinC＝0，
故(2sin A－sin C)(sin A＋sin C)＝0， 即2sin A＝sin C，
当a＝2,2sin A＝sin C时，即2a＝c，解得c＝4，
12
由cos 2C＝2cosC－1＝－，且04得cos C＝±26， 4
2
2
2
由余弦定理c＝a＋b－2abcos C，得b±6b－12＝0，解得b＝6或b＝26， 所以
b＝6，c＝4
或
b＝26，c＝4.
12分
6＋7＋8＋13＋15＋15＋20
＝12，
7
故乙数据的平均数为14，故8＋9＋10＋15＋17＋17＋20＋b＝98，解得b＝2，
11602
故乙数据的方差s＝(36＋25＋16＋1＋9＋9＋)＝.6分
77
11
(Ⅱ)依题意，X的可能取值为0,1,2，可知从甲、乙两组数据中各随机选一个，共有C7C7
＝49种选法，其中m＞n的选法有3＋3＋3＋6＝15种，故从甲、乙两组数据中各随机选一
15
个，其中m＞n的概率为，
49151530
易知X～B(2，)．故E(X)＝2×＝.12分
494949
19．解：(Ⅰ)∵四边形ABB1A1是菱形，∠AA1B1＝60°＝∠ABB1， ∴△ABB1是正三角形．又BE＝B1E， ∴AE⊥BB1，又AA1∥BB1，则AE⊥AA1， ∵CA⊥平面ABB1A1，∴CA⊥AE.
又AA1 ∩CA＝A，∴AE⊥平面CAA1C1，
而AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面CAA1C1.4分
→→→
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，AE⊥平面CAA1C1，∴AE，AC，AA1两两垂直，以AE、AA1、AC的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB＝2a，∴CA＝a，
则C (0,0，a)，E(3a,0,0)，B1 (3a，a,0)，
31aF(a，a，)． 222
18．解：(Ⅰ)由众数定义可知a＝7，甲数据的平均数为→m·AC＝0，设平面AFB1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则
→m·AB1＝0，
x1，y1，z1
即
x1，y1，z1z1＝0，
3x1＋y1＝0，
，0，a＝0，3a，a，
＝0
⇒
∴可取m＝(1，－3，0)，
→n·AE＝0，
设平面AEF的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，则
→n·AF＝0，
x2，y2，z2
即
x2，y2，z2
x2＝0，
3x2＋y2＋z2＝0，
3a，0，31aa，a，222
＝0，＝0
⇒
∴可取n＝(0，－1,1)，
m·nm，n＝
|m|·|n|
＝
，－3，
，－1，
2×2
又二面角E—AF—B1为锐角，
＝6， 4
∴二面角E－AF－B1的余弦值为
6
.12分 4
20．解：依题意，2c＝22，故c＝2， 点C1(0，b)，C2(0，－b)，
22
因为AC1⊥AC2，所以b＝1，所以a＝b＋c＝3， 所以椭圆的方程为＋y＝1，
3
6
.4分 3
(Ⅱ)m，n的关系为m－n－1＝0，证明如下： 设直线MB，BP，NB的斜率分别为k1，k2，k3， 离心率e＝＝x2
2
cax＝1，2
①当直线l的斜率不存在时，由x2
＋y＝13N(1，－6
)， 3
解得x＝1，y＝±
66
.不妨设M(1，)，33
66
2－2＋33
因为k1＋k3＝＋＝2，
22
n－2
＝1，即m－n－1＝0.6分 m－3
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．
x22
将y＝k(x－1)代入＋y＝1整理化简得，
又k1＋k3＝2k2，所以k2＝1，所以m，n的关系式为32
(3k＋1)x－6kx＋3k－3＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
226k3k－3
则x1＋x2＝2，x1x2＝2.
3k＋13k＋1
又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
2－y12－y2
所以k1＋k3＝＋ 3－x13－x2
－y1－x2＋－y2－x1
＝ －x1－x2
[2－kx1－－x2＋[2－kx2－＝
x1x2－x1＋x2＋9
2
2
2
－x1
x1＋x2＋6k＋12
x1x2－x1＋x2＋9223k－36k2k×2－k＋＋6k＋122
3k＋13k＋1＝ 22
3k－36k－3×2＋923k＋13k＋1k2＋n－2
＝＝2.所以2k2＝2，所以k2＝＝1，所以m，n的关系式为m－n－1＝2
12k＋6m－3
＝0.
综上所述，m，n的关系式为m－n－1＝0.12分
ex21．解：(Ⅰ)依题意，f′(x)＝e＋2a，当2a≥－e，即a≥－时，函数f′(x)>0在
2
(1，＋∞)上恒成立，此时f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；
e
当2a<－e，即a<－时，令f′(x)>0，解得x>ln(－2a)，令f′(x)<0，解得122a)，故函数f(x)的单调增区间为(ln(－2a)，＋∞)，单调减区间为(1，ln(－2a))．
ee
综上所述，当a≥－时，f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；当a<－时，函数f(x)的单
22
调增区间为(ln(－2a)，＋∞)，
单调减区间为(1，ln(－2a)).4分 (Ⅱ)f′(x－1)>g(x)＋a⇔
ex－1
e＋2a>|－ln x|＋ln x＋a⇔
2kx1x2－k＋
xe
x－1
e
＋a－ln x>|－ln x|，
xxx＋∞)上为减函数，又p(e)＝0，∴当1e时，p(x)<0；ex－1
当1ee1x－1设p(x)＝－ln x，q(x)＝e＋a－ln x，故p′(x)＝－2－<0，∴p(x)在x∈(1，
xxeex－1x－1
设m(x)＝－e－a，则m′(x)＝－2－e<0，∴m(x)在x∈(1，e]上为减函数，
x∴m(x)2，∴m(x)<0，故f′(x－1)>g(x)＋a，ex－1x－1
当x>e时，|p(x)|－q(x)＝2ln x－－e－a<2ln x－e－a，
xx设n(x)＝2ln x－e
1
x－1
2x－122x－1x－
－a，则n′(x)＝－e，令k(x)＝－e，k′(x)＝－2－e
xxx<0；
2e－1
∴n′(x)在x>e时为减函数，∴n′(x)ee－1∴n(x)在x>e时为减函数，∴n(x)g(x)＋a， 综上所述，f′(x－1)>g(x)＋a.12分222
22．解：(Ⅰ)因为ρ－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0，故x＋y－6x＋8y＋21＝0，
x＝3＋2cos θ，22
即(x－3)＋(y＋4)＝4，故圆C的参数方程为(θ为参数).5分
y＝－4＋2sin θ
(Ⅱ)易知A(－2,0)，B(0,2)，故直线AB的方程为x－y＋2＝0，
|2cos θ－2sin θ＋9|
点F(x，y)到直线AB：x－y＋2＝0的距离为d＝，
2
1
△ABF的面积S＝×|AB|×d
2
π
＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝|22sin(－θ)＋9|，
4所以△ABM面积的最大值为9＋22.10分 23．解：(Ⅰ)依题意，|x－2|－|x＋1|<2，
若x<－1，则原式化为2－x＋x＋1＝3>2，故不等式无解；
11
若－1≤x≤2，则原式化为2－x－x－1＝1－2x<2，解得x>－，故－22若x>2，则原式化为x－2－x－1＝－3<2，不等式恒成立，故x>2，
1
综上所述，不等式f(x)<2的解集为(－，＋∞).6分
2
2
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|的最小值为－3，故依题意，－3≥t－7t， 2
332
即2t－7t＋6≤0，≤t≤2，故实数t的取值范围为[，2].10分
22