数学问题 ~
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发布时间：2022-04-25 16:37
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时间：2023-10-18 19:33
韦达定理 - 定理内容
韦达定理
韦达定理(Weda's Theorem): 一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中
设两个根为x和y
则x+y=-b/a
xy=c/a
内容分析
1.一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根，
当△＜0时，方程没有实数根．
2.一元二次方程的根与系数的关系
(1)如果一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么，x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a
(2)如果方程x^2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，
x1x2=q
(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x2-(x1+x2)x+x1x2=0．
3.二次三项式的因式分解(公式法)
在分解二次三项式ax^2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax^2+bx+c=0的两个根是X1,x2，那么ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．
实例:已知x^2-2x-3=0的两根x1,x2,求x1平方+x2平方
解法一:求得方程2根为-1和3,所以 x1平方+x2平方=10
解法二:不解方程直接用韦达定理,x1平方+x2平方=(x1+x2)^2-2x1*x2=4+6=10
如果方程不容易解的话,韦达定理的优势就体现出来了.
编辑本段 回目录 韦达定理 - 定理证明设x_1，x_2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个解，且不妨令x_1 \ge x_2。根据求根公式，有
x_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}，x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}
所以
x_1+x_2=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac} + \left (-b \right) - \sqrt {b^2-4ac}} =-\frac，
x_1x_2=\frac{ \left (-b + \sqrt {b^2-4ac} \right) \left (-b - \sqrt {b^2-4ac} \right)}{\left (2a \right)^2} =\frac
编辑本段 回目录 韦达定理 - 定理推广
韦达定理
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个n次方程∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2…,Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是，那么
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程
在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
编辑本段 回目录 韦达定理 - 定理应用韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，中考(竞赛)试题涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽，在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长，下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用。
一、直接应用韦达定理
若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．
例1在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．
求证：
(1)c＋d＝2bcosA；
(2)c·d＝b2－a2．
分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．
证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有
a2＝b2＋c2－2bccosA；
a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．
∴c2－2bccosA＋b2－a2＝0，
d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．
于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．
由韦达定理，有
c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．
例2已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．
分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．
解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．
由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．
故ab＋a＋b＝－2．
二、先恒等变形，再应用韦达定理
若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．
例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．
证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．
由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．
∵x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．
则z2≤0，又∵z为实数，
∴z2＝0，即△＝0．
于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．
由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理
三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理
例5已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．
解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有
a＋2a＝－P，①
a·2a＝q，②
P2－4q＝1．③
把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．
∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．
解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．
例6设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．
证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．
由题意知α－β＝α＇－β＇，
故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．
从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①
把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p－q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．
故p－q＝0或p＋q＋4＝0，
即p＝q或p＋q＝－4．
四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理
例7m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．
解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．
由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①
α(4－α)＝－(m－1)．②
由②得m＝1－4α＋α2，③
把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，
即(α－3)(α2＋1)＝0．
∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．
把α＝3代入③，得m＝－2．
故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．
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时间：2023-10-18 19:33
韦达简介
[编辑本段]
韦达（Viete，Francois，seigneurdeLa Bigotiere）是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。
他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年青时学习法律当过律师，后从事*活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为*破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。
韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。
韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。他被称为现代代数符号之父。韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。
他的《解析方法入门》一书（1591年），集中了他以前在代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支。他对方程论的贡献是在《论方程的整理和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解法。
《分析方法入门》是韦达最重要的代数著作，也是最早的符号代数专著，书中第1章应用了两种希腊文献：帕波斯的《数学文集》第7篇和丢番图著作中的解题步骤结合起来，认为代数是一种由已知结果求条件的逻辑分析技巧，并自信希腊数学家已经应用了这种分析术，他只不过将这种分析方法重新组织。韦达不满足于丢番图对每一问题都用特殊解法的思想，试图创立一般的符号代数。他引入字母来表示量，用辅音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A（后来用过N）等表示未知量x，而用A quadratus,A cubus 表示 x2、x3 ，并将这种代数称为本“类的运算”以此区别于用来确定数目的“数的运算”。当韦达提出类的运算与数的运算的区别时，就已规定了代数与算术的分界。这样，代数就成为研究一般的类和方程的学问，这种革新被认为是数学史上的重要进步，它为代数学的发展开辟了道路，因此韦达被西方称为"代数学之父"。1593年，韦达又出版了另一部代数学专著—《分析五篇》（5卷，约1591年完成）；《论方程的识别与订正》是韦达逝世后由他的朋友A.安德森在巴黎出版的，但早在 1591年业已完成。其中得到一系列有关方程变换的公式，给出了G.卡尔达诺三次方程和L.费拉里四次方程解法改进后的求解公式。而另一成就是记载了著名的韦达定理，即方程的根与系数的关系式。韦达还探讨了代数方程数值解的问题，1600年以《幂的数值解法》为题出版。
1593年韦达在《分析五篇》中曾说明怎样用直尺和圆规作出导致某些二次方程的几何问题的解。同年他的《几何补篇》（Supplementum geometriae）在图尔出版了，其中给尺规作图问题所涉及的一些代数方程知识。此外，韦达最早明确给出有关圆周率π值的无穷运算式,而且创造了一套 10进分数表示法，促进了记数法的改革。之后，韦达用代数方法解决几何问题的思想由笛卡儿继承，发展成为解析几何学。韦达从某个方面讲，又是几何学方面的权威，他通过393416个边的多边形计算出圆周率，精确到小数点后9位，在相当长的时间里处于世界领先地位。
韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。
韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。
由于韦达做出了许多重要贡献，成为十六世纪法国最杰出的数学家之一。
韦达定理(Vieta's Theorem）的内容
[编辑本段]
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^-4ac≥0)中
设两个根为X1和X2
则X1+X2= -b/a
X1*X2=c/a
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时间：2023-10-18 19:34
我知道,就是一元二次方程的解为X1,X2,那么有如下规则.
X1+X2=-B/2A
X1*X2=C/A
这就是著名的定理:韦达定理..不是“维达定理”
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时间：2023-10-18 19:35
就是根与系数的关系：X1+X2=b/a X1乘X2=c/a
