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等差数列与等比数列解题技巧
【摘要】在高中数学课程内容中，数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用.因此掌握数列的解题技巧，在我们高中数学中是很有必要的.
引言：数列在高考中主要考察用数列的递推公式、等差数列的通项公式参数的确定和性质、前n项和公式和性质及常见的数列的求和方法.
一、求数列通向公式的方法
1、分析法
通过与一些已知通向公式的基本数列进行比较、分析、归纳综合找数列的项与项数之间的关系，求出数列的通向公式.
例1、写出数列的一个通向公式
（1）、0.7，0.77，0.777.0.7777，... （2）、2，
解：（1）原列各项可以写成有数列
故原数列的一个通向公式为
（2）、原数列可改写为
故其通向公式为
例2、根据下面各个数列的首项和递推公式，写出它的前4项并归纳出数列的一个通向公式
（1）、 ；
解：分析:写出前4项，找出规律，然后归纳出通向公式.
(1)、由已知，得
即
故数列的一个通向公式为
(2)、由已知，得
即
故数列的一个通向公式为
注:上述题设给出，数列的前n项或给出递推公式和初始条件，分析数列的特征，找出规律，写出通向公式.
2、待定系数法
例1、已知数列 的通向公式是关于n的二次多项式，按照下列条件，写出数列 的一个通向公式.
（1）、 （2）、 （3）、
分析：设出 然后将 代入求出系数 即得通向公式.
解：（1）、 依题意，得 解得
（2）、设 依题意，得 解得
（3）、 设
注：由n个条可确定n个参数的值，因此，当已知数列 中m项数值时，可设通项为（m-1）次多项式，并应用待定系数法，求出这一多项式个项系数的值，进而写出 的表达式。
3、换元法
换元的关键步骤是变换题设中所给的递推公式，构造出等差数列或等比数列，这种被构造出来的数列称为辅助数列，借助辅助数列便可求得原数列的通向公式.
例1、已知数列 求数列 的通向公式.
分析：将 变形为 换元后转化为求等差数列的通向公式.
解:将已知条件改写为
令
数列 是以 为首项，公差为 的等差数列，
将上述（n-1）个式子相加，得:
例2、数列
分析:将 转化为求等比数列的通向公式.
解：
数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列.
4、累加法
例1、求数列 ：6，9，14，21，30，...的通向公式.
分析:观察数列的特征，后面一项减去前面一项的差组成的数列 ：3，5，7，9，...是首项为3，公差为2的等差数列，故可先求出数列 的通向公式，再推出 的通向公式.
解：设原数列中相邻两项（后项减去前项）的差所组成的数列 ，则 ，
显然，
各式相加，得：
5、乘约法
例1、已知数列 满足 ，且 ，求通向公式 .
分析：由 得 ，当 1，2，3，...,（n-1）时得到n-1个关系式，将这n-1个关系式连乘可得 的通向公式.
解：由 得 ，
当 时，有 ，
将以上各式左右两端分别相乘得 ，
又 也满足上式，
.
注:必须对 进行验证，若 满足关系式，则统一写成 的形式；若 不满足，要写成分段形式.
6、构造数列法
由已知递推公式进行变形，构造出新的等比数列，然后用累加法、乘约法或直接利用等比数列写出通向公式.
例1、已知数列 满足 其中 证明这个数列的通向公式是
分析:由递推关系可分别用累加法和构造数列法证明.
证法1（累加法） ,两边同除以 得：
，
当 时，有:
,
将以上各式分别相加，得
，
证法2：（构造法）设 可化为 ，
由待定系数法可得:
,
可知数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列，
7、递推法
例1、已知数列 中， ， ， 求 的通向公式；
解: ,
二、简单的递推数列即处理策略
（1）、对 型数列通项的求法可用累加法或乘约法.
（2）、对 型数列通项的求法可用累加法和构造数列法.
（3）、对 型数列通项的求法可用累加法和构造数列法.
（4）对 型数列通项的求法两边同加上一个常数，这个常数是方程 的根，然后构造数列求解.
（5）、对 型数列通项的求法由 代入原关系式中化只含有 或 的关系式，然后求解.
1、有关“ ， ”型数列通项公式的求法.
例1、数列 中，， （ 为常数， ）且 成公比不为1的等比数列.
（1）、求 的值；
分析：（1）由 成等比数列可求出 ；（2）用累加法可求通向公式.
解（1） ， ，
因为 成等比数列，
所以 ，
解得 或，
当 时， 不符合题意，舍去，故 .
（2）当 时，由于 ，
所以 .
又 ， 故 .当 =1时，上式也成立.
所以 .
2、有关“ ， ”型数列通项公式的求法.
例1、在数列 中， ， .
（1）、设 ，证明：数列 是等差数列.
（2）、求数列 的前 项和 .
分析:此题可先求出 ，也可通过变形直接证明，求出 ，再求出 ，进而求出 .
（1）证明： ，
， ，即 ， ，
故数列 是首项为1，公差为1的等差数列。
（2）解:由（1）知 ， ，则
，
，
两式相减，得
.
3、有关“ , ”型数列通项公式的求法.
例1、已知数列 中， ，且 （ ， ）.
（1）、设 ，证明 是等比数列；
（2）、求数列 的通向公式；
分析:首先将原关系式变形为 ，构造出新的数列可证明 为等比数列，且 可求.
（1）证明：由题设 （ ），得
，即 。
由 首项为1，公比为 的等比数列。
（2）解：由（1），
将以上各式相加，得 ，
即
所以当 时，
上式对 显然成立.
4、有关“ （其中 为不同时为零的常数）”型数列通项公式的求法.
例1、已知数列 的首项 ， 证明：数列 是等比数列.
证明:
又 ， ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
5、有关“ ”型数列通项公式的求法.
例1、设数列 的前 项和 .
（1）、求 、 ；
（2）、证明： 是等比数列；
（3）、求 的通向公式.
分析:可通过递推关系 求 ，由 得 可得出 、 、 要注意 的关系.
解（1） .
由 知 ，得
, (2)、由题意和（1）式知 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列.
（3）、
.
三、数列求和
对于数列的求和问题，一般先要仔细地分析数列的通向公式的特点，在分析通项的基础上再来确定是选用哪种求和方法.若不能直接求和的数列可以拆或并成几个可以求和的数列，用分组法。若数列的每一项变为两数之差，可以使大部分项能“正、负抵消”，只剩下有限的几项，此时可用裂项法；若一个数列距首末等距离的和相等，可采用倒序相加法；若数列的各项是由一等差数列和一等比数列组成的，可用错位相减法；若数列的通项 中含 ，可分类讨论或错位相减法.
1、错位相减法:这是在推倒等比数列前 项和公式所用的方法，这种方法主要用于求数列 的前 项和，其中 、 分别是等差数列和等比数列.
例1、求和
解：当 时， ；
当 时，
两式相减得：
2、倒序相加法:将一个数列倒过来排列（倒序），当它与原数列相加时，，若有公因式可提并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。等差数列求和公式 就是用倒序相加法推倒出来的.
例1、求和:
分析在：注意到 且相等项的系数之和都为 ，故可用“倒序相加法”求和。
解：
3、分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列。若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，分别求和，然后再合并.
例1、求数列 的前 项和.
解:
3、裂项法:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，裂项法的实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。
例1、
例2、求数列 的前 项和.
分析：变换通向公式，将其拆为若干项的和或差.拆项的原则是在各项相加的过程中能消去一些项.
解：
，
注：将通项进行变换，构造两项之差，这是求和过程中消项的基础.常见的拆项公式有 ； ；
4、并项法
例1、求 的值.
分析:本题可以视为求两个等差数列的代数和，但运算量较大。若用并项求和法轻而易举就可以解决。
解： .
5、降次递推法
例1、求和
分析：可利用公式
令
分别代入上式，得
将以上各式分别相加，得:
参考文献：
[1]张环、胡剑涛、杨玉蓉主编。《高中数学综合能力培养》上册1991年3月印刷。
[2]刘宗贤责任主编。《高中代数疑难解析》1984年8月第2次印刷。
[3]王兴旺主编。《高考完全解读》2007年7月湖北第1次印刷。
[4]欧阳维诚主编。《高中数学考试解题精典》1995年6月第2次印刷。
[5]袁桐、金立建主编《新编高中数学大观》1991年2月第1次印刷。
[6]彭士元、朱铁夫主编。《数列求和》19年6月第一次印刷。
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等差数列与等比数列解题技巧
【摘要】在高中数学课程内容中，数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用.因此掌握数列的解题技巧，在我们高中数学中是很有必要的.
引言：数列在高考中主要考察用数列的递推公式、等差数列的通项公式参数的确定和性质、前n项和公式和性质及常见的数列的求和方法.
一、求数列通向公式的方法
1、分析法
通过与一些已知通向公式的基本数列进行比较、分析、归纳综合找数列的项与项数之间的关系，求出数列的通向公式.
例1、写出数列的一个通向公式
（1）、0.7，0.77，0.777.0.7777，... （2）、2，
解：（1）原列各项可以写成有数列
故原数列的一个通向公式为
（2）、原数列可改写为
故其通向公式为
例2、根据下面各个数列的首项和递推公式，写出它的前4项并归纳出数列的一个通向公式
（1）、 ；
解：分析:写出前4项，找出规律，然后归纳出通向公式.
(1)、由已知，得
即
故数列的一个通向公式为
(2)、由已知，得
即
故数列的一个通向公式为
注:上述题设给出，数列的前n项或给出递推公式和初始条件，分析数列的特征，找出规律，写出通向公式.
2、待定系数法
例1、已知数列 的通向公式是关于n的二次多项式，按照下列条件，写出数列 的一个通向公式.
（1）、 （2）、 （3）、
分析：设出 然后将 代入求出系数 即得通向公式.
解：（1）、 依题意，得 解得
（2）、设 依题意，得 解得
（3）、 设
注：由n个条可确定n个参数的值，因此，当已知数列 中m项数值时，可设通项为（m-1）次多项式，并应用待定系数法，求出这一多项式个项系数的值，进而写出 的表达式。
3、换元法
换元的关键步骤是变换题设中所给的递推公式，构造出等差数列或等比数列，这种被构造出来的数列称为辅助数列，借助辅助数列便可求得原数列的通向公式.
例1、已知数列 求数列 的通向公式.
分析：将 变形为 换元后转化为求等差数列的通向公式.
解:将已知条件改写为
令
数列 是以 为首项，公差为 的等差数列，
将上述（n-1）个式子相加，得:
例2、数列
分析:将 转化为求等比数列的通向公式.
解：
数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列.
4、累加法
例1、求数列 ：6，9，14，21，30，...的通向公式.
分析:观察数列的特征，后面一项减去前面一项的差组成的数列 ：3，5，7，9，...是首项为3，公差为2的等差数列，故可先求出数列 的通向公式，再推出 的通向公式.
解：设原数列中相邻两项（后项减去前项）的差所组成的数列 ，则 ，
显然，
各式相加，得：
5、乘约法
例1、已知数列 满足 ，且 ，求通向公式 .
分析：由 得 ，当 1，2，3，...,（n-1）时得到n-1个关系式，将这n-1个关系式连乘可得 的通向公式.
解：由 得 ，
当 时，有 ，
将以上各式左右两端分别相乘得 ，
又 也满足上式，
.
注:必须对 进行验证，若 满足关系式，则统一写成 的形式；若 不满足，要写成分段形式.
6、构造数列法
由已知递推公式进行变形，构造出新的等比数列，然后用累加法、乘约法或直接利用等比数列写出通向公式.
例1、已知数列 满足 其中 证明这个数列的通向公式是
分析:由递推关系可分别用累加法和构造数列法证明.
证法1（累加法） ,两边同除以 得：
，
当 时，有:
,
将以上各式分别相加，得
，
证法2：（构造法）设 可化为 ，
由待定系数法可得:
,
可知数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列，
7、递推法
例1、已知数列 中， ， ， 求 的通向公式；
解: ,
二、简单的递推数列即处理策略
（1）、对 型数列通项的求法可用累加法或乘约法.
（2）、对 型数列通项的求法可用累加法和构造数列法.
（3）、对 型数列通项的求法可用累加法和构造数列法.
（4）对 型数列通项的求法两边同加上一个常数，这个常数是方程 的根，然后构造数列求解.
（5）、对 型数列通项的求法由 代入原关系式中化只含有 或 的关系式，然后求解.
1、有关“ ， ”型数列通项公式的求法.
例1、数列 中，， （ 为常数， ）且 成公比不为1的等比数列.
（1）、求 的值；
分析：（1）由 成等比数列可求出 ；（2）用累加法可求通向公式.
解（1） ， ，
因为 成等比数列，
所以 ，
解得 或，
当 时， 不符合题意，舍去，故 .
（2）当 时，由于 ，
所以 .
又 ， 故 .当 =1时，上式也成立.
所以 .
2、有关“ ， ”型数列通项公式的求法.
例1、在数列 中， ， .
（1）、设 ，证明：数列 是等差数列.
（2）、求数列 的前 项和 .
分析:此题可先求出 ，也可通过变形直接证明，求出 ，再求出 ，进而求出 .
（1）证明： ，
， ，即 ， ，
故数列 是首项为1，公差为1的等差数列。
（2）解:由（1）知 ， ，则
，
，
两式相减，得
.
3、有关“ , ”型数列通项公式的求法.
例1、已知数列 中， ，且 （ ， ）.
（1）、设 ，证明 是等比数列；
（2）、求数列 的通向公式；
分析:首先将原关系式变形为 ，构造出新的数列可证明 为等比数列，且 可求.
（1）证明：由题设 （ ），得
，即 。
由 首项为1，公比为 的等比数列。
（2）解：由（1），
将以上各式相加，得 ，
即
所以当 时，
上式对 显然成立.
4、有关“ （其中 为不同时为零的常数）”型数列通项公式的求法.
例1、已知数列 的首项 ， 证明：数列 是等比数列.
证明:
又 ， ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
5、有关“ ”型数列通项公式的求法.
例1、设数列 的前 项和 .
（1）、求 、 ；
（2）、证明： 是等比数列；
（3）、求 的通向公式.
分析:可通过递推关系 求 ，由 得 可得出 、 、 要注意 的关系.
解（1） .
由 知 ，得
, (2)、由题意和（1）式知 ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列.
（3）、
.
三、数列求和
对于数列的求和问题，一般先要仔细地分析数列的通向公式的特点，在分析通项的基础上再来确定是选用哪种求和方法.若不能直接求和的数列可以拆或并成几个可以求和的数列，用分组法。若数列的每一项变为两数之差，可以使大部分项能“正、负抵消”，只剩下有限的几项，此时可用裂项法；若一个数列距首末等距离的和相等，可采用倒序相加法；若数列的各项是由一等差数列和一等比数列组成的，可用错位相减法；若数列的通项 中含 ，可分类讨论或错位相减法.
1、错位相减法:这是在推倒等比数列前 项和公式所用的方法，这种方法主要用于求数列 的前 项和，其中 、 分别是等差数列和等比数列.
例1、求和
解：当 时， ；
当 时，
两式相减得：
2、倒序相加法:将一个数列倒过来排列（倒序），当它与原数列相加时，，若有公因式可提并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。等差数列求和公式 就是用倒序相加法推倒出来的.
例1、求和:
分析在：注意到 且相等项的系数之和都为 ，故可用“倒序相加法”求和。
解：
3、分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列。若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，分别求和，然后再合并.
例1、求数列 的前 项和.
解:
3、裂项法:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，裂项法的实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。
例1、
例2、求数列 的前 项和.
分析：变换通向公式，将其拆为若干项的和或差.拆项的原则是在各项相加的过程中能消去一些项.
解：
，
注：将通项进行变换，构造两项之差，这是求和过程中消项的基础.常见的拆项公式有 ； ；
4、并项法
例1、求 的值.
分析:本题可以视为求两个等差数列的代数和，但运算量较大。若用并项求和法轻而易举就可以解决。
解： .
5、降次递推法
例1、求和
分析：可利用公式
令
分别代入上式，得
将以上各式分别相加，得:
参考文献：
[1]张环、胡剑涛、杨玉蓉主编。《高中数学综合能力培养》上册1991年3月印刷。
[2]刘宗贤责任主编。《高中代数疑难解析》1984年8月第2次印刷。
[3]王兴旺主编。《高考完全解读》2007年7月湖北第1次印刷。
[4]欧阳维诚主编。《高中数学考试解题精典》1995年6月第2次印刷。
[5]袁桐、金立建主编《新编高中数学大观》1991年2月第1次印刷。
[6]彭士元、朱铁夫主编。《数列求和》19年6月第一次印刷。
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